通信與信息理論基礎(chǔ)_第10章--信道編碼

1、1信道編碼信道編碼信道差錯概率信道差錯概率信道編碼概述信道編碼概述信道譯碼準則信道譯碼準則碼的檢錯與糾錯能力碼的檢錯與糾錯能力2信道差錯概率信道差錯概率l 在通信過程中，傳送的最小信號波形是符號，編碼后在通信過程中，傳送的最小信號波形是符號，編碼后也稱為碼元。由于噪聲干擾，碼元在信道傳輸過程中也稱為碼元。由于噪聲干擾，碼元在信道傳輸過程中會發(fā)生變化，信宿方接收到的碼元符號不一定是信源會發(fā)生變化，信宿方接收到的碼元符號不一定是信源發(fā)出的碼元符號發(fā)出的碼元符號 XY信道信道干擾干擾3隨機差錯信道隨機差錯信道l DMC的平均誤碼率的平均誤碼率u信道輸入信道輸入X ：A=a1, a2, aqu信道輸出

2、信道輸出Y ：B=b1, b2, bs u信道差錯規(guī)律：條件概率描述信道差錯規(guī)律：條件概率描述 (|)(|) (1,2,., ,1,2,., ).ijjijipP YbXaP baiq js4隨機差錯信道隨機差錯信道l DMC的平均誤碼率的平均誤碼率u碼元碼元ai正確傳輸概率為：正確傳輸概率為：(|) (1,2,., ).iiiiP YbXapiqu碼元碼元ai出錯概率為：出錯概率為：(|)=1 (1,2,., ).iiijiij iP YbXappiqu信道先驗概率分布為信道先驗概率分布為：() (1,2,., ).iiP Xapiqu信道因噪聲干擾產(chǎn)生的平均錯誤概率為：信道因噪聲干擾產(chǎn)生的

3、平均錯誤概率為：(1)1.ciiiiiiiiPppp p 5信道編碼信道編碼信道差錯概率信道差錯概率信道編碼概述信道編碼概述信道信道譯碼準則信道信道譯碼準則碼的檢錯與糾錯能力碼的檢錯與糾錯能力6信道編碼概述信道編碼概述l 信道編碼器是一個映射信道編碼器是一個映射f，它把信源符號序列，它把信源符號序列m變換成變換成信道符號序列信道符號序列c = f (m)，f稱為稱為信道編碼函數(shù)信道編碼函數(shù)，或稱為，或稱為糾錯編碼函數(shù)糾錯編碼函數(shù)。信道編碼也稱為。信道編碼也稱為糾錯編碼糾錯編碼。7信道編碼概述信道編碼概述l 信源符號序列：信源符號序列： m=m1m2,mk (mi A) l 信道編碼函數(shù)信道編碼

4、函數(shù)f ： c = f (m)= m1m2,mk d1d2,dr (dj A)l 信息元：信息元：m1m2,mkl 校驗（監(jiān)督）元：校驗（監(jiān)督）元：d1d2,drl 碼字碼字 (codeword)： cl k：信息位長度l r: 校驗位長度，或稱為冗余位長度，l n=k+r : 碼字長度l 設(shè)S是全體信源符號序列構(gòu)成的集合， C = f (m) | m S 稱為信道碼信道碼，或稱為糾錯碼糾錯碼，簡稱為碼碼 (code)。8信道譯碼信道譯碼l 譯碼函數(shù)譯碼函數(shù) 信道譯碼器的主要功能就是確定一套譯碼規(guī)則信道譯碼器的主要功能就是確定一套譯碼規(guī)則g，由接，由接收到的符號序列收到的符號序列r給出信源符號

5、序列給出信源符號序列c的一個最接近的的一個最接近的估計估計g(r)。g稱為稱為譯碼函數(shù)譯碼函數(shù)，由，由r求求g(r)的過程稱為的過程稱為信道信道譯碼譯碼。如果。如果g(r)=c，說明信道譯碼器譯碼正確。如果，說明信道譯碼器譯碼正確。如果g(r) c，說明信道譯碼器譯碼錯誤。，說明信道譯碼器譯碼錯誤。9信道譯碼信道譯碼l 在接收到符號序列在接收到符號序列r的條件概率，譯碼器譯碼錯誤的條的條件概率，譯碼器譯碼錯誤的條件概率定義為：件概率定義為：|( ( )| ).EPP grrc rl 譯碼器平均譯碼錯誤概率定義為譯碼器平均譯碼錯誤概率定義為|( )( ) ( ( )| ).EEPPPPP grr

6、rrrrc r10信道譯碼信道譯碼l P(r)是譯碼器接收符號序列是譯碼器接收符號序列r的概率分布：的概率分布：( )()( ) ( | ).PPPPccrc,rcr cl 信道因噪聲干擾產(chǎn)生的平均錯誤概率為信道因噪聲干擾產(chǎn)生的平均錯誤概率為l 使用信道編碼技術(shù)的主要目的就是使使用信道編碼技術(shù)的主要目的就是使 PE PC.( ) (| ).CPPPrrrc r11信道譯碼信道譯碼l 重復(fù)碼重復(fù)碼 重復(fù)碼是一個重復(fù)碼是一個(n, 1)分組碼，其編碼規(guī)則是分組碼，其編碼規(guī)則是將每位信息元重復(fù)將每位信息元重復(fù)n 1次，也稱為次，也稱為n次重復(fù)碼。即次重復(fù)碼。即C =000, 111。對重復(fù)碼，可以采

7、用。對重復(fù)碼，可以采用大數(shù)準則譯大數(shù)準則譯碼碼。即如果接收序列中。即如果接收序列中0的個數(shù)多于的個數(shù)多于1的個數(shù)，則譯的個數(shù)，則譯為為0；否則，譯為；否則，譯為1。 l 例如，例如，2元元3次重復(fù)碼的編碼規(guī)則如下：次重復(fù)碼的編碼規(guī)則如下： “0” “000”， “1” “111”。 它是一個它是一個2元元(3, 1)分組碼分組碼C=000, 111 。12信道譯碼信道譯碼l 當三個符號在傳輸過程中有一位或二位出錯時，譯碼器當三個符號在傳輸過程中有一位或二位出錯時，譯碼器能夠發(fā)現(xiàn)接收到的序列有錯，但不知道那些位出了錯。能夠發(fā)現(xiàn)接收到的序列有錯，但不知道那些位出了錯。但當三個符號在傳輸過程中都出錯

8、時，譯碼器不能發(fā)現(xiàn)但當三個符號在傳輸過程中都出錯時，譯碼器不能發(fā)現(xiàn)錯誤。即分組碼錯誤。即分組碼C最多能檢出最多能檢出2位錯誤位錯誤。l 如果大數(shù)準則譯碼方法，當傳輸?shù)姆栃蛄杏幸晃怀鲥e如果大數(shù)準則譯碼方法，當傳輸?shù)姆栃蛄杏幸晃怀鲥e時，能正確糾正。即時，能正確糾正。即分組碼分組碼C能糾正能糾正1位錯誤位錯誤。13信道譯碼信道譯碼u譯碼器接收符號序列譯碼器接收符號序列r及譯碼結(jié)果及譯碼結(jié)果接收序列r譯出的碼元u0 0 000 0 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 1114信道譯碼信道譯碼l 假設(shè)使用一個具有錯誤概率為假設(shè)使用一個具有錯誤概率為p 1/2的無記

9、憶二元對稱的無記憶二元對稱信道傳輸一個信源符號，且信源發(fā)出符號信道傳輸一個信源符號，且信源發(fā)出符號0和和1的概率均的概率均為為1/2。l 譯碼器平均譯碼錯誤概率為譯碼器平均譯碼錯誤概率為()(000,111)(000,011)(000,110)(000,101)(111,000)(111,001)(111,010)(11,100)c,r,g(r) cc,rEPPp crp crp crp crp crp crp crp cr15信道譯碼信道譯碼l 如果不使用信道編碼，直接傳輸信源符號，則信宿方接如果不使用信道編碼，直接傳輸信源符號，則信宿方接收到符號收到符號0時譯為時譯為0，接收到符號，接收到

10、符號1時譯為時譯為1，其信道錯誤，其信道錯誤概率為概率為(0) (1|0)(1) (0|1)11 .22CPPPPPpppcrccrcl 因為PE PC，所以3次重復(fù)碼的使用提高了信道的可靠性。 323(1).EPpppl 譯碼器平均譯碼錯誤概率為譯碼器平均譯碼錯誤概率為16信道譯碼信道譯碼l 例如，當例如，當PC = p=10 2時，有時，有l(wèi) 使用簡單的重復(fù)編碼方法，已將錯誤概率降低了接近使用簡單的重復(fù)編碼方法，已將錯誤概率降低了接近二個數(shù)量級二個數(shù)量級!3240.013 0.01 (1 0.01)3 10 .EP 17信道譯碼信道譯碼l 當重復(fù)次數(shù)當重復(fù)次數(shù)n增加時，平均錯誤概率將進一步

11、降低，但碼增加時，平均錯誤概率將進一步降低，但碼率也隨之降低。率也隨之降低。碼長n平均錯誤概率PE ()碼率(比特/碼符號)31041/351051/571071/791081/91110101/1118信道編碼信道編碼信道差錯概率信道差錯概率信道編碼概述信道編碼概述信道譯碼準則信道譯碼準則碼的檢錯與糾錯能力碼的檢錯與糾錯能力19最小錯誤概率譯碼最小錯誤概率譯碼 l 最小錯誤概率譯碼最小錯誤概率譯碼( ) ( ( )| )1( ) ( ( )| ).EPPP g rPP g rrrc rrrc ru譯碼函數(shù)譯碼函數(shù)g應(yīng)該具有最小平均譯碼錯誤概率應(yīng)該具有最小平均譯碼錯誤概率PE。u定義定義g(r

12、)的值滿足：的值滿足： ( ( )| )max( | ).P gPcrrc ru譯碼函數(shù)譯碼函數(shù)g稱為稱為最小錯誤譯碼函數(shù)最小錯誤譯碼函數(shù)，或稱為，或稱為最大后最大后驗概率譯碼驗概率譯碼。u選擇最大后驗概率譯碼函數(shù)選擇最大后驗概率譯碼函數(shù)g ( )*, , *,(| )( | ) ().ngCAPPCrcrcc* rc rc20最小錯誤概率譯碼最小錯誤概率譯碼; ( ( ); ( ( )( ) ( ( )| )( )1( ( )| )1( ( ), )( , )( ( ), )( , )( ) ( | ).EggPPP gPP gP gPP gPPP rrrc,rrc rrcc rrcrrc

13、rrrc rr rc rr rc rcr c( ( )( )( | ).EgPPPcrrccr c( ( )1( | ).EgPPM c rrcr cl 根據(jù)譯碼函數(shù)，可以寫出平均譯碼錯誤概率的計算根據(jù)譯碼函數(shù)，可以寫出平均譯碼錯誤概率的計算公式如下。公式如下。信源服從均勻分布時，信源服從均勻分布時，P(c)也是均勻分布，設(shè)碼字總也是均勻分布，設(shè)碼字總數(shù)為數(shù)為M =|C|，則有，則有P(c)= M 121最小錯誤概率譯碼最小錯誤概率譯碼l 后驗概率后驗概率P(c| r)與輸入概率分布與輸入概率分布P(c)有關(guān)，所以最大有關(guān)，所以最大后驗概率譯碼函數(shù)依賴于輸入概率分布后驗概率譯碼函數(shù)依賴于輸入概

14、率分布P(c)。即當。即當輸入概率分布輸入概率分布P(c)改變時，最大后驗概率譯碼函數(shù)改變時，最大后驗概率譯碼函數(shù)也要變化。也要變化。 22最大似然譯碼最大似然譯碼 ( |( )max( | ).PgPcrrr c( )*, , *ngCArcrc( |)( | ) ().PPCr c*r cc定義定義g(r)的值滿足：的值滿足：這樣確定的譯碼函數(shù)稱為這樣確定的譯碼函數(shù)稱為最大似然譯碼最大似然譯碼 (MLD)，P(r | c) 稱為稱為似然函數(shù)。最大似然譯碼函數(shù)只與信道轉(zhuǎn)移概似然函數(shù)。最大似然譯碼函數(shù)只與信道轉(zhuǎn)移概率有關(guān)，與信源概率分布無關(guān)率有關(guān)，與信源概率分布無關(guān)?？傻米畲笏迫蛔g碼函數(shù)?？傻?/p>

15、最大似然譯碼函數(shù)g滿足：滿足：即對于每一個符號序列即對于每一個符號序列r，均譯成具有最大似然函數(shù)的，均譯成具有最大似然函數(shù)的那個碼字那個碼字g(r) 23最大似然譯碼最大似然譯碼 ( ) ( | )( | )( | ).( )( )PPPPPMPcr cr cc rrr1max( | )max( | ).( )PPMPccc rr cr當信源服從均勻分布時，有當信源服從均勻分布時，有所以，所以，因此，在信源服從均勻分布情況下，最大后驗概率譯與因此，在信源服從均勻分布情況下，最大后驗概率譯與最大似然譯碼是相同的，其平均譯碼錯誤概率為最小。最大似然譯碼是相同的，其平均譯碼錯誤概率為最小。24例例l

16、 有一個離散信道，輸入符號集為有一個離散信道，輸入符號集為A=a1, a2, a3，接收符號集，接收符號集為為B=b1, b2, b3，信道矩陣為，信道矩陣為 假設(shè)信道每次傳輸一個符號。假設(shè)信道每次傳輸一個符號。0.5 0.3 0.20.2 0.3 0.5 .0.3 0.3 0.4P因為信道矩陣因為信道矩陣P的第一列中的第一列中P(b1| a1)=0.5為最大，第三列為最大，第三列中中P(b3| a2)=0.5為最大，第二列中為最大，第二列中P(b2| a1)= P(b2| a2)= P(b2| a3)=0.3，所以最大似然譯碼函數(shù)為，所以最大似然譯碼函數(shù)為g(b1)= a1, g(b2)=

17、a3, g(b3)= a2.25例例123111(),(),().333p ap ap a( ( )11( | )1(0.3 0.2) (0.2 0.3) (0.3 0.4)0.567.3EgPPM c rrcr c123111( ), ( ), ( ).442p ap ap a如果輸入是等概率分布，其概率分布為如果輸入是等概率分布，其概率分布為最大似然譯碼函數(shù)最大似然譯碼函數(shù)g平均錯誤概率為平均錯誤概率為如果輸入不是等概率分布，設(shè)其概率分布為如果輸入不是等概率分布，設(shè)其概率分布為最大似然譯碼函數(shù)最大似然譯碼函數(shù)g的平均錯誤概率為的平均錯誤概率為( ( )( )( | )111(0.3 0.2

18、)(0.20.3)(0.3 0.4)0.600.442EgPPPcrrccr c26例例1112131111212313()(,)(,)(,)() (|)() (|) () (|)PbPabPabPabPa PbaPa PbaPa Pbarcrcrcrcrccrccrc111=0.50.20.3 0.325.442 l最大后驗概率譯碼函數(shù)最大后驗概率譯碼函數(shù)h。計算接收符號計算接收符號r概率分布概率分布P( r)。計算后驗概率計算后驗概率P(c| r)111111() (|)(|)()0.25 0.55.0.12513pa PbaPabPbcrccrr375. 0)(3 . 0)(32brPb

19、rP27例例512 13415211(|) .1343618 13215Pcr后驗概率矩陣為后驗概率矩陣為根據(jù)最大后驗概率譯碼規(guī)則得最大后驗概率譯碼根據(jù)最大后驗概率譯碼規(guī)則得最大后驗概率譯碼函數(shù)函數(shù)h為為h(b1)= a3, h(b2)= a3, h(b3)= a3. 接收序列接收序列r概率分布概率分布P(r)譯碼函數(shù)譯碼函數(shù)hb10.3250a3b20.3000a3b30.3750a328例例最大后驗概率譯碼函數(shù)最大后驗概率譯碼函數(shù)h的平均錯誤概率為的平均錯誤概率為此時此時所以，輸入不是等概率分布時，最大似然譯碼函數(shù)所以，輸入不是等概率分布時，最大似然譯碼函數(shù)的平均錯誤概率不是最小的。的平均

20、錯誤概率不是最小的。EEPP5 .0)31152(375.0)4141(3 .0)132135(325.0)|()()(crgcrErcPrPP29信道譯碼準則信道譯碼準則l 漢明（漢明（Hamming）距離）距離 兩個長為兩個長為n的碼字的碼字x與與y之間漢明（之間漢明（Hamming）距離是）距離是指指x與與y之間對應(yīng)位置上不相同碼元的個數(shù)，用符號之間對應(yīng)位置上不相同碼元的個數(shù)，用符號d(x, y)表示。表示。l 漢明重量：漢明重量： 碼字碼字x中非零碼元的個數(shù)稱為中非零碼元的個數(shù)稱為x的漢明重量，用符號的漢明重量，用符號w(x)表示。表示。u例如例如: 對于兩個二元碼字對于兩個二元碼字

21、x=101111， y=111100 有有d(x, y)=3。u又如又如: 對于兩個碼字對于兩個碼字 x=1320120, y=1223310 有有d(x, y)=4。30信道譯碼準則信道譯碼準則l 設(shè)設(shè) x= x1x2xn, y= y1y2yn 是兩個二元碼字，容易驗證以下等式成立是兩個二元碼字，容易驗證以下等式成立: 其中其中 是模二加法是模二加法l 漢明距離有以下性質(zhì)漢明距離有以下性質(zhì) 定理定理 設(shè)設(shè)x、y與與z是長為是長為n的碼字，那么漢明距離滿足的碼字，那么漢明距離滿足以下性質(zhì)：以下性質(zhì)： (1) 非負性：非負性：d(x, y) 0。且。且d(x, y) = 0的充分必要條件的充分必

22、要條件是是x = y； (2) 對稱性：對稱性：d(x, y) = d(y, x)； (3) 三角不等式三角不等式：d(x, y) d(x, z)+ d( z, y)。 1( , ),niiid x yxy31信道譯碼準則信道譯碼準則l 對于二元信道，如果譯碼函數(shù)對于二元信道，如果譯碼函數(shù)g將二元序列將二元序列r譯成譯成二元碼字二元碼字c，那么，那么r與與c之間的漢明距離之間的漢明距離d(r, c)就是就是譯碼出錯的位數(shù)。譯碼出錯的位數(shù)。l 最小漢明距離譯碼最小漢明距離譯碼 好的譯碼函數(shù)應(yīng)該使其譯碼出錯的位數(shù)盡可能小，好的譯碼函數(shù)應(yīng)該使其譯碼出錯的位數(shù)盡可能小，據(jù)此定義譯碼函數(shù)如下：據(jù)此定義譯

23、碼函數(shù)如下： 這樣確定的譯碼函數(shù)稱為最小漢明距離譯碼函數(shù)，這樣確定的譯碼函數(shù)稱為最小漢明距離譯碼函數(shù)，簡稱為最小距離譯碼函數(shù)。簡稱為最小距離譯碼函數(shù)。u最小漢明距離譯碼與信道轉(zhuǎn)移概率無關(guān)最小漢明距離譯碼與信道轉(zhuǎn)移概率無關(guān)( )*, , *,( ,)( , ) ().ngCAddCrcrcr c*r cc32信道譯碼準則信道譯碼準則l 對于對于BSC，設(shè)每個符號出錯概率為，設(shè)每個符號出錯概率為p1/2，r=(r1, r2, rn)，c=(c1, c2, cn)，那么，那么u這說明，當這說明，當r不變時，選擇不變時，選擇c使使P(r|c)達到最大的達到最大的充分必要條件是使充分必要條件是使d(r,

24、 c) 達到最小。達到最小。u因此，對于二元對稱無記憶信道，最小漢明距因此，對于二元對稱無記憶信道，最小漢明距離譯碼與最大似然譯碼是相同的。離譯碼與最大似然譯碼是相同的。1122( , )( , )( , )( | )( |) (|). (|)(1)(1).1nnddn dnPP r c P rcP rcpppppr cr cr cr c33信道譯碼準則信道譯碼準則l 在二元對稱無記憶信道中，平均譯碼錯誤概率可在二元對稱無記憶信道中，平均譯碼錯誤概率可用漢明距離表示。設(shè)信源服從均勻分布，碼字總用漢明距離表示。設(shè)信源服從均勻分布，碼字總數(shù)為數(shù)為M =|C|，有，有( , )( ( )( ( )(

25、 , )( ( )11( | )(1)1(1).1HHdnEggdngpPPpMMpppMp r ccrrccrrcr ccrrcr c34信道譯碼準則信道譯碼準則l 對對n次重復(fù)碼次重復(fù)碼C =000, 111進行最小距離譯碼。進行最小距離譯碼。u設(shè)接收的序列為設(shè)接收的序列為r，如果，如果d (r, 000) d (r, 111)，則將，則將r譯為譯為111。u如果如果d (r, 000) = d (r, 111)，則不能正常譯，則不能正常譯碼，只能發(fā)現(xiàn)差錯。碼，只能發(fā)現(xiàn)差錯。u注意到，當注意到，當d (r, 000) d (r, 111)時，序列時，序列r中中1的個數(shù)多于的個數(shù)多于0的個數(shù)

26、，所以的個數(shù)，所以n次重復(fù)碼的最小距離譯碼與大數(shù)準則譯碼相次重復(fù)碼的最小距離譯碼與大數(shù)準則譯碼相同。同。35信道譯碼準則信道譯碼準則l 平均譯碼錯誤概率平均譯碼錯誤概率PE與與譯碼函數(shù)有關(guān)，而譯碼函與與譯碼函數(shù)有關(guān)，而譯碼函數(shù)又與信道特性有關(guān)。由于信道存在噪聲，導(dǎo)致符數(shù)又與信道特性有關(guān)。由于信道存在噪聲，導(dǎo)致符號傳輸發(fā)生錯誤，接收端收到符號后，對發(fā)送的是號傳輸發(fā)生錯誤，接收端收到符號后，對發(fā)送的是什么符號還存在不確定性。什么符號還存在不確定性。l Fano不等式不等式 (|)()log(1).EEH X YH PPq36信道編碼信道編碼信道差錯概率信道差錯概率信道編碼概述信道編碼概述信道譯碼準

27、則信道譯碼準則碼的檢錯與糾錯能力碼的檢錯與糾錯能力37碼的檢錯與糾錯能力碼的檢錯與糾錯能力l 最小漢明距離最小漢明距離 設(shè)設(shè)C是一個是一個 (n, k) 分組碼，分組碼，C的任意兩個碼字漢明距離的任意兩個碼字漢明距離的最小值稱為的最小值稱為C的最小漢明距離，簡稱為最小距離，記的最小漢明距離，簡稱為最小距離，記為為l 最小距離與糾錯能力的關(guān)系最小距離與糾錯能力的關(guān)系 定理設(shè)定理設(shè)C是一個是一個 (n, k) 分組碼，其最小漢明距離為分組碼，其最小漢明距離為d(C)，則有則有 (1) 如果碼字出現(xiàn)了如果碼字出現(xiàn)了e個隨機錯誤，且個隨機錯誤，且d(C) e +1，則，則能夠檢測到出現(xiàn)的錯誤。能夠檢測

28、到出現(xiàn)的錯誤。 (2) 如果碼字出現(xiàn)了如果碼字出現(xiàn)了t個隨機錯誤，且個隨機錯誤，且d(C) 2t +1，則，則能夠糾正出現(xiàn)的錯誤。能夠糾正出現(xiàn)的錯誤。 (3) 如果如果C既能糾正既能糾正t個隨機錯誤，又能檢測個隨機錯誤，又能檢測e ( t)個隨個隨機錯誤，則要求機錯誤，則要求d(C) t + e +1。 min,( )min ( , ).x y C x ydd Cd x y38碼的檢錯與糾錯能力碼的檢錯與糾錯能力l 證明證明 (1) 如果發(fā)送的碼字如果發(fā)送的碼字c中出現(xiàn)了中出現(xiàn)了e個隨機錯誤，且個隨機錯誤，且變成了另一個許用碼字變成了另一個許用碼字r，則這樣的錯誤是不可能被檢，則這樣的錯誤是不

29、可能被檢測出來的。反之，如果測出來的。反之，如果r是一個禁用碼字，則這樣的錯是一個禁用碼字，則這樣的錯誤能夠被發(fā)現(xiàn)。當誤能夠被發(fā)現(xiàn)。當d(C) = e +1時，由于時，由于d(r, c) e，所以，所以r必須是禁用碼字，因而能夠被檢測出來的。必須是禁用碼字，因而能夠被檢測出來的。 在圖中，以在圖中，以c為圓心，為圓心，e為半徑的圓內(nèi)，只有一個許用為半徑的圓內(nèi)，只有一個許用碼字碼字c。由于。由于d(r, c) e，即，即r位于該圓內(nèi)，所以位于該圓內(nèi)，所以r一定是一定是禁用碼字。禁用碼字。 39碼的檢錯與糾錯能力碼的檢錯與糾錯能力l 證明證明 (2) 如果發(fā)送的碼字如果發(fā)送的碼字c出現(xiàn)了出現(xiàn)了t個隨機錯誤變成了個隨機錯誤變成了一個碼元序列一個碼元序列r，由已知得，由已知得( ) 1( , ).2d Cdt c r 設(shè)設(shè)c c是任意一個碼字是任意一個碼字 d(c, c) d(c, r)+ d(r, c)，( ) 1( ) 1( ) 1( )( , )( , )( , ).222d Cd Cd Cd Cdddr cr cr c 在在C的所有碼字中，的所有碼字中， c與與 r 的漢明距離最小。使用最小的漢明距離最小。使用最小距離譯碼方法時，必將距離譯碼方法時，必將 r