高等數(shù)學(xué)課件：1-1 一元函數(shù)

1、 經(jīng)典數(shù)學(xué)的研究對象是現(xiàn)實世界中的經(jīng)典數(shù)學(xué)的研究對象是現(xiàn)實世界中的數(shù)量數(shù)量關(guān)系關(guān)系和和空間形式空間形式。數(shù)學(xué)形成兩大分支：幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)形成兩大分支：幾何學(xué)和代數(shù)學(xué) 在古希臘時代（大約公元前在古希臘時代（大約公元前5 5世紀世紀-公元前公元前3 3世紀）數(shù)學(xué)就成為一門獨立的、理性的學(xué)科發(fā)展世紀）數(shù)學(xué)就成為一門獨立的、理性的學(xué)科發(fā)展起來了。它的最杰出的代表作是起來了。它的最杰出的代表作是EulidEulid的的幾何幾何原本原本，至今已有兩千多年的歷史了。，至今已有兩千多年的歷史了。初等數(shù)學(xué)時期：公元前初等數(shù)學(xué)時期：公元前3 3世紀到世紀到1717世紀世紀 -常量數(shù)學(xué)常量數(shù)學(xué)時期時期主要研究對

2、象：主要研究對象： 勻速的運動（速度不變）勻速的運動（速度不變） 勻加速運動（速度勻速變化）勻加速運動（速度勻速變化） 直邊圖形（不彎曲）直邊圖形（不彎曲） 圓弧邊圖形（均勻彎曲）圓弧邊圖形（均勻彎曲） 有限次四則運算有限次四則運算1717世紀微積分的創(chuàng)造開始了高等數(shù)學(xué)時期世紀微積分的創(chuàng)造開始了高等數(shù)學(xué)時期 -變量數(shù)學(xué)變量數(shù)學(xué)時期時期微積分最初解決的四類問題：微積分最初解決的四類問題： 1 1 變速直線運動物體的瞬時速度與加速度變速直線運動物體的瞬時速度與加速度 2 2 求曲線的切線問題求曲線的切線問題 3 3 求函數(shù)的最值問題求函數(shù)的最值問題 4 4 求不規(guī)則圖形的面積求不規(guī)則圖形的面積微積

3、分微積分CalculusCalculus（無窮小分析）分為微分和積（無窮小分析）分為微分和積分兩大部分，微分和積分是一對逆運算，歷史分兩大部分，微分和積分是一對逆運算，歷史上是先產(chǎn)生積分學(xué)后產(chǎn)生的微分學(xué)。上是先產(chǎn)生積分學(xué)后產(chǎn)生的微分學(xué)。微分學(xué)的主要內(nèi)容：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。微分學(xué)的主要內(nèi)容：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。 積分學(xué)的主要內(nèi)容：定積分、不定積分等。積分學(xué)的主要內(nèi)容：定積分、不定積分等。第一章高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ) 函數(shù)函數(shù) 極限極限 研究的對象研究的對象 研究的方法研究的方法一元函數(shù)第一節(jié) 一元函數(shù)二、函數(shù)的概念及圖形二、函數(shù)的概念及圖形四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

4、五、函數(shù)的運算五、函數(shù)的運算六、基本初等函數(shù)六、基本初等函數(shù)三、函數(shù)可能具有的幾種特性三、函數(shù)可能具有的幾種特性 第一一章 七、初等函數(shù)七、初等函數(shù)一、實數(shù)集一、實數(shù)集 鄰域鄰域一、實數(shù)集一、實數(shù)集 鄰域鄰域集合的定義集合的定義集合的運算集合的運算并，交，差并，交，差數(shù)集分類數(shù)集分類: :N-N-自然數(shù)集自然數(shù)集Z-Z-整數(shù)集整數(shù)集Q-Q-有理數(shù)集有理數(shù)集R-R-實數(shù)集實數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系數(shù)集間的關(guān)系: :.,RQQZZN 不含任何元素的集合稱為不含任何元素的集合稱為空集空集. .)(記作記作鄰域鄰域)(aN記為),(),( aNaa記為記為特別特別 的鄰域。為點的任一開區(qū)間包含aa為鄰域半徑為

5、鄰域半徑 ),(0 aNaax的去心鄰域，記為的去心鄰域，記為稱為稱為 xa. a( a)二、函數(shù)的概念及圖形二、函數(shù)的概念及圖形1.常量與變量常量與變量 在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為 常量常量, ,通常用字母通常用字母a, b, ca, b, c等表示常量等表示常量, ,而數(shù)值變化的量稱為而數(shù)值變化的量稱為 變量變量. .常量與變量的表示方法：常量與變量的表示方法：用字母用字母x, y, t等表示等表示變變量量. .2. 函數(shù)的概念函數(shù)的概念 定義定義1 設(shè)非空數(shù)集設(shè)非空數(shù)集,RD ., )(Dxxfy x 稱為稱為自變量自變量,y 稱為稱為因變量因變量 ,D

6、 稱為稱為定義域定義域 ,y 的全體的全體 稱為稱為值域值域 .函數(shù)圖形函數(shù)圖形: ),(yxC Dx , )(xfy xy) ,(baD abxy稱點集稱點集為函數(shù)為函數(shù) f 的圖形的圖形. 變量變量 y 按照一定法則總有唯一確定的數(shù)值和它對應(yīng)按照一定法則總有唯一確定的數(shù)值和它對應(yīng),則稱則稱 y 是是 x 的函數(shù)，記為的函數(shù)，記為Dx f DxxfyyDfy ),()(定義域定義域值域值域?qū)?yīng)法則對應(yīng)法則注注 1 函數(shù)的二要素函數(shù)的二要素 定義域定義域 D 對應(yīng)法則對應(yīng)法則 fRf)(0 xf對應(yīng)法則對應(yīng)法則 fyfRx0 xD自變量自變量因變量因變量例例1 下列各組函數(shù)是否相同？下列各組函

7、數(shù)是否相同？(1)答：答：不同不同, 因為二者定義域不同因為二者定義域不同. 前者的定義域為前者的定義域為 , 01 xxD(2)而后者的定義域為而后者的定義域為. 02 xxD答：答：不同不同, 因為二者的因為二者的對應(yīng)法則不同對應(yīng)法則不同. xyxylg2lg2 與與3xyxy 與與xyO3xy xy 0 x答：答：相同相同.vvuy22cossin1 與與(3) 兩個函數(shù)是否相同，僅取決與兩個函數(shù)是否相同，僅取決與D 和和 f，而，而與與f 的表達形式無關(guān)，也與變量的記號無關(guān)的表達形式無關(guān)，也與變量的記號無關(guān)!2 定義域：定義域： 使表達式及實際問題都有意義的使表達式及實際問題都有意義的

8、自變量所能取得的一切實數(shù)值所自變量所能取得的一切實數(shù)值所組成的集合組成的集合.2112的的定定義義域域求求函函數(shù)數(shù) xxy-例例2解解, 12 x, 02 x 解解得得, 1 x, 2 x )., 1()1 , 1()1, 2 D3 函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法:解析法解析法、圖象法、圖象法、列表法、列表法.1 1-1-1xyo(1)(1)符號函數(shù)符號函數(shù)3. 幾個特殊的函數(shù)舉例幾個特殊的函數(shù)舉例(2) 絕對值函數(shù)絕對值函數(shù),0,0 xxyxxx xyOxysgn 010001xxx當當當(3) 取整函數(shù)取整函數(shù) y = x, x R階梯曲線階梯曲線x表示不超過表示不超過 x 的最大整數(shù)的最大

9、整數(shù). 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 -1-3xyO34211( )0 xyD xx 當當 是是有有理理數(shù)數(shù)時時當當 是是無無理理數(shù)數(shù)時時有理數(shù)點有理數(shù)點無理數(shù)點無理數(shù)點1xyo(4) 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)(5) 數(shù)列數(shù)列數(shù)列數(shù)列也是一類函數(shù)也是一類函數(shù), 它的定義域是全體正整數(shù)它的定義域是全體正整數(shù), N它的圖形是平面上的一些孤它的圖形是平面上的一些孤構(gòu)成的集合構(gòu)成的集合立點的集合立點的集合.三、函數(shù)可能具有的幾種特性三、函數(shù)可能具有的幾種特性設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù), )(Dxxfy 又數(shù)集又數(shù)集.DX 1. 有界性有界性,Dx 若若，使，使常數(shù)常數(shù)0 M,)(Mxf )(x

10、f則稱則稱為為有界函數(shù)有界函數(shù). M-MyxOy = f (x)Xxyoxx,Dx 有有.Dx 若若Dxxfxf , )()(則稱則稱 f (x)為為偶函數(shù)偶函數(shù);若若Dxxfxf , )()(則稱則稱 f (x)為為奇函數(shù)奇函數(shù).說明說明: 若若)(xf在在 x = 0 有定義有定義 ,. 0)0( f)(xf則當則當為奇函數(shù)時為奇函數(shù)時,關(guān)于原點對稱，即關(guān)于原點對稱，即設(shè)設(shè)D 2. 奇偶性奇偶性yx)( xf )(xfy Ox-x)(xf偶函數(shù)的圖形關(guān)偶函數(shù)的圖形關(guān)于于y 軸對稱軸對稱奇函數(shù)的圖形關(guān)奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱于原點對稱例例4證證 令令,1xt 則則1,tx tctfbtfa

11、)()1(由由xcxfbxfa )1()(xcxfbxfa )()1(消去消去,)1(xf得得 )0()(22 xxaxbabcxf顯然顯然, )()(xfxf 又又,0)0( f故故)(xf為奇函數(shù)為奇函數(shù) .且且0)0( f1( )(),ca f xbfxx ,ba 證明證明)(xf0 x時時其中其中cba,為常數(shù)為常數(shù) , 且且為奇函數(shù)為奇函數(shù) . 設(shè)設(shè)在在 I 上上單調(diào)減少單調(diào)減少.,.21IxxDI 設(shè)區(qū)間設(shè)區(qū)間當當21xx 時時, )()(21xfxf 若若稱稱 )(xf在在 I 上上單調(diào)增加；單調(diào)增加；稱稱 )(xf單調(diào)增加或單調(diào)減少的單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù)函數(shù) 統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為單

12、調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù).xy1x2xO, )()(21xfxf 若若3. 單調(diào)性單調(diào)性注注 函數(shù)單調(diào)與否同所論區(qū)間有關(guān)函數(shù)單調(diào)與否同所論區(qū)間有關(guān).4. 周期性周期性,0, TDx常數(shù)常數(shù)且且,DTx )()(xfTxf 則稱則稱)(xf為為周期函數(shù)周期函數(shù) ,to)(tf22 xo2y2若若稱稱 T 為為周期周期.周期為周期為 周期為周期為2( 通常說周期函數(shù)的周期是指其通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期最小正周期 ).例如例如: 常量函數(shù)常量函數(shù)，Cxf )( 狄里克雷函數(shù)狄里克雷函數(shù) )(xfx 為有理數(shù)為有理數(shù),x 為無理數(shù)為無理數(shù);,1,0注注 并非任何一個周期函數(shù)都有最小正周期并非任何一個

13、周期函數(shù)都有最小正周期.每一個正數(shù)都是其周期每一個正數(shù)都是其周期.每一個正有理數(shù)都是其周期每一個正有理數(shù)都是其周期.這兩個函數(shù)均無最小正周期這兩個函數(shù)均無最小正周期!例例5 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(, )( xxfy的圖形關(guān)于的圖形關(guān)于,ax 均對稱均對稱, 求證求證)(xfy 是周期函數(shù)是周期函數(shù).)(babx 證證 由由 )(xaf)(xf的對稱性知的對稱性知),(xaf )(xbf)(xbf 于是于是 )(xf)(axaf )(axaf )2(xaf )2(bxabf )2(bxabf )(2abxf 故故)(xf是周期函數(shù)是周期函數(shù) , 周期為周期為)(2abT xyOab四、四、 反函數(shù)與

14、復(fù)合函數(shù)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)1. 反函數(shù)的定義及性質(zhì)反函數(shù)的定義及性質(zhì)定義定義 對于以對于以D為定義域，為定義域，f (D)為值域的函數(shù)為值域的函數(shù)y =f (x),與之對應(yīng)，與之對應(yīng)，的數(shù)的數(shù)中可唯一確定一個滿足中可唯一確定一個滿足在集合在集合若對若對xxfyDDfy)(),( )(DfDf1 f).(yxxy 為因變量的函數(shù)為因變量的函數(shù)為自變量，為自變量，一個以一個以則這一對應(yīng)關(guān)系確定了則這一對應(yīng)關(guān)系確定了.)()(的反函數(shù)的反函數(shù)就稱為就稱為函數(shù)函數(shù)xfyyx 習慣上習慣上 ,Dxxfy , )(的反函數(shù)記成的反函數(shù)記成)(,)(1Dfxxfy 例如例如, 函數(shù)函數(shù), 0,(,2 xxy其

15、反函數(shù)為其反函數(shù)為,xy ),0 x性質(zhì)性質(zhì):(1) 函數(shù)函數(shù))(xfy 與其反函數(shù)與其反函數(shù))(1xfy 的圖形關(guān)于的圖形關(guān)于直線直線xy 對稱對稱 .)(1xfy )(xfy xy ),(abQ),(baPxyo其反函數(shù)其反函數(shù)(減減)(減減) .(2) 單調(diào)遞增單調(diào)遞增)(xfy )(1xfy 也單調(diào)也單調(diào)遞增遞增例如例如 ,),(, xeyx對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)),0(,ln xxy互為反函數(shù)互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線其圖形關(guān)于直線xy 對稱對稱 .指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)xyOxey xyln 例例6解解.,2,3, 21 , 1,3的的反反函函數(shù)數(shù)求求 xxxx

16、xyx分段函數(shù)的反函數(shù)應(yīng)當逐段求：分段函數(shù)的反函數(shù)應(yīng)當逐段求：時時，當當1 x解得解得, yx );1,(, xxy反函數(shù)為反函數(shù)為時時，當當21 x解得解得,3yx 反函數(shù)為反函數(shù)為,3xy ，xy ，3xy 又對于直接函數(shù)又對于直接函數(shù) y = x 3 來說其值域為來說其值域為 1, 8 ，故反函數(shù)故反函數(shù) 的定義域為的定義域為 1, 8 ; x 1, 8 ;時時，當當2 x解得解得,log3yx 反函數(shù)為反函數(shù)為,log3xy )., 9( x綜上所述，所求反函數(shù)為綜上所述，所求反函數(shù)為 . 9,log, 81 , 1 ,33xxxxxxy，xy3 2. 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 定義定義:,自

17、自變變量量x,中間變量中間變量u,因變量因變量y的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為為，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)，若，若值域為值域為的的，而函數(shù)，而函數(shù)的定義域的定義域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxfyZDZxuDufyff)()()( ,uy 設(shè)設(shè)例例,12xu 21xy 注注fDR 1 并非任何兩個并非任何兩個 函數(shù)都能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，函數(shù)都能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)， 函數(shù)的復(fù)合是有函數(shù)的復(fù)合是有條件條件的的.).2arcsin(2)(arcsin)(22xyxxuuufy 構(gòu)構(gòu)成成復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)不不能能與與 條件條件：如：如：fDR Ou-112，而，而因為因為), 2,1, 1 RDf設(shè)設(shè)求求函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域101( )

18、,(3).212xf xf xx 解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故例例7 統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).冪函數(shù)、冪函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、 對數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)反三角函數(shù)五、基本初等函數(shù)五、基本初等函數(shù)1 1、冪函數(shù)、冪函數(shù))( 是是常常數(shù)數(shù)xy 2 2、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)),(10 aaayxxey 3 3、對數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)),(log10 aaxyaxyln 4 4、三角函數(shù)、三角函數(shù),sin xy ,cosxy ,tan xy xycot 正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xy

19、sec xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc 5 5、反三角函數(shù)、反三角函數(shù)xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)xyarctan xyarctan 反正切函數(shù)反正切函數(shù)xarcycot 反余切函數(shù)反余切函數(shù)xycot arc六、初等函數(shù)六、初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)稱為稱為初等函數(shù)初等函數(shù) . 否則稱為否則稱為非初等函數(shù)非初等函數(shù) . 例如例如 ,2xy y0,xx0,xx并可用并可用一個式子一個式子表示的函數(shù)表示的函數(shù) ,經(jīng)過經(jīng)過有限次有限次四則運算和四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成復(fù)合步驟所構(gòu)成 ,

20、可表為可表為故為初等函數(shù)故為初等函數(shù).2)(xxeexfy 為奇函數(shù)為奇函數(shù)xsh (1) 雙曲正弦雙曲正弦 記記xyoxexe xysh 1. 雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)(2) 雙曲余弦雙曲余弦 2)(xxeexfy xch 為偶函數(shù)為偶函數(shù)記記xyoxexe xych 工程中常用的一類初等函數(shù)工程中常用的一類初等函數(shù):xxychsh xxxxeeee 為奇函數(shù)為奇函數(shù)oyx11xth (3) 雙曲正切雙曲正切 記記xyth 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)定義域定義域?qū)?yīng)規(guī)律對應(yīng)規(guī)律2. 函數(shù)的特性函數(shù)的特性有界性有界性, 奇偶性奇偶性,單調(diào)性單調(diào)性, 周期性周期性3. 初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)1. 函數(shù)的定義

21、及函數(shù)的二要素函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素例例3-1 已知函數(shù)已知函數(shù) 1,110,2)(xxxxxfy求求 )21(f及及, )1(tf解解212)21( f2 )1(tf10 t,11t 1 t,2t時時0 t函數(shù)無定義函數(shù)無定義并寫出定義域及值域并寫出定義域及值域 .定義域定義域 ),0 D值值 域域 ()0,).f D ,11t 11 t,12t, 110 t=例例4-1證明證明設(shè)設(shè)f(x)是定義在是定義在(-a,a)內(nèi)的任意函數(shù)，證明內(nèi)的任意函數(shù)，證明（1）f(x)+f(-x)是偶函數(shù)；是偶函數(shù)；（2）f(x)-f(-x)是奇函數(shù)；是奇函數(shù)；（3）f(x)總可以表示為一個偶函數(shù)與一個總可

22、以表示為一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和奇函數(shù)之和.(1)令令F(x)=f(x)+f(-x), 因為在對稱區(qū)間因為在對稱區(qū)間(a,-a)內(nèi)，內(nèi)，有有 F(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)=F(x),所以，所以，F(xiàn)(x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù)是偶函數(shù).(2)令令F(x)=f(x)-f(-x),有有，對對于于任任一一),(aax 所以所以,F(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù)是奇函數(shù).(3)作以上兩個函數(shù)的線形組合作以上兩個函數(shù)的線形組合,可得可得 f(x)=)()(21)()(21xfxfxfxf )()()()(21xfxfxfxf 即即 f(x)表示一個偶函數(shù)與一個奇函

23、數(shù)之和表示一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和. F(-x)=f(-x)-f(x) =-f(x)-f(-x)=-F(x),例例6 -1 求求y的反函數(shù)及其定義域的反函數(shù)及其定義域.解解01x當當時時,2xy 則則1,0(,yyx10 x當當時時,xyln則則0,(,yexy21 x當當時時,12xey則則2,2(,ln12eyxy反函數(shù)反函數(shù)y1,0(,xx0,(,xex2,2(,ln12exx定義域為定義域為2,2(1,(e21,210 ,ln01, 12xexxxxx212e21yox1, 1,0(, 0,(, 2,2(e令令ux 1則則 2111uuuf,112uu 故故)0(.11)(2 xxx

24、xf解解 設(shè)設(shè)0 x，有，有21)1(xxxf ，求函數(shù)，求函數(shù))0()( xxfy的解析表達式的解析表達式. 例例7-1例例7-2解解).(),(,2)(,)(2xfgxffxgxxfx求求設(shè)設(shè) ,)(2uuf )(xff2)(xf22x ,4x ,2)(uug )(xfg)(2xf.22x 例例7-3解解).(,)(,1 , 11, 1)(xgfexgexxxexfx求求設(shè)設(shè) )(xgf1)(1 xge, 1exg )(1),(xg 11 xee, 1eex 1,xe , 01 x. 10 x, 1,xe 例例7-4 0, 10,)1,sin1, 0)(2xxxxxxxxf（，設(shè)設(shè) ).(xf 求求解解)(xf )(uf 1,sin1,0uuu ) 01(1)(),(sin) 01(1)(, 0 xxxxxx或或 0, 1sin1,sin0102xxxx_)(xu 01-1xy)(xy 例