MATLAB求解微分方程(實驗6)微分方程求解

1、1整理課件實驗實驗Experiments in Mathematics微微 分分 方方 程程 求求 解解2整理課件實驗目的實驗目的實驗內容實驗內容MATLAB2、學會用、學會用Matlab求微分方程的數值解求微分方程的數值解.實驗軟件實驗軟件1、學會用、學會用Matlab求簡單微分方程的解析解求簡單微分方程的解析解.1 1、求簡單微分方程的解析解求簡單微分方程的解析解.2、求微分方程的數值解、求微分方程的數值解.3整理課件微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程（組）的解析解命令:dsolve(方程方程1, 方程方程2,方程方程n, 初始條件初始條件, 自變量自變量)注意： y Dy，y

2、D2y 自變量名可以省略，默認變量名t。整理課件例11)0(,12yydxdy輸入：y=dsolve (Dy=1+y2) y1=dsolve(Dy=1+y2,y(0)=1,x)輸出：y= tan(t-C1) （通解） y1= tan(x+1/4*pi) （特解）MATLAB軟件求解5整理課件例2 常系數的二階微分方程0)0( , 1)0(, 032 yyyyyy=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0,x)y=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0,y(0)=1,Dy(0)=0,x)輸入：y = C1*exp(-x)+C2*exp(3*x)y = 3/4*exp(-x)+1/4*exp

3、(3*x)結果：6整理課件x=dsolve(D2x-(1-x2)*Dx+x=0, x(0)=3,Dx(0)=0)例3 非常系數的二階微分方程0)0( , 3)0(, 0)()( )(1 ()( 2xxtxtxtxtx無解析表達式！7整理課件x=dsolve(Dx)2+x2=1,x(0)=0)例4 非線性微分方程0)0(, 1)()( 22xtxtxx = sin(t) -sin(t)若欲求解的某個數值解，如何求解？t=pi/2; eval(x)MATLAB軟件求解8整理課件輸入：x,y=dsolve(Dx=3*x+4*y,Dy=-4*x+3*y)x,y=dsolve(Dx=3*x+4*y,Dy

4、=-4*x+3*y,x(0)=0,y(0)=1)例51)0(0)0(3443yxyxdtdyyxdtdx輸出： x =-exp(3*t)*(C1*cos(4*t)-C2*sin(4*t) y =exp(3*t)*(C1*sin(4*t)+C2*cos(4*t) x =exp(3*t)*sin(4*t) y =exp(3*t)*cos(4*t)MATLAB軟件求解9整理課件解解 輸入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z, . Dy=4*x-5*y+3*z,. Dz=4*x-4*y+2*z, t); x=simple(x) % 將x簡化 y=simple(y) z=si

5、mple(z)結 果 為：x =C3*exp(2*t)+exp(-t)*C1 y =C2*exp(-2*t)+C3*exp(2*t)+exp(-t)*C1 z =C2*exp(-2*t)+C3*exp(2*t)10整理課件微分方程的數值解微分方程的數值解（一）常微分方程數值解的定義（一）常微分方程數值解的定義 在生產和科研中所處理的微分方程往往很復雜且大多得不出一般解。而在實際上對初值問題，一般是要求得到解在若干個點上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個滿足精確度要求的便于計算的表達式。因此，研究常微分方程的數值解法是十分必要的因此，研究常微分方程的數值解法是十分必要的。的相應近似值求出準確值

6、，值處，即對的若干離散的開始其數值解是指由初始點，：對常微分方程nnnyyyxyxyxyxxxxxxyxyyxfy, )(,),(),( )(),( 2121210000返 回11整理課件（二）建立數值解法的一些途徑（二）建立數值解法的一些途徑001)()( , 1, 2 , 1 , 0 , yxyx,yfynihxxii解微分方程：可用以下離散化方法求設1、用差商代替導數、用差商代替導數 若步長h較小，則有hxyhxyxy)()()( 故有公式：1-n,0,1,2,i )(),(001xyyyxhfyyiiii此即歐拉法歐拉法。12整理課件2、使用數值積分、使用數值積分對方程y=f(x,y)

7、, 兩邊由xi到xi+1積分，并利用梯形公式，有：)(,()(,(2)(,()()(11111iiiiiixxiixyxfxyxfxxdttytfxyxyii實際應用時，與歐拉公式結合使用：, 2 , 1 , 0 ),(),(2),()(11)1(1)0(1kyxfyxfhyyyxhfyykiiiiikiiiii的計算。然后繼續(xù)下一步，取時，當滿足，對于已給的精確度）（ y y 2i111i)(1)1(1kikikiyyy此即改進的歐拉法改進的歐拉法。故有公式：)(),(),(200111xyyyxfyxfhyyiiiiii13整理課件3、使用泰勒公式、使用泰勒公式 以此方法為基礎，有龍格龍格

8、-庫塔法庫塔法、線性多步法線性多步法等方法。4、數值公式的精度、數值公式的精度 當一個數值公式的截斷誤差可表示為O（hk+1）時（k為正整數，h為步長），稱它是一個k階公式階公式。k越大，則數值公式的精度越高。歐拉法是一階公式，改進的歐拉法是二階公式。龍格-庫塔法有二階公式和四階公式。線性多步法有四階阿達姆斯外插公式和內插公式。返 回14整理課件（三）用（三）用Matlab軟件求常微分方程的數值解軟件求常微分方程的數值解t，x=solver（f,ts,x0,options）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程寫成的m-文件名ts=t0,tf，t0、tf為自變量

9、的初值和終值函數的初值ode23：組合的2/3階龍格-庫塔-芬爾格算法ode45：運用組合的4/5階龍格-庫塔-芬爾格算法自變量值函數值用于設定誤差限(缺省時設定相對誤差10-3, 絕對誤差10-6),命令為：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分別為設定的相對誤差和絕對誤差.15整理課件 1、在解n個未知函數的方程組時，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應以x的分量形式寫成。 2、使用Matlab軟件求數值解時，高階微分方程必須等價地變換成一階微分方程組。注意注意:( )(1)(1)( , , ,)(0), (0),(0)nnnyf

10、 t y yyyyy 選擇一組狀態(tài)變量(1)12,nnxy xyxy 122312,( ,)nnxxxxxf t x xx16整理課件注意1、建立、建立M文件函數文件函數 function xdot = fun(t,x,y) xdot = x2(t)；x3(t)；f(t, x1(t), x2(t),xn(t)；2、數值計算、數值計算（執(zhí)行以下命令）（執(zhí)行以下命令） t,xt,x1 1,x,x2 2,x,xn n=ode45(=ode45(funfun,t,t0 0,t,tf f,xx1 1(0),x(0),x2 2(0),x(0),xn n(0)(0)122312,( ,)nnxxxxxf t

11、 x xx17整理課件解解: 令 y1= x，y2= y1= x1、建立m-文件如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0，tf=3000，輸入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-)3、結果如圖050010001500200025003000-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5218整理課件解解 1、建立m-文件如下： function dy=rigid(t,y) dy=

12、zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，輸入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3、結果如圖024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81圖中，y1的圖形為實線，y2的圖形為“*”線，y3的圖形為“+”線.19整理課件例例9 Van der pol 方程方程：0)0( , 3)0(0)()( )(1 ()( 2xxtxtxtxtx

13、令令 y1=x (t), y2 = x(t) 0)0(3)0()1(211221221yyyyyyyy該方程無解析解！20整理課件（1）編寫M文件 ( 文件名為 vdpol.m): function dy = vdpol(t,y); dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=(1-y(1)2)*y(2)-y(1); % 或 dy=y(2);(1-y(1)2)*y(2)-y(1);（2）編寫程序如下:（vdj.m） t,y=ode23(vdpol,0,20,3,0); y1=y(:,1); % 原方程的解 y2=y(:,2); plot(t,y1,t,y2, - ) %

14、y1(t),y2(t) 曲線圖 pause, plot(y1,y2),grid % 相軌跡圖，即y2(y1)曲線21整理課件 藍色曲線 y（1）；（原方程解） 紅色曲線 y（2）；05101520-3-2-10123Time,Secondy(1)and y(2)Van Der Pol Solution 計算結果22整理課件-3-2-10123-3-2-10123y1y2相軌跡圖23整理課件例10 考慮Lorenz模型：)()()()()()()()()()()()(321233223211txtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtx其中參數=8/3，=10，=28解：1）編寫M函數文件(l

15、orenz.m); 2) 數值求解并畫三維空間的相平面軌線； (ltest.m)24整理課件1、 lorenz.mfunction xdot=lorenz(t,x)xdot=-8/3,0,x(2);0,-10,10;-x(2),28,-1*x;x0=0 0 0.1;t,x=ode45(lorenz,0,10,x0);plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*,t,x(:,3),+)pauseplot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),grid on25整理課件0246810-20-10010203040500204060-20020-20-100102030圖中，x1的圖形為實線(藍），x2的圖形為“*” 線(綠)，x3的圖形為“+”線（紅）。取t0，tf=0，10。計算結果如下圖：計算結果如下圖：26整理課件曲線呈震蕩發(fā)散狀三維圖形的混沌狀05101520-200204060050-20020-50050010203040-40-200204060050-20020-50050若自變量區(qū)間取0，20、0，40，計算結果如下：27整理課件觀察結果： 1、該曲線包含兩個“圓盤”，每一個都是由螺線形軌道構成。某些軌道幾乎是垂直地離開圓盤中