數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)八上楊輝三角教學(xué)設(shè)計(jì)

1、初中數(shù)學(xué)人教 2011 課標(biāo)版八年級(jí)上冊(cè)第十四章楊輝三角的奧秘及應(yīng)用地區(qū)：湖北省 孝感市 應(yīng)城市學(xué)校：應(yīng)城市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)姓名：葉文斌課時(shí)：共1 課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)：一、 教學(xué)目標(biāo)1教學(xué)目標(biāo)分析“楊輝三角”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)重要成就之一，蘊(yùn)含了豐富的內(nèi)容，顯示了我國(guó)古代人民的卓越智慧和才能，了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就之一的 “楊輝三角”包含的規(guī)律，結(jié)合“楊輝三角”，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合、特殊到一般進(jìn)行歸納等數(shù)學(xué)思想的滲透和運(yùn)用，體現(xiàn)教師引導(dǎo)、學(xué)生探究的教學(xué)方式，培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)，提高數(shù)學(xué)思維能力，培育學(xué)生理性精神.根據(jù)以上分析特制定教學(xué)目標(biāo)如下：（ 1）通過(guò)課前組織學(xué)生開展“了解楊輝三角、探究與發(fā)現(xiàn)楊輝三角包含的規(guī)律”

2、 的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生感受我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就及其數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感.（2）通過(guò)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度研究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，建立知識(shí)的前后聯(lián)系，體會(huì)用數(shù)形結(jié)合研究問(wèn)題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和歸納推理能力.（3）通過(guò)體驗(yàn)“發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋找聯(lián)系、探究證明、性質(zhì)運(yùn)用”的學(xué)習(xí)過(guò)程，使學(xué)生掌握二項(xiàng)式系數(shù)的一些性質(zhì)，體會(huì)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、特殊到一般進(jìn)行歸納等重要數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的“再創(chuàng)造”過(guò)程 .（4）通過(guò)恰時(shí)恰點(diǎn)的問(wèn)題引入、引申，采用學(xué)生課前自主探究、課上合作探究、課下延伸探究的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)，提高學(xué)生思維能力，孕育學(xué)生創(chuàng)新精神，激發(fā)學(xué)生探索、研究我國(guó)古代數(shù)學(xué)的熱情.2學(xué)情分析教科書將二

3、項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的討論與“楊輝三角”結(jié)合起來(lái)，不僅是因?yàn)椤皸钶x三角” 是我國(guó)古代數(shù)學(xué)重要成就之一，蘊(yùn)含了豐富的內(nèi)容，顯示了我國(guó)古代人民的卓越智慧和才能，對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義教育，激勵(lì)學(xué)生的民族自豪感，而且“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)緊密相聯(lián)，由它可以直觀的看出二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)， 同時(shí)課程體系在本節(jié)課后編排了關(guān)于探究與發(fā)現(xiàn) “楊輝三角”中的奧妙的閱讀材料，為了凸現(xiàn)數(shù)學(xué)史教學(xué)，更好的掌握本節(jié)知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展，在中學(xué)生學(xué)習(xí)的各個(gè)領(lǐng)域滲透研究性學(xué)習(xí)，因此對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行了精心加工，合理調(diào)整，課前開展了探究與發(fā)現(xiàn)“楊輝三角”的一些規(guī)律的學(xué)習(xí)活動(dòng)，課上進(jìn)行展示 .3重點(diǎn)難點(diǎn)（a b）n 展開式中各項(xiàng)的系數(shù)楊輝

4、三角的關(guān)系二、 教學(xué)過(guò)程首先是給出楊輝三角的圖表，介紹楊輝和楊輝三角的歷史演變，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這樣的二項(xiàng)式系數(shù)表，早在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261 年所著的詳解九章算法一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，在這本書里，記載著類似右面的表：楊輝， 中國(guó)南宋末年數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家。大約在 13 世紀(jì) 中葉至后半葉活動(dòng)于蘇、杭一帶。字謙光，錢塘（今杭州）人。其生卒年及生平無(wú)從詳考。楊輝的數(shù)學(xué)著作甚多有日用算法楊輝算法等；“楊輝三角”出現(xiàn)在楊輝編著的 詳解九章算法一書中， 且我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲 （約公元11 世紀(jì)） 已經(jīng)用過(guò)它，這表明我國(guó)發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于11 世紀(jì) 在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家物理學(xué)家帕斯卡首先

5、發(fā)現(xiàn)的, 他們把這個(gè)表叫做帕斯卡三角楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500 年左右 . 。（二）合作交流：活動(dòng)一：?jiǎn)栴}1、大家首先觀察這個(gè)圖形整體有什么特征？問(wèn)題2、觀察楊輝三角每一行首末數(shù)字有何特征？學(xué)生實(shí)踐交流，教師引導(dǎo)總結(jié)。結(jié)論：等腰三角形楊輝三角具有軸對(duì)稱性活動(dòng)二：?jiǎn)栴}1、觀察表中從第二行起（除首末兩數(shù)之外）每個(gè)數(shù)字與它肩上兩數(shù)之間有什么關(guān)系？問(wèn)題2、每一行數(shù)字從左到右有什么特征？學(xué)生實(shí)踐交流，教師引導(dǎo)總結(jié)。結(jié)論：除首末數(shù)字外每個(gè)數(shù)字都等于它肩上兩個(gè)數(shù)字之和。（可用此性質(zhì)寫出整個(gè)楊輝三角）每行數(shù)字左右對(duì)稱，由1 開始逐漸變大。試一試1、 填空：2、第8 行第五個(gè)數(shù)是多少？活動(dòng)三：1、第一行的數(shù)

6、有幾項(xiàng)？第二、三行呢？第n 行的數(shù)又有幾項(xiàng)？問(wèn)題2、第一行的數(shù)之和是多少？第二、三行呢？第n 行的數(shù)之和又是多少？學(xué)生實(shí)踐交流，教師引導(dǎo)總結(jié)。結(jié)論：第一行的數(shù)有2 項(xiàng)，第二數(shù)有3 項(xiàng)、第三行數(shù)有4 項(xiàng)，第 n 行的數(shù)有n+1項(xiàng)。第一行的數(shù)和是2，第二的數(shù)之和是22 、第三行的數(shù)之和是23 ，第n 行的數(shù)之和是2n ?；顒?dòng)四：1、每一行首末等距離的數(shù)有什么關(guān)系？問(wèn)題2、 （ a+b） 2 的展開式有多少項(xiàng)？各項(xiàng)展開式的系數(shù)與楊輝三角有什么聯(lián)系？ （ a+b） 3 的展開式有多少項(xiàng)？各項(xiàng)展開式的系數(shù)與楊輝三角有什么聯(lián) 系？ （ a+b） n 的展開式有多少項(xiàng)？各項(xiàng)展開式的系數(shù)與楊輝三角有什么聯(lián)系？

7、學(xué)生實(shí)踐交流，教師引導(dǎo)總結(jié)。結(jié)論：每一行首末等距離的兩個(gè)數(shù)相等。（ a+b）2 的展開式有3項(xiàng)， 各項(xiàng)展開式的系數(shù)與楊輝三角第2行數(shù)字對(duì)應(yīng)相等； （ a+b） 3 的展開式有4 項(xiàng)，各項(xiàng)展開式的系數(shù)與楊輝三角第3 行數(shù)字對(duì)應(yīng)相等； （ a+b） n 的展開式有多n+1 項(xiàng) , 各項(xiàng)展開式的系數(shù)與楊輝三角第n 行數(shù)字對(duì)應(yīng)相等。與二項(xiàng)式展開系數(shù)的關(guān)系1a+ 1 b1 a2+2ab+ 1 b21 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1a+b) a+b) a+b) a+b) a+b)123451a3+31a4+41a5+51a6+6a2a

8、3a4b+ 3ab 2+ 1 b 3b+ 6a2b2+4 ab 3+1 b4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5b+ 15 a4b2+ 20 a3b 3+ 15 a2b 4+ 6ab 5+ 1 b6a+b） n 展開式的系數(shù)就是楊輝三角的第n 行 ;另一種系數(shù)的計(jì)算方法：用前一項(xiàng)的系數(shù)乘以前一項(xiàng)中第一個(gè)字母的指數(shù)依次這樣就可以寫出（ a+b）n的展開式。試一試：寫出（ a+b）9 的展開式？楊輝三角基本性質(zhì)1. 三角形的兩條斜邊上都是數(shù)1，而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加2. 楊輝三角具有對(duì)稱性（對(duì)稱美），與首末兩端“等距離 ”的兩個(gè)數(shù)相等3. 每一行的第二個(gè)數(shù)就是這行的行數(shù)4.

9、 所有行的第二個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列5. 第 n 行包含 n+1 個(gè)數(shù)另外幾個(gè)規(guī)律的觀察：1 1 31 213 11146411510105116152015611721353521711828567056288111936 84 126 126 84 36 9 11 9與數(shù)字2 的冪的關(guān)系與數(shù)字11 的冪的關(guān)系y 11n11 0122121 11 1231112111 313311464115101051161520156111721353521711 9182856705628811 9 36 84 126 126 84 36 9 1楊輝三角第n 行中1n( n 1)11an212121143

10、6341115101051161520156117213535217182856705628813684 126 126 84 36 9 1212011+ 11 + 2 + 11 + 3 + +3 114641151010511615201561172135352171828567056288136 84 126 126 84 36 9 1n+1 個(gè)數(shù)之和等于2 的 n 次冪。都是質(zhì)數(shù)11第 2行121第 3行133114641第 5行151010511615201561第 7 行172135352171182856705628811 9 36 84 126 126 84 36 9 1楊輝三角

11、的實(shí)際應(yīng)用“縱橫路線圖”是數(shù)學(xué)中的一類有趣的問(wèn)題圖 1 是某城市的部分街道圖，縱橫各有三條路，如果從A處走到 B處 （ 只能由北到南，由西向東），那么有多少種不同的走法？我們把圖順時(shí)針轉(zhuǎn)45 度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉點(diǎn)標(biāo)上相應(yīng)的楊輝三角數(shù)B處的楊輝三角數(shù)與A到 B的走法有什么關(guān)系? 結(jié)論：有趣的是，B 處所對(duì)應(yīng)的數(shù)一般地,每個(gè)交點(diǎn)上的楊輝三角數(shù)，就是從數(shù)由此看來(lái)，楊輝三角與縱橫路線圖問(wèn)題有天然的聯(lián)系6 ，正好是答案( 6)A 到達(dá)該點(diǎn)的方法挑戰(zhàn)自我問(wèn)題：如圖是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A 處走到 B處 ( 只能由北到南，由西向東) ，那么有多少種不同的走法？B處問(wèn)題：如圖是某城市的部分街道圖，A 處走到) ，那么有多挑戰(zhàn)自我縱橫各有五條路，如果從( 只能由北到南，由西向東少種不同的走法？路線圖問(wèn)題有天然的聯(lián)系A(chǔ)1、 楊輝三角的奧秘及應(yīng)用2、 通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐，認(rèn)識(shí)到多一點(diǎn)精心設(shè)計(jì)，就能融一份直觀生成，體會(huì)到什么是由 “關(guān)注知識(shí)”轉(zhuǎn)向 “關(guān)注學(xué)生”. 在教學(xué)過(guò)程中，注意到了由 “給出知識(shí)”轉(zhuǎn)向“引起活動(dòng)”，由“完成教學(xué)任務(wù)”轉(zhuǎn)向“促進(jìn)學(xué)生發(fā)展”，學(xué)生成為課堂上的真正主人. 開展數(shù)學(xué)體驗(yàn)，豐富學(xué)習(xí)方式，師生會(huì)有共同的、積極的情感體驗(yàn).成功之處：一是教學(xué)設(shè)計(jì)獨(dú)到而又新穎，打破常規(guī)，不走尋常路，通過(guò)三步探究實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出以學(xué)生為主體，