高等數(shù)學(xué)課件：3 多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分-1 偏導(dǎo)數(shù)

1、2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算高階偏導(dǎo)數(shù)2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系2定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某一鄰的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在固定在0y而而x在在0 x處有增量處有增量x 時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，則稱存在，則稱此極限為函數(shù)此極限為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處對(duì)處對(duì)x的的偏導(dǎo)數(shù)，記為偏導(dǎo)數(shù)，記為一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)

2、院 數(shù)學(xué)系3同理可定義同理可定義函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處對(duì)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系4如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)),(yx處對(duì)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是就是x、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)的函數(shù)，它就稱為函數(shù)),(yxfz

3、對(duì)對(duì)自變量自變量x的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)， 記作記作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系5偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系6例例 1 1 求求 223yxyxz 在點(diǎn)在點(diǎn))2 , 1(處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)解解 xz;32yx yz.23

4、yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系7例例 2 2 設(shè)設(shè)yxz )1, 0( xx， 求求證證 zyzxxzyx2ln1 .證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系8例例 3 3 設(shè)設(shè)22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系9 yz

5、 yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系10例例 4 4 已知理想氣體的狀態(tài)方程已知理想氣體的狀態(tài)方程RTpV （R為常數(shù)） ，求證：為常數(shù)） ，求證：1 pTTVVp.證證 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系11偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)xu 是一個(gè)整體記號(hào)，不能拆分是一個(gè)整體記號(hào)，不能拆分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求

6、求設(shè)設(shè)例例如如 有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：、 求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；定義求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系12、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系例如例如,函數(shù)函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定義知在依定義知在)0 , 0(處，處，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù)但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù). 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)，

7、連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系134、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上上一一點(diǎn)點(diǎn)為為曲曲面面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 如圖如圖2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系14 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲線在點(diǎn)所截得的曲線在點(diǎn)0M處的切線處的切線xTM0對(duì)對(duì)x軸的軸的斜率斜率. 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲線在點(diǎn)所截得的曲線在點(diǎn)0M處的切線處的切線yTM0對(duì)對(duì)y軸的軸的斜率斜率

8、.幾何意義幾何意義: :2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系15),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù).二、高階偏導(dǎo)數(shù)2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系16例例 5設(shè)設(shè)13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx

9、22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系17原函數(shù)圖形原函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形二階混合偏二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖形導(dǎo)函數(shù)圖形觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系：函數(shù)圖象間的關(guān)系：2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系18例例 6 6 設(shè)設(shè)byeuaxcos ，求求二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222bye

10、axuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系19定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)xyz 2及及yxz 2在區(qū)域在區(qū)域 D D 內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等問(wèn)題：?jiǎn)栴}：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？相等？例例 6 6 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)22ln),(yxyxu 滿足拉普拉滿足拉普拉斯方程斯方程. 02222 yuxu2007年

11、8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系20解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系21偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)（偏增量比的極限）（偏增量比的極限） 純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)（相等的條件）（相等的條件）三、小結(jié)2007年8月南京航空航天

12、大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系22若函數(shù)若函數(shù)),(yxf在 點(diǎn)在 點(diǎn)),(000yxP連連續(xù)，能否斷定續(xù)，能否斷定),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？思考題思考題2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系23思考題解答思考題解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(處處連連續(xù)續(xù),但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不存在不存在.例如例如,2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系24一一、 填填空空題題: :1 1、 設(shè)設(shè)yxztanln , ,則則 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _

13、 _. .2 2、 設(shè)設(shè) xzyxezxy則則),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 設(shè)設(shè),zyxu 則則 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 設(shè)設(shè),arctanxyz 則則 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 22yz_ _ _ _ _ _ _ _; ; yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 練練 習(xí)習(xí) 題題2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系

14、25 5 5、設(shè)、設(shè)zyxu)( , ,則則 yzu2_. .二、二、 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù): : 1 1、yxyz)1( ； 2 2、zyxu)arctan( . .三、三、 曲線曲線 4422yyxz, ,在點(diǎn)在點(diǎn)(2,4,5)(2,4,5)處的切線與正向處的切線與正向x軸所成的傾角是多少軸所成的傾角是多少? ?四、四、 設(shè)設(shè)xyz , ,求求.,22222yxzyzxz 和和五、設(shè)五、設(shè))ln(xyxz , ,求求yxz 23和和23yxz . .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系26六、六、 驗(yàn)證驗(yàn)證: : 1 1、)11(yxez , ,滿足滿足zyzyx

15、zx222 ； 2 2、222zyxr 滿足滿足 rzzryrxr 222222. .七、設(shè)七、設(shè) 0, 00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff ,. .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系27一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22 ；2 2、)1(2 yxyexy, ,)1(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1 , , xxzyzyln2 ；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz . .二、二、1 1、 xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12; ;練習(xí)題答案練習(xí)題答案2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系28 2 2、zzyxyxzx