最新二次函數(shù)專題訓(xùn)練(正方形的存在性問題)含答案只是分享

1、學(xué)習(xí)資料1如圖，已知拋物線y=x 2+bx+c 的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（ l， 0） ， B（3， 0） ，與 y 軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為 D ，對稱軸與x 軸相交于點(diǎn)E ，連接 BD （ 1）求拋物線的解析式（ 2）若點(diǎn)P 在直線 BD 上，當(dāng) PE=PC 時，求點(diǎn)P 的坐標(biāo)（ 3）在（2）的條件下，作PF x 軸于F，點(diǎn)M 為 x 軸上一動點(diǎn)，N 為直線 PF 上一動點(diǎn)，G 為拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)F， N ， G， M 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時，求點(diǎn)M 的坐標(biāo)精品文檔2如圖，拋物線y=x2+bx+c 與 x 軸交于點(diǎn)A 和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B 坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn) C 坐標(biāo)為（0，

2、 6） ，點(diǎn)D 是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D 作 x 軸的垂線，垂足為E，連接BD1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D 的坐標(biāo)；2）點(diǎn)F 是拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)FBA= BDE 時，求點(diǎn)F 的坐標(biāo)；3）若點(diǎn)M 是拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M 作 MN x 軸與拋物線交于點(diǎn)N，點(diǎn) P 在 x軸上，點(diǎn)Q 在坐標(biāo)平面內(nèi)，以線段MN 為對角線作正方形MPNQ ，請寫出點(diǎn)Q 的坐標(biāo)3如圖，已知拋物線y=ax2+bx 3 過點(diǎn)A（1， 0） ， B（ 3， 0） ，點(diǎn) M、 N 為拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作 MD y軸，交直線BC 于點(diǎn) D，交 x 軸于點(diǎn) E過點(diǎn) N 作 NF x 軸，垂足為點(diǎn)F1）求二次函數(shù)y=ax2+bx 3

3、 的表達(dá)式；2）若 M 點(diǎn)是拋物線上對稱軸右側(cè)的點(diǎn)，且四邊形MNFE 為正方形，求該正方形的面積；3）若 M 點(diǎn)是拋物線上對稱軸左側(cè)的點(diǎn)，且DMN=9° 0 ， MD=MN ，請直接寫出點(diǎn)M 的橫坐標(biāo)4.（2015 貴州省畢節(jié)地區(qū)） 如圖，拋物線y=x2+bx+c 與 x 軸交于 A（1， 0） ， B（ 3， 0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)是M （ 1）求拋物線的解析式；（ 2）若直線AM 與此拋物線的另一個交點(diǎn)為C，求CAB 的面積；（ 3）是否存在過A， B 兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)P 關(guān)于x 軸的對稱點(diǎn)為Q，使得四邊形APBQ 為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不

4、存在，請說明理由5. （2016 遼寧省鐵嶺市） 如圖，拋物線y=x2+bx+c 與 x 軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y 軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6， 0） ，點(diǎn)C 坐標(biāo)為（0， 6） ，點(diǎn) D 是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D 作 x 軸的垂線，垂足為E，連接BD （ 1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D 的坐標(biāo)；（ 2）點(diǎn)F 是拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)FBA= BDE 時，求點(diǎn)F 的坐標(biāo)；（ 3） 若點(diǎn) M 是拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn) M 作 MN x軸與拋物線交于點(diǎn)N， 點(diǎn) P 在 x軸上，點(diǎn) Q 在平面內(nèi)，以線段 MN 為對角線作正方形MPNQ，請直接寫出點(diǎn)Q 的坐標(biāo)6. （2016 廣東省茂名市） 如圖，拋物線y= x2

5、+bx+c 經(jīng)過 A（1 ， 0），B（ 3， 0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn) C ，點(diǎn)D 是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸DE 交 x 軸于點(diǎn)E，連接BD （ 1）求經(jīng)過A ， B ， C 三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（ 2）點(diǎn) P 是線段 BD 上一點(diǎn)，當(dāng)PE=PC 時，求點(diǎn)P 的坐標(biāo)；（ 3）在（2）的條件下，過點(diǎn)P 作 PF x 軸于點(diǎn)F， G 為拋物線上一動點(diǎn)，M 為 x 軸上一動點(diǎn)，N 為直線PF 上一動點(diǎn)，當(dāng)以F、 M 、 G 為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時，請求出點(diǎn)M 的坐標(biāo)2）由（1）知，拋物線的解析式為y=x 2+2x 3；0） ，3；PE=PC 時，求點(diǎn)P 的坐標(biāo)PF x 軸于F，點(diǎn)M

6、為 x 軸上一動點(diǎn)，M 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時，求點(diǎn)（ 1）求拋物線的解析式（ 2）若點(diǎn)P 在直線BD 上，當(dāng)（ 3）在（2）的條件下，作一動點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)F， N ， G，3， 0） ，直線BD 的解析式為y= 2x 6，設(shè)點(diǎn)P（ a，2a 6） ， C（ 0，3） ， E（1， 0） ，根據(jù)勾股定理得，PE2=（ a+1 ） 2+（2a 6） 2，PC2=a2+（2a 6+3） 2， PC=PE，（ a+1 ） 2+（2a 6） 2 =a2+（2a 6+3） 2， a= 2，y= 2×（2）6= 2， P（2，2） ，（ 3）如圖，作PF x 軸于F， F（2， 0） ，設(shè) M

7、 （ d ， 0） ，G（d，d2+2d3） ，N（2，d2+2d3），以點(diǎn)F， N， G， M 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，必有 |d+2|=|d2+2d 3|，F(xiàn)M=MGd=或 d=M 的坐標(biāo)為（0） ， （， 0） ， （0） ， （0） 二次函數(shù)專題訓(xùn)練（正方形的存在性問題）參考答案1如圖，已知拋物線y=x 2+bx+c 的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（l，0），B（3，0） ，與 y 軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為 D ，對稱軸與x 軸相交于點(diǎn)E ，連接 BD N 為直線 PF 上一動點(diǎn)，G 為拋物線上M 的坐標(biāo) C（ 0，3） ，拋物線的頂點(diǎn)D（1，4） ， E （1， 0） ，設(shè)直線 BD 的解析式

8、為y=mx+n ，2如圖，拋物線y=x2+bx+c 與 x 軸交于點(diǎn)A 和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B 坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn) C 坐標(biāo)為（0， 6） ，點(diǎn)D 是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D 作 x 軸的垂線，垂足為E，連接BD1）求拋物線的解析式及點(diǎn)標(biāo)； （ 3）若點(diǎn)M 是拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D 的坐標(biāo)； （ 2）點(diǎn)F 是拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)FBA= BDE 時，求點(diǎn)F 的坐標(biāo)平面內(nèi)，以線段MN 為對角線作正方形MPNQ，請寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)解： （ 1 ）把 B 、 C 兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得y=x2+2x+6y=x 2+2x+6= （ x 2） 2+8，D（ 2， 8） ；2）如圖1 ，過 F 作

9、FG x 軸于點(diǎn)G，設(shè) F （ x，x2+2x+6） ，則FG=|x 2+2x+6| ，F(xiàn)BA= BDE ，F(xiàn)GB= BED=9°0 ，F(xiàn)BG BDE ，= ，B（ 6， 0） ，D（ 2， 8） ，M 作 MN x 軸與拋物線交于點(diǎn)N，點(diǎn) P 在 x 軸上，點(diǎn)Q 在坐E（ 2， 0） ， BE=4， DE=8， OB=6，BG=6 x，=F 在 x 軸上方時，有F 在 x 軸下方時，有x= 1 或 x=6（舍去），此時x= 3 或 x=6（舍去） ，此時F 點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，）；F 點(diǎn)坐標(biāo)為（3，） ；綜上可知F 點(diǎn)的坐標(biāo)為（1 ，）或（3，） ；（ 3）如圖2，設(shè)對角線MN 、 P

10、Q交于點(diǎn)O ，點(diǎn) M 、 N 關(guān)于拋物線對稱軸對稱，且四邊形MPNQ 為正方形，點(diǎn) P 為拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線的對稱軸上，設(shè) Q（ 2， 2n） ，則 M 坐標(biāo)為（2 n， n） ，M 在拋物線y= x2+2x+6 的圖象上，n=（ 2 n） 2+2（ 2 n） +6，解得n=1+ 或 n= 1，滿足條件的點(diǎn)Q 有兩個，其坐標(biāo)分別為（2，2+2）或（2，2 2） 3如圖，已知拋物線y=ax2+bx 3 過點(diǎn) A（1， 0） ， B（ 3， 0） ，點(diǎn) M、 N 為拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作 MD y軸，交直線BC 于點(diǎn) D，交 x 軸于點(diǎn) E過點(diǎn) N 作 NF x 軸，垂足為點(diǎn)

11、F（ 1）求二次函數(shù)y=ax2+bx 3 的表達(dá)式；（ 2）若M 點(diǎn)是拋物線上對稱軸右側(cè)的點(diǎn)，且四邊形MNFE 為正方形，求該正方形的面積；（ 3）若M 點(diǎn)是拋物線上對稱軸左側(cè)的點(diǎn)，且DMN=9° 0 ， MD=MN ，請直接寫出點(diǎn)M 的橫坐標(biāo)解： （ 1 ）把A（1， 0） ， B（ 3， 0）代入y=ax 2+bx 3，得：y=x 2 2x 3；（2）由（1）知，拋物線解析式為：y=x 22x3=（x1）24，該拋物線的對稱軸是x=1 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1 ，4） 如圖，設(shè)點(diǎn)M 坐標(biāo)為（m， m2 2m 3） ，其中m> 1， ME=| m2+2m+3|， M 、 N 關(guān)于 x

12、=1 對稱，且點(diǎn)M 在對稱軸右側(cè)，點(diǎn) N 的橫坐標(biāo)為2 m， MN=2m 2，四邊形MNFE 為正方形， ME=MN ， | m2+2m+3|=2m 2，分兩種情況：當(dāng)m2+2m+3=2m 2 時，解得：m1=、 m2=（不符合題意，舍去）當(dāng) m= 時，正方形的面積為（2 2） 2=24 8；當(dāng)m2+2m+3=2 2m 時，解得：m3=2+， m4=2（不符合題意，舍去）當(dāng) m=2+ 時，正方形的面積為2（ 2+）22=24+8；綜上所述，正方形的面積為24+8 或 24 8（ 3）設(shè)BC 所在直線解析式為y=px+q ，把點(diǎn)B （ 3， 0） 、 C（ 0，3）代入表達(dá)式，得：直線 BC 的

13、函數(shù)表達(dá)式為y=x 3，設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（t， t2 2t 3） ，其中 t< 1 ，則點(diǎn)N（2t，t22t3），點(diǎn) D（t，t3），MN=2 tt=22t， MD=|t 22t3t+3|=|t23t|MD=MN ， |t23t|=2 2t，分兩種情況：當(dāng)t2 3t=2 2t 時，解得t1= 1， t2=2（不符合題意，舍去）當(dāng)3t t2=2 2t 時，解得t3=， t2=（不符合題意，舍去）綜上所述，點(diǎn)M 的橫坐標(biāo)為1 或4.（2015 貴州省畢節(jié)地區(qū)） 如圖，拋物線y=x2+bx+c 與 x 軸交于A（1， 0） ， B（ 3， 0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)是M （ 1）

14、求拋物線的解析式；（ 2）若直線AM 與此拋物線的另一個交點(diǎn)為C，求 CAB 的面積；（ 3）是否存在過A， B 兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)P 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)為Q，使得四邊形APBQ 為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由分析： （ 1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（ 2）根據(jù)軸對稱，可得M 的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AM 的解析式，根據(jù)解方程組，可得 B 點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；（ 3）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得P、 Q 點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式解答：解：（ 1 ）將A、 B 點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，解得，拋物線的解析式y(tǒng)=x 2 2x

15、 3；（ 2）將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，得y= （ x 1 ） 2 4，M 點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4） ， M 點(diǎn)的坐標(biāo)為（1 ， 4） ，設(shè) AM 的解析式為y=kx+b ，將 A 、 M 點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得AM 的解析式為y=2x+2 ，聯(lián)立AM 與拋物線，得C 點(diǎn)坐標(biāo)為（5， 12） S ABC= ×4×12=24；（ 3）存在過A， B 兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)P 關(guān)于 x軸的對稱點(diǎn)為Q，使得四邊形APBQ 為正方形，由 ABPQ 是正方形，A（1 ， 0） B（ 3， 0） ，得P（1 ，2），Q（1，2），或P（1，2）， Q（1，2），當(dāng)頂點(diǎn)P（ 1 ，2）時，設(shè)拋物線

16、的解析式為y=a（ x 1） 2 2，將 A 點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得a（1 1） 2 2=0，解得 a= ，拋物線的解析式為y= （ x 1 ） 2 2，當(dāng) P（ 1， 2）時，設(shè)拋物線的解析式為y=a（ x 1） 2+2，將A 點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得a（1 1） 2+2=0，解得a=，拋物線的解析式為綜上所述：y= （ x 1 ） 2 2 或y=（ x 1 ） 2+2，y=（ x 1） 2+2，使得四邊形APBQ 為正方形5. （2016 遼寧省鐵嶺市） 如圖，拋物線x2+bx+c 與 x 軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與 y 軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C 坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn) D 是拋物

17、線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D 作 x 軸的垂線，垂足為E，連接BD 1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D 的坐標(biāo)；2）點(diǎn)F 是拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng) FBA= BDE 時，求點(diǎn)F 的坐標(biāo)；3） 若點(diǎn) M 是拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn) M 作 MN x軸與拋物線交于點(diǎn)N， 點(diǎn) P 在 x軸上， 點(diǎn) Q 在平面內(nèi)，MN 為對角線作正方形MPNQ，請直接寫出點(diǎn)Q 的坐標(biāo)y=x 2+2x+6 分析 （ 1 ）由點(diǎn)B 、 C 的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再利用配方法將拋物線解析式變形成頂點(diǎn)式即可得出結(jié)論；（ 2）設(shè)線段BF 與 y 軸交點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0， m） ，由相似三角形的判定及性質(zhì)可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，根

18、據(jù)點(diǎn)B、 F的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BF 的解析式，聯(lián)立直線BF 和拋物線的解析式成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)F 的坐標(biāo)；（ 3）設(shè)對角線MN 、 PQ 交于點(diǎn)O ，如圖2 所示根據(jù)拋物線的對稱性結(jié)合正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)P、 Q的位置，設(shè)出點(diǎn)Q 的坐標(biāo)為（2， 2n） ，由正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（2 n， n） 由點(diǎn) M 在拋物線圖象上，即可得出關(guān)于n 的一元二次方程，解方程可求出n 值，代入點(diǎn)Q 的坐標(biāo)即可得出結(jié)論解答 解： （1）將點(diǎn)B（6，0）、 C（0，6）代入y=x2+bx+c 中，得：， 拋物線的解析式為2+8，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（2， 8） 2）設(shè)線段BF 與 y

19、軸交點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0， m） ，如圖 1 所示F BO= FBA= BDE ， F OB= BED=9°0F BO BDE，設(shè)直線點(diǎn)B點(diǎn)E直線6， 0） ，點(diǎn) D（ 2， 8） ，2， 0） ， BE=6 4=4， DE=8 0=8， OB=6， OF=BF 的解析式為y=kx± 3，則有0=6k+3 或 0=6k 3，解得：BF 的解析式為y=x+3或 y=x 3 聯(lián)立直線BF 與拋物線的解析式得：或?OB=3， 點(diǎn) F（ 0， 3）或（0，3） k= 解方程組 得：解方程組 得：， 點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（， 點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（綜上可知：點(diǎn)F 的坐標(biāo)為（1，）或（

20、3，）1，3，（ 3）設(shè)對角線 點(diǎn) 點(diǎn)設(shè)點(diǎn)MN 、 PQ 交于點(diǎn)O ，如圖2 所示M 、 N 關(guān)于拋物線對稱軸對稱，且四邊形MPNQ 為正方形，P 為拋物線對稱軸與x 軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q 在拋物線對稱軸上，Q 的坐標(biāo)為（2， 2n） ，則點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（2 n， n） 點(diǎn) M 在拋物線y= x 2+2x+6 的圖象上，n=+2（ 2 n） +6，即n2+2n 16=0，解得： n1=1 ， n2= 1 點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（2， 1 ）或（2， 1） 6. （2016 廣東省茂名市） 】如圖，拋物線y= x2+bx+c 經(jīng)過 A1 ， 0），B （ 3， 0 ）兩點(diǎn)，且與y 軸交于點(diǎn)（ 1）求經(jīng)過（ 2）點(diǎn)（ 3）在（C，點(diǎn)D 是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸DE 交 x 軸于點(diǎn)A， B， C 三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；E，連接BDP 是線段BD 上一點(diǎn)，當(dāng)PE=PC 時，求點(diǎn)P 的坐標(biāo)；2）的條件下，過點(diǎn)P 作 PF x 軸于點(diǎn)F， G 為拋物線上一動點(diǎn)，M 為 x 軸上一動點(diǎn)，N 為直線M 的坐標(biāo)y= x2+2x+3；分析（ 1 ）利用待定系數(shù)法求出過A，