高中數(shù)學(xué)第一章分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1.1.2分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用講

1、1. 1.2分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用課前自主預(yù)習(xí)宗知識導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)匚 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題.其區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對的是口 01分類問題,其中各種方法口 02相互獨(dú)立,用其 中任何一種方法都可以做完這件事.分步乘法計(jì)數(shù)原理針對的是口03分步問題,各個(gè)步驟中的方法04互相依存,只有各個(gè)步驟都完成之后才算做完這件事.示知識拓展對較復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題，首先要明確是先“分類”后“分步”，還是先“分步”后“分 類”；其次在“分類”和“分步”的過程中，均要確定明確的分類標(biāo)準(zhǔn)和分步程序.s

2、d自診小測1.判一判(正確的打“，”，錯(cuò)誤的打“X”)(1)分類就是能“一步到位”，分步只能“局部到位”.()(2)由數(shù)字1,2,3組成的無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)有 12個(gè).()(3)分類時(shí)，各類之間是互相獨(dú)立且排斥的，分步時(shí)各步之間是互相依存，互相聯(lián)系 的.()答案(1)， (2) X (3) V2.做一做(1) 一個(gè)禮堂有4個(gè)門，若從任一個(gè)門進(jìn)，從任一個(gè)門出，共有 種不同走法.(2)如圖從 ZC有 種不同走法.(3) 一位顧客去買書，發(fā)現(xiàn) 4本好書，決定至少買其中的2本，則這位顧客購書的方案共有 種.答案 (1)16(2)6(3)11解析(1)4X4= 16 種.(2)分為兩類，不過 B有

3、2種方法，過B有2X2= 4種方法，共有2 + 4=6種方法.分三類：購買2本有6種，購買3本有4種，購買4本有1種，共有6 + 4+1=11種萬案.課堂互動(dòng)探究探究1數(shù)字排列問題例1用0,1,2,3,4 五個(gè)數(shù)字，(1)可以排出多少個(gè)三位數(shù)字的電話號碼？(2)可以排成多少個(gè)三位數(shù)？(3)可以排成多少個(gè)能被 2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0,數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有 5種排法，共有5X5X5= 53= 125個(gè)三位數(shù)字的電話號碼.(2)三位數(shù)的首位不能為 0,但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除 0外共有4種 方法，第二、三位可以排 0,因此，共有4

4、X5X5= 100個(gè)三位數(shù).(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4 ,因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0,則有4X3= 12種排法；一類是末位數(shù)字不是 0,則末位有2種排法，即2或4,再排首位， 因0不能在首位，所以有 3種排法，十位有 3種排法，因此有 2X3X3= 18種排法.因而有 12+18=30種排法.即可以排成 30個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).拓展提升數(shù)字問題的解題策略(1)對于組數(shù)問題，一般按特殊位置(末位或首位)由誰占領(lǐng)分類，分類中再按特殊位置(或 特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解.(2)解決組數(shù)問題，應(yīng)特別注意其限制條件，有些

5、條件是隱藏的，要善于挖掘，排數(shù)時(shí)要 注意特殊位置、特殊元素優(yōu)先的原則.跟蹤訓(xùn)練1 如果一個(gè)三位正整數(shù)如“ 21%&”滿足awa2,且8<a2,則稱這樣的三位數(shù) 為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)個(gè)數(shù)是多少？解 分8類，當(dāng)中間數(shù)為2時(shí)，百位只能選1,個(gè)位可選1,0,由分步乘法計(jì)數(shù)原理，凸 數(shù)的個(gè)數(shù)為1X2=2;當(dāng)中間數(shù)為3時(shí)，百位可選1,2,個(gè)位可選0,1,2 ,由分步乘法計(jì)數(shù)原理，凸數(shù)的個(gè)數(shù)為2X3=6;同理可得：當(dāng)中間數(shù)為4時(shí)，凸數(shù)的個(gè)數(shù)為 3X4=12;當(dāng)中間數(shù)為5時(shí)，凸數(shù)的個(gè)數(shù)為 4X5=20;當(dāng)中間數(shù)為6時(shí)，凸數(shù)的個(gè)數(shù)為 5X6=30;當(dāng)中間數(shù)為7時(shí)，凸數(shù)

6、的個(gè)數(shù)為 6X7=42;當(dāng)中間數(shù)為8時(shí)，凸數(shù)的個(gè)數(shù)為 7X8=56;當(dāng)中間數(shù)為9時(shí)，凸數(shù)的個(gè)數(shù)為 8X9=72.故所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為2+6+ 12+20+30+42+56+ 72= 240.探究 2 選取問題例 2 在 7 名學(xué)生中，有3名會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋，有2名會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋，另2 名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋， 現(xiàn)從這 7 人中選 2 人同時(shí)參加象棋比賽和圍棋比賽， 共有多少種不同的選法？ 解(1) 從 3 名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選 1 名參加象棋比賽，同時(shí)從2 名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，有 3X2=6種選法；(2) 從 3 名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1 名參加象棋比賽，同時(shí)從2

7、 名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，有3X2= 6種選法；(3) 從 2 名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1 名參加圍棋比賽，同時(shí)從2 名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，有2X2= 4種選法；(4) 從 2 名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選 1 名參加象棋比賽，剩下的一名參加圍棋比賽，有2X1= 2種選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，一共有 6+6+4+ 2= 18種不同選法.拓展提升對于有限制條件的選取、抽取問題的計(jì)數(shù)，一般地，當(dāng)數(shù)目不很大時(shí)，可用枚舉法，但為保證不重不漏，可用樹圖法、框圖法及表格法進(jìn)行枚舉；當(dāng)數(shù)目較大符合條件的情況較多時(shí)，可用間接法計(jì)數(shù)；否則直接用分類或分步

8、計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)，但一般根據(jù)選 ( 抽)順序分步或根據(jù)選 ( 抽 ) 元素特點(diǎn)分類 跟蹤訓(xùn)練 2 甲、乙、丙、丁4 個(gè)人各寫 1 張賀卡，放在一起，再各取1 張不是自己所寫的賀卡，共有多少種不同取法？解 解法一： ( 枚舉法 )(1) 甲取得乙卡，此時(shí)乙有甲、丙、丁3 種取法若乙取甲，則丙取丁、丁取丙；若乙取丙，則丙取丁，丁取甲；若乙取丁，則丙取甲，丁取丙，故有3 種分配方案(2) 甲取得丙卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4 人依序可取賀卡如下：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲(3) 甲取得丁卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4 人依序可取賀卡如下：丁甲乙丙、丁丙甲乙、丁丙乙甲由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有 3 +

9、3+3=9種.解法二： ( 間接法 )(4) 個(gè)人各取 1 張賀卡甲先取 1 張賀卡有 4 種方法，乙再取1 張賀卡有 3 種方法，然后丙取 1 張賀卡有 2 種方法，最后丁僅有1 種方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理， 4 個(gè)人各取 1 張賀卡共有 4X3X2X 1= 24 種.4 個(gè)人都取自己寫的賀卡有1 種方法；6種（即從4個(gè)人中選出取自2個(gè)人取自己寫白賀卡，另 2個(gè)人不取自己所寫賀卡方法有己所寫的賀卡的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 ）；1個(gè)人取自己寫白賀卡，另3個(gè)人不取自己所寫賀卡方法有8種（從4個(gè)人中選出自己寫賀卡的1個(gè)人有4種方法，而3個(gè)人都不取自己所寫賀卡的方法有2種方法）.因此

10、，4個(gè)人都不取自己所寫賀卡的取法有24（1 + 6+8） =9 種.解法三：（分步法）第一步，甲取1張不是自己所寫的那張賀卡，有3種取法；第二步，由甲取的那張賀卡的供卡人取，也有3種取法；第三步，由剩余兩個(gè)中任 1個(gè)人取，此時(shí)只有1種取法；第四步，最后1個(gè)人取，只有1種取法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有 3X 3X1X1= 9種.探究3涂色問題例3如圖，要給地圖 A, B, C, D四個(gè)區(qū)域分別涂上 4種不同顏色中的某一種，允許同 一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，不同的涂色方案有多少種？解 解法一：按 Z B- Cf D的順序分步涂色.第一步，涂A區(qū)域，有4種不同的涂法；第二步，涂B

11、區(qū)域，從剩下的三種顏色中任選一種顏色，有 3種不同的涂法；第三步，涂C區(qū)域，再從剩下的2種不同顏色中任選一種顏色，有2種不同的涂法；第四步，涂 D區(qū)域，可分兩類，一類 D區(qū)域與A區(qū)域同色；另一類 D區(qū)域與A區(qū)域不同 色，共有1+1 =2種涂法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有 4X3X2X2= 48種不同的涂法.解法二：按所用顏色的多少分類涂色.第一類，用三種顏色，有 4X（3X2X1X1）= 24種不同涂法;第二類，用四種顏色，有 4X 3X2X1= 24種不同涂法；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有24+ 24= 48種不同涂法.拓展提升求解涂色(種植)問題一般是直接利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解，常用方法有：(1

12、)按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析；(2)以顏色(種植作物)為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問題，用分類加法計(jì)數(shù)原理分析；(3)對于涂色問題將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問題.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，花壇內(nèi)有 5個(gè)花池，有5種不同顏色的花卉可供栽種，每個(gè)花 池內(nèi)只能種同種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，則栽種方案最多有()A. 180 種B. 240 種C. 360 種D. 420 種答案 D解析 區(qū)域2,3,4,5 地位相同(都與其他4個(gè)區(qū)域中的3個(gè)區(qū)域相鄰)，故應(yīng)先種區(qū)域1, 有5種種法，再種區(qū)域 2,有4種種法，接著種區(qū)域 3,有3種種法，種區(qū)域4時(shí)應(yīng)注意：

13、區(qū) 域2與區(qū)域4同色時(shí)區(qū)域4有1種種法，此時(shí)區(qū)域 5有3種種法，區(qū)域2與區(qū)域4不同色時(shí) 區(qū)域4有2種種法，此時(shí)區(qū)域 5有2種種法，故共有 5X4X3X(1 X 3+2X2)= 420種栽種方 案，故選D.跟蹤訓(xùn)練4將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田中，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗(yàn)田不能種同一種作物，不同的種植方法共有 種.答案 42解析 從左往右5塊試驗(yàn)田分別有3,2,2,2,2種種植方法，共有 3X2X2X2X2= 48種方法，其中5塊試驗(yàn)田只種植2種作物共有3X2X 1X1X1= 6種方法，所以有 486= 42種不同的種植方法.L分類加法計(jì)數(shù)原理與分序乘法計(jì)數(shù)原理是兩個(gè)最福 本、

14、也是最重要的原理.是解答排列、蛆合問題，尤其是 較復(fù)雜的排列、綱合問題的菇曲，工應(yīng)用分類加法計(jì)黝原理要求分量的每一種方法都能把 事件獨(dú)上完成：應(yīng)用仆步來法計(jì)數(shù)原理要求軒生均是完成用件必就然過的若干彼此獨(dú)立的生驍，工一段是先分類再分步，分非時(shí)吭設(shè)計(jì)好標(biāo)掂.設(shè)計(jì)好分 美方方.防止篁復(fù)和遺謂.L菁正面分類.種類比較窸.而問題的反面種類比較少 時(shí).則使用間接法會(huì)耐電一些.隨堂達(dá)標(biāo)自測1 在由 0,1,2,3,4,5 所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5 整除的有 （）A 512 個(gè) B 192 個(gè) C 240 個(gè) D 108 個(gè)答案D解析能被5 整除的四位數(shù)，可分為兩類一類是末位為0,由分步乘法計(jì)數(shù)

15、原理，共有5X4X3= 60（個(gè)）.二類是末位為5,由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有4X4X3= 48（個(gè)）.由分類加法計(jì)數(shù)原理得60+ 48=108（個(gè)）.2.從集合1,2,3,4,5 中任取2個(gè)不同的數(shù)，作為直線Ax+ By= 0的系數(shù)，則最多形成不同的直線的條數(shù)為 （）A 18 B 20 C 25 D 10答案 A解析 第一步，給 A賦值有5種選擇，第二步，給 B賦有4種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原 理可得：5X4= 20（種）.又因?yàn)锳= 1, B= 2,與A= 2, B= 4表不'同一"直線.A= 2, B= 1與A= 4, B= 2,也表不' 同一直線，形成不同的直線最多

16、的條數(shù)為20 2= 18.3某運(yùn)動(dòng)會(huì)上， 8名男運(yùn)動(dòng)員參加100 米決賽 其中甲、 乙、 丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這 8 名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式共有 種答案2880解析分兩步安排這8 名運(yùn)動(dòng)員第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7 四條跑道可安排，所以共有4X3X2=24種方法；第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8 及余下的一條奇數(shù)號跑道安排，共有5X4X3X2X1= 120（種）.所以安排這8人的方式共有24X 120= 2880（種）.4 .將三個(gè)1、三個(gè)2、三個(gè)3填入3X3的方格中，要求每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字，則 不同的填寫方法共有 種答案 12解析 先填第一行，有3X2X1= 6種填法，再填第二行第一列，有2種填法，該位置確定后，其余位置也就唯一確定了，故共有