22.2平行四邊形的判定（第2課時）

1、八年級數(shù)學八年級數(shù)學下下 新課標新課標冀教冀教第第二十二二十二章章 四邊形四邊形 學習新知學習新知檢測反饋檢測反饋學學 習習 新新 知知問題思考問題思考1.用定義法證明一個四邊形是平行四邊形時,需要什么條件?3.平行四邊形的兩組對邊分別相等,平行四邊形的對角線互相平分,它們的逆命題如何表達?是否是真命題?2.用所學的其他判定方法判定一個四邊形是平行四邊形的條件是什么?小亮和小芳分別按下列方法得到了各自的四邊形.小亮的做法:用4根木條搭成如圖所示的四邊形,其中AB=CD,AC=BD.小芳的做法:畫兩條直線相交于點O,截取OA=OC,OB=OD;連接AB,BC,CD,DA,得到四邊形ABCD.問題

2、:(1)小亮的做法滿足怎樣的條件?(2)小芳的做法又具備怎樣的條件?(3)觀察,你認為他們得到的四邊形是平行四邊形嗎?判定定理的探究怎樣證明兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形?已知:如圖所示,在四邊形ABCD中,AB=CD,AD=CB.求證四邊形ABCD是平行四邊形.證明:如圖所示,連接BD.在ABD和CDB中,AB=CD,AD=CB,BD=DB.ABD CDB.ABD=CDB,ADB=CBD.ABCD,ADCB.四邊形ABCD是平行四邊形.證明:兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.已知:如圖所示,在四邊形ABCD中,AC,BD相交于點O,OA=OC,OB=OD.求證四邊形ABCD是平行

3、四邊形.證明這個四邊形的方法有哪些?方法有:(1)兩組對邊分別平行:(2)一組對邊平行且相等;(3)兩組對邊分別相等.平行四邊形的判定定理:(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.(2)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.(3)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.(4)兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.(教材第127頁例3)已知:如圖所示, ABCD的兩條對角線AC,BD相交于點O,E,F分別為OA,OC的中點.求證四邊形EBFD是平行四邊形.1212分析:由題意可得OB=OD,OA=OC,再由OE= OA,OF= OC得出OE=OF,可證明四邊形EBFD是平行四邊形.證明:四

4、邊形ABCD是平行四邊形,OA=OC,OB=OD.E,F分別是OA,OC的中點,OE=OF.四邊形EBFD是平行四邊形.在教材第127頁例3的條件下,如果E,F分別是OA,OC的中點,請你談?wù)?(1)點E,F分別在OA,OC上,怎樣確定點E,F的位置,可使四邊形EBFD是平行四邊形?(2)點E,F分別在OA,OC的延長線上,怎樣確定點E,F的位置,可使四邊形EBFD是平行四邊形?1.平行四邊形的判定與性質(zhì):課堂小結(jié)課堂小結(jié)2.在判定平行四邊形時,如有對角線相交可考慮用關(guān)于對角線的判定方法,有時需要添加輔助線,即連接對角線,當已知條件給出四邊形的對邊時,可考慮采用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行

5、四邊形”這一判定方法.檢測反饋檢測反饋1.(2016湘西中考)下列說法錯誤的是()A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形C.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形D.一組對邊相等,另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形解析:一組對邊相等,另一組對邊平行的四邊形不一定是平行四邊形,如等腰梯形.故選D.D 2.已知四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,如果只給出條件“ABCD”,那么可以判定四邊形ABCD是平行四邊形的是()再加上條件“BC=AD”,則四邊形ABCD一定是平行四邊形.再加上條件“BAD=BCD”,則四邊形ABCD一定是平行四邊形.再加上條件“AO

6、=CO”,則四邊形ABCD一定是平行四邊形.再加上條件“DBA=CAB”,則四邊形ABCD一定是平行四邊形.A.和B.和 C.和 D.和解析:一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,不正確;ABCD,ABC+BCD=180,BAD=BCD,ABC+BAD=180,ADBC,四邊形ABCD是平行四邊形,正確;ABCD,AOBCOD,AO CO=BO DO,AO=CO,BO=DO,四邊形ABCD是平行四邊形,正確;DBA=CAB,AO=BO,ABCD,AOBCOD,AO CO=BO DO,AO=BO,CO=DO,四邊形ABCD不一定是平行四邊形,不正確.故選C.C3.如圖所示,在四邊形ABCD中,

7、對角線AC,BD相交于點E,CBD=90,BC=4,BE=ED=3,AC=10,則四邊形ABCD的面積為()222234BCBE解析:在RtBCE中,由勾股定理,得CE= =5.AC=10,AE=CE=5,BE=DE=3,四邊形ABCD是平行四邊形.四邊形ABCD的面積為BCBD=4(3+3)=24.故選D.D4.如圖所示,四邊形ABCD中,A=ABC=90,AD=10 cm,BC=30 cm,E是邊CD的中點,連接BE并延長與AD的延長線相交于點F.求證四邊形BDFC是平行四邊形.解析:根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行可得BCAD,再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等可得CBE=DFE,然后利用“AAS”

8、證明BEC和FED全等,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得BE=EF,然后利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可.證明:A=ABC=90,BCAD,CBE=DFE.又E是邊CD的中點,CE=DE.在BEC與FED中,CBEDFEBECFEDCEDE BEC FED(AAS),BE=FE.四邊形BDFC是平行四邊形.5.如圖所示,在ABC中,D,E分別是邊AB,AC的中點,延長BC至點F,使得CF= BC,連接CD,DE,EF.(1)求證四邊形CDEF是平行四邊形;(2)若四邊形CDEF的面積為8,求DBC的面積.121212解析解析:(1)欲證明四邊形CDEF是平行四邊形,只需證得DECF

9、,DE=CF即可;(2)在四邊形CDEF與DBC中,CF= BC,且它們的高相等,即可求出DBC的面積.證明:(1)在ABC中,D,E分別是邊AB,AC的中點,DEBC且DE= BC.又CF= BC,DE=CF.四邊形CDEF是平行四邊形.12解:(2)DEBC,四邊形CDEF與DBC的高相等,設(shè)為h.CF= BC,12DBCS= BCh=CFh=8,126.已知:如圖所示,在四邊形ABCD中,AB=CD,BC=AD,點E,F在AC上,且AF=CE.求證四邊形BEDF是平行四邊形.解析:連接BD交AC于點O,首先由AB=CD,BC=AD,可得四邊形ABCD是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得

10、AO=CO,BO=DO,再由AF=CE可得EO=FO,根據(jù)兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形BEDF是平行四邊形.證明:連接BD交AC于點O,AB=CD,BC=AD,四邊形ABCD是平行四邊形,AO=CO,BO=DO.AF=CE,AF-AO=CE-CO,即EO=FO,四邊形BEDF是平行四邊形.7.嘉淇同學要證明命題“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”.她先用尺規(guī)作出了如圖所示的四邊形ABCD,并寫出了如下不完整的已知和求證.已知:如圖所示,在四邊形ABCD中,BC=AD,AB=. 求證:四邊形ABCD是四邊形. (1)補全已知和求證;(2)按嘉淇的想法寫出證明;(3)用文字

11、敘述所證命題的逆命題為. 解析解析:(1)命題的題設(shè)為“兩組對邊分別相等的四邊形”,結(jié)論是“這個四邊形是平行四邊形”,根據(jù)題設(shè)和結(jié)論可得已知和求證.(2)連接BD,利用“SSS”證明ABD CDB可得ADB=DBC,ABD=CDB,進而可得ADCB,ABCD,根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形ABCD是平行四邊形;(3)把命題“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”的題設(shè)和結(jié)論對換可得平行四邊形的兩組對邊分別相等.解:(1)已知:如圖所示,在四邊形ABCD中,BC=AD,AB=CD.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.(2)證明:連接BD,在ABD和CDB中,ABCDADCBBDDBABD CDB(SSS),ADB=DBC,ABD=CDB,ADCB,ABCD,四邊形ABCD是平行四邊形.(3)用文字敘述所證命題的逆命題為:平行四邊形的兩組對邊分別相等.8.如圖所示,已