人教版高中數(shù)學必修五典型例題(共19頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學必修五第一章 解三角形一、基礎(chǔ)知識【理解去記】在本章中約定用A，B，C分別表示ABC的三個內(nèi)角，a, b, c分別表示它們所對的各邊長，為半周長。1正弦定理：=2R（R為ABC外接圓半徑）。推論1：ABC的面積為SABC=推論2：在ABC中，有bcosC+ccosB=a.推論3：在ABC中，A+B=，解a滿足，則a=A.正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到，這里不再給出，下證推論。先證推論1，由正弦函數(shù)定義，BC邊上的高為bsinC，所以SABC=；再證推論2，因為B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，兩

2、邊同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再證推論4，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等價于cos(-A+a)-cos(-A-a)= cos(-a+A)-cos(-a-A)，等價于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因為0<-A+a，-a+A<. 所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得證。2余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理證明幾個常用的結(jié)論。（1）斯特瓦特定理【了解】：在ABC中，D是BC邊上任意一點，BD=p，DC=q，則AD2= （1）【證明】 因為c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos，

3、所以c2=AD2+p2-2AD·pcos 同理b2=AD2+q2-2AD·qcos， 因為ADB+ADC=，所以cosADB+cosADC=0，所以q×+p×得qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=注：在（1）式中，若p=q，則為中線長公式（2）海倫公式：因為b2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)= b2c2 (b+c)-a2a2-(b-c) 2=p(p-a)(p-b)(p-c).這里所以SABC=二、基礎(chǔ)例題【必會】1面積法例1 （共線關(guān)系的張角公式）如圖所示，從O點發(fā)出的三條射線滿足，另外OP，OQ，OR的長分別為u,

4、 w, v，這里，+(0, )，則P，Q，R的共線的充要條件是【證明】P，Q，R共線(+)=uwsin+vwsin，得證。2正弦定理的應用例2 如圖所示，ABC內(nèi)有一點P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求證：AP·BC=BP·CA=CP·AB。【證明】 過點P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分別為D，E，F(xiàn)，則P，D，C，E；P，E，A，F(xiàn)；P，D，B，F(xiàn)三組四點共圓，所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由題設及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。所以BPC-BAC=CPA-CBA

5、=APB-ACB=600。所以EDF=600，同理DEF=600，所以DEF是正三角形。所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC，兩邊同時乘以ABC的外接圓直徑2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得證：例3 如圖所示，ABC的各邊分別與兩圓O1，O2相切，直線GF與DE交于P，求證：PABC?！咀C明】 延長PA交GD于M，因為O1GBC，O2DBC，所以只需證由正弦定理，所以另一方面，所以，所以，所以PA/O1G，即PABC，得證。3一個常用的代換：在ABC中，記點A，B，C到內(nèi)切圓的切線長分別為x, y, z

6、，則a=y+z, b=z+x, c=x+y.例4 在ABC中，求證：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) 3abc.【證明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y，則abc=(x+y)(y+z)(z+x)=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) 3abc.4三角換元。例5 設a, b, cR+，且abc+a+c=b，試求的最大值。【解】 由題設，令a=tan, c=tan, b=tan,則tan=tan(+), P=2si

7、nsin(2+)+3cos2，當且僅當+=，sin=，即a=時，Pmax=例6 在ABC中，若a+b+c=1，求證: a2+b2+c2+4abc<【證明】 設a=sin2cos2, b=cos2cos2, c=sin2, .因為a, b, c為三邊長，所以c<, c>|a-b|，從而，所以sin2>|cos2·cos2|.因為1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)=sin2cos2+sin2cos2

8、3;cos4·cos2=1-cos22+(1-cos22)cos4cos2=+cos2(cos4-cos22cos4-cos2)>+cos2(cos4-sin4-cos2)=.所以a2+b2+c2+4abc<三、趨近高考【必懂】1（全國10高考）在ABC中，cos2，c5，求ABC的內(nèi)切圓半徑【解析】：c5，b4又cos2cosA又cosAb2c2-a22b2a2b2c2ABC是以角C為直角的三角形a3ABC的內(nèi)切圓半徑r(ba-c)12（全國10高考）R是ABC的外接圓半徑，若ab4R2cosAcosB，則外心位于ABC的外部 【解析】：ab4R2cosAco

9、sB由正弦定理得a2RsinA，b2RsinB4R2sinAsinB4R2cosAcosBcosAcosBsinAsinBcosAcosB-sinAsinB0cos(AB)0cos(AB)-cosC-cosC0cosC090°C180°ABC是鈍角三角形三角形的外心位于三角形的外部 3（全國10高考）半徑為R的圓外接于ABC，且2R(sin2A-sin2C)(a-b)sinB(1)求角C；  (2)求ABC面積的最大值 【解析】：(1)2R(sin2A-sin2C)(ab)sinB2R()2-()2(a-b)·a2-c2ab

10、-b2cosC，C30°(2)SabsinC·2RsinA·2RsinB·sinCR2sinAsinB-cos(AB)-cos(A-B)cos(A-B)cosCcos(A-B)當cos(A-B)1時，S有最大值第二章 數(shù)列*毋庸置疑，數(shù)列是歷年各省市解答題中必出的內(nèi)容。因此同學要熟練百倍！一、基礎(chǔ)知識【理解去記】定義1 數(shù)列，按順序給出的一列數(shù)，例如1，2，3，n，. 數(shù)列分有窮數(shù)列和無窮數(shù)列兩種，數(shù)列an的一般形式通常記作a1, a2, a3,，an或a1, a2, a3,，an。其中a1叫做數(shù)列的首項，an是關(guān)于n的具體表達式，稱為數(shù)列的通項。定理1

11、 若Sn表示an的前n項和，則S1=a1, 當n>1時，an=Sn-Sn-1.定義2 等差數(shù)列，如果對任意的正整數(shù)n，都有an+1-an=d（常數(shù)），則an稱為等差數(shù)列，d叫做公差。若三個數(shù)a, b, c成等差數(shù)列，即2b=a+c，則稱b為a和c的等差中項，若公差為d, 則a=b-d, c=b+d.定理2 *【必考】等差數(shù)列的性質(zhì)：1）通項公式an=a1+(n-1)d；2）前n項和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n, m為正整數(shù)；4）若n+m=p+q，則an+am=ap+aq；5）對任意正整數(shù)p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一個不為零

12、，則an是等差數(shù)列的充要條件是Sn=An2+Bn.定義3 等比數(shù)列，若對任意的正整數(shù)n，都有，則an稱為等比數(shù)列，q叫做公比。定理3 *【必考】等比數(shù)列的性質(zhì)：1）an=a1qn-1；2）前n項和Sn，當q1時，Sn=；當q=1時，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比數(shù)列，即b2=ac(b0)，則b叫做a, c的等比中項；4）若m+n=p+q，則aman=apaq。定義4 極限，給定數(shù)列an和實數(shù)A，若對任意的>0，存在M，對任意的n>M(nN),都有|an-A|<，則稱A為n+時數(shù)列an的極限，記作定義5 無窮遞縮等比數(shù)列，若等比數(shù)列an的公比q滿足|q|<1，

13、則稱之為無窮遞增等比數(shù)列，其前n項和Sn的極限（即其所有項的和）為（由極限的定義可得）。定理4 數(shù)學歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當p(n)時n=k成立時能推出p(n)對n=k+1成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數(shù)nn0成立?！狙a充知識點】定理5 第二數(shù)學歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當p(n)對一切nk的自然數(shù)n都成立時（kn0）可推出p(k+1)成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數(shù)nn0成立。定理6 對于齊次二階線性遞歸數(shù)列xn=axn-1+bxn-2，設它的特征方程x2=ax+b的兩個根為,:(1)

14、若，則xn=c1an-1+c2n-1，其中c1, c2由初始條件x1, x2的值確定；(2)若=，則xn=(c1n+c2) n-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值確定。二、基礎(chǔ)例題【必會】1不完全歸納法。這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊猜想數(shù)學歸納法證明。例1 試給出以下幾個數(shù)列的通項（不要求證明）；1）0，3，8，15，24，35，；2）1，5，19，65，；3）-1，0，3，8，15，?！窘狻?）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.例2 已知數(shù)列an滿足a1=,a1+a

15、2+an=n2an, n1，求通項an.【解】 因為a1=,又a1+a2=22·a2,所以a2=，a3=,猜想(n1).證明；1）當n=1時，a1=，猜想正確。2）假設當nk時猜想成立。當n=k+1時，由歸納假設及題設，a1+ a1+a1=(k+1)2-1 ak+1,，所以=k(k+2)ak+1, 即=k(k+2)ak+1,所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=由數(shù)學歸納法可得猜想成立，所以例3 設0<a<1，數(shù)列an滿足an=1+a, an-1=a+，求證：對任意nN+,有an>1.【證明】 證明更強的結(jié)論：1<an1+a.1)當n=1時，1<a1

16、=1+a，式成立；2)假設n=k時，式成立，即1<an1+a，則當n=k+1時，有由數(shù)學歸納法可得式成立，所以原命題得證。2迭代法數(shù)列的通項an或前n項和Sn中的n通常是對任意nN成立，因此可將其中的n換成n+1或n-1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。例4 數(shù)列an滿足an+pan-1+qan-2=0, n3，q0，求證：存在常數(shù)c，使得·an+【證明】·an+1+(pan+1+an+2)+=an+2·(-qan)+=+an(pqn+1+qan)=q().若=0，則對任意n, +=0，取c=0即可.若0，則+是首項為，公式為q的等比數(shù)列。所以+=·q

17、n.取·即可.綜上，結(jié)論成立。例5 已知a1=0, an+1=5an+，求證：an都是整數(shù)，nN+.【證明】 因為a1=0, a2=1，所以由題設知當n1時an+1>an.又由an+1=5an+移項、平方得 當n2時，把式中的n換成n-1得，即 因為an-1<an+1，所以式和式說明an-1, an+1是方程x2-10anx+-1=0的兩個不等根。由韋達定理得an+1+ an-1=10an(n2).再由a1=0, a2=1及式可知，當nN+時，an都是整數(shù)。*3數(shù)列求和法。數(shù)列求和法主要有倒寫相加、裂項求和法、錯項相消法等。例6 已知an=(n=1, 2, )，求S99=

18、a1+a2+a99.【解】 因為an+a100-n=+=，所以S99=例7 求和：+【解】 一般地，所以Sn=例8 已知數(shù)列an滿足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn為數(shù)列的前n項和，求證：Sn<2?！咀C明】 由遞推公式可知，數(shù)列an前幾項為1，1，2，3，5，8，13。因為， 所以。 由-得，所以。又因為Sn-2<Sn且>0,所以Sn, 所以，所以Sn<2，得證。4特征方程法例9 已知數(shù)列an滿足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.【解】 由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2.故設an=(+n)·2n-1，其中，所以

19、=3，=0，所以an=3·2n-1.例10 已知數(shù)列an滿足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通項an.【解】 由特征方程x2=2x+3得x1=3, x2=-1,所以an=·3n+·(-1)n，其中，解得=，所以·3。5構(gòu)造等差或等比數(shù)列例11 正數(shù)列a0,a1,an,滿足=2an-1(n2)且a0=a1=1，求通項?！窘狻?由得=1，即令bn=+1，則bn是首項為+1=2，公比為2的等比數(shù)列，所以bn=+1=2n，所以=（2n-1）2，所以an=···a0=注：C1·C2·

20、3;Cn.例12 已知數(shù)列xn滿足x1=2, xn+1=,nN+, 求通項?！窘狻?考慮函數(shù)f(x)=的不動點，由=x得x=因為x1=2, xn+1=,可知xn的每項均為正數(shù)。又+2，所以xn+1(n1)。又Xn+1-=, Xn+1+=, 由÷得。 又>0，由可知對任意nN+，>0且,所以是首項為，公比為2的等比數(shù)列。所以·，所以，解得·。注意：本例解法是借助于不動點，具有普遍意義。三、趨近高考【必懂】1.（2010.北京）設，則（）（A）（B）（C） （D）解析：數(shù)列，是以2為首項，8為公比的等比數(shù)列，給出的這個數(shù)列共有項，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式有選

21、（D）2.（2010.廣東）在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第2，3，4，堆最底層（第一層）分別按下圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球，以表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則_；=_（答案用n表示）【解析】：觀察歸納，； 觀察圖示，不難發(fā)現(xiàn)第堆最底層（第一層）的乒乓球數(shù)，第n堆的乒乓球總數(shù)相當于n堆乒乓球的底層數(shù)之和，即品：數(shù)列求和，無論等差還是等比數(shù)列，分清項數(shù)及規(guī)律都尤為重要3.（2010.北京）設等差數(shù)列的首項及公差d都為整數(shù)，前n項和為（1）若，

22、求數(shù)列的通項公式；（2）若，求所有可能的數(shù)列的通項公式【解析】：（1）由，即，解得因此，的通項公式是；（2）由，得，即由+，得，即由+，得，即所以又，故將代入、，得又，故或所以，數(shù)列的通項公式是或品：利用等差（比）數(shù)列的定義構(gòu)造方程（組）或不等式（組）是常用的解題方法4.（2010.江蘇）設數(shù)列滿足，證明為等差數(shù)列的充要條件是為等差數(shù)列且【解析】：必要性：設是公差為的等差數(shù)列，則易知成立由遞推關(guān)系（常數(shù)）（n=1，2，3，）所以數(shù)列為等差數(shù)列充分性：設數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且，由，得，從而有，得，由得，由此不妨設， 則（常數(shù)）由此從而，兩式相減得因此（常數(shù)）（n=1，2，3，），即數(shù)列為等差

23、數(shù)列品：利用遞推關(guān)系式是解決數(shù)列問題的重要方法，要熟練掌握等差數(shù)列的定義、通項公式5.（2010.福建）已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，證明是等差數(shù)列【解析】：（1），是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，即；（2），利用的通項公式，有構(gòu)建遞推關(guān)系，得，從而有，得，即故是等差數(shù)列方法：由遞推式求數(shù)列的通項，常常構(gòu)造新的輔助數(shù)列為等差或等比數(shù)列，用迭代法、累加法或累乘法求其通項第三章 不等式*本章節(jié)總結(jié)的知識點已經(jīng)涵蓋了選修4-5的不等式專講一書。因此后期不會總結(jié)選修4-5不等式選講一書。希望同學周知！一、基礎(chǔ)知識【理解去記】*【必會】不等式的基本性質(zhì)：（1）a>ba-b>0

24、； （2）a>b, b>ca>c；（3）a>ba+c>b+c； （4）a>b, c>0ac>bc；（5）a>b, c<0ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0ac>bd;（7）a>b>0, nN+an>bn; （8）a>b>0, nN+;（9）a>0, |x|<a-a<x<a, |x|>ax>a或x<-a;（10）a, bR，則|a|-|b|a+b|a|+|b|;（11）a, bR，則(a-b)20a2+b22ab;（12

25、）x, y, zR+，則x+y2, x+y+z因為前五條是顯然的，以下從第六條開始給出證明。（6）因為a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重復利用性質(zhì)（6），可得性質(zhì)（7）；再證性質(zhì)（8），用反證法，若，由性質(zhì)（7）得，即ab，與a>b矛盾，所以假設不成立，所以；由絕對值的意義知（9）成立；-|a|a|a|, -|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|，所以|a+b|a|+|b|；下面再證（10）的左邊，因為|a|=|a+b-b|a+b|+|b|，所以|a|-|b|a+b|，所以（10）成立

26、；（11）顯然成立；下證（12），因為x+y-20，所以x+y，當且僅當x=y時，等號成立，再證另一不等式，令，因為x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 0，所以a3+b3+c33abc，即x+y+z，等號當且僅當x=y=z時成立。 二、基礎(chǔ)例題【必會】1不等式證明的基本方法。（1）比較法，在證明A>B或A<B時利用A

27、-B與0比較大小，或把（A，B>0）與1比較大小，最后得出結(jié)論。例1 設a, b, cR+，試證：對任意實數(shù)x, y, z, 有x2+y2+z2【證明】 左邊-右邊= x2+y2+z2所以左邊右邊，不等式成立。例2 若a<x<1，比較大?。簗loga(1-x)|與|loga(1+x)|.【解】 因為1-x1，所以loga(1-x)0, =|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x)>log(1-x)(1-x)=1（因為0<1-x2<1，所以>1-x>0, 0<1-x<1）.所以|loga(1+x)|&

28、gt;|loga(1-x)|.（2）分析法，即從欲證不等式出發(fā)，層層推出使之成立的充分條件，直到已知為止，敘述方式為：要證，只需證。例3 已知a, b, cR+，求證：a+b+c-3a+b【證明】 要證a+b+ca+b只需證，因為，所以原不等式成立。例4 已知實數(shù)a, b, c滿足0<abc，求證：【證明】 因為0<abc，由二次函數(shù)性質(zhì)可證a(1-a) b(1-b) c(1-c)，所以，所以，所以只需證明，也就是證，只需證b(a-b) a(a-b)，即(a-b)20，顯然成立。所以命題成立。（3）數(shù)學歸納法。例5 對任意正整數(shù)n(3)，求證：nn+1>(n+1)n.【證明】

29、 1）當n=3時，因為34=81>64=43，所以命題成立。2）設n=k時有kk+1>(k+1)k，當n=k+1時，只需證(k+1)k+2>(k+2)k+1，即>1. 因為，所以只需證，即證(k+1)2k+2>k(k+2)k+1，只需證(k+1)2>k(k+2)，即證k2+2k+1>k2+2k. 顯然成立。所以由數(shù)學歸納法，命題成立。（4）反證法。例6 設實數(shù)a0, a1,an滿足a0=an=0，且a0-2a1+a20, a1-2a2+a30, an-2-2an-1+an0，求證ak0(k=1, 2, n-1).【證明】 假設ak(k=1, 2,n-1

30、) 中至少有一個正數(shù)，不妨設ar是a1, a2, an-1中第一個出現(xiàn)的正數(shù)，則a10, a20, ar-10, ar>0. 于是ar-ar-1>0，依題設ak+1-akak-ak-1(k=1, 2, , n-1)。所以從k=r起有an-ak-1an-1-an-2 ar-ar-1>0.因為anak-1ar+1ar >0與an=0矛盾。故命題獲證。（5）分類討論法。例7 已知x, y, zR+，求證：【證明】 不妨設xy, xz.）xyz，則，x2y2z2，由排序原理可得，原不等式成立。）xzy，則，x2z2y2，由排序原理可得，原不等式成立。（6）放縮法，即要證A>

31、;B，可證A>C1, C1C2,Cn-1Cn, Cn>B(nN+).例8 求證：【證明】 ，得證。例9 已知a, b, c是ABC的三條邊長，m>0，求證：【證明】 （因為a+b>c），得證。（7）引入?yún)⒆兞糠?。?0 已知x, yR+, l, a, b為待定正數(shù)，求f(x, y)=的最小值?！窘狻?設，則，f(x,y)=(a3+b3+3a2b+3ab2)=，等號當且僅當時成立。所以f(x, y)min=例11 設x1x2x3x42, x2+x3+x4x1，求證：(x1+x2+x3+x4)24x1x2x3x4.【證明】 設x1=k(x2+x3+x4)，依題設有k1, x

32、3x44，原不等式等價于(1+k)2(x2+x3+x4)24kx2x3x4(x2+x3+x4)，即(x2+x3+x4) x2x3x4，因為f(k)=k+在上遞減，所以(x2+x3+x4)=(x2+x3+x4)·3x2=4x2x2x3x4.所以原不等式成立。（8）局部不等式。例12 已知x, y, zR+，且x2+y2+z2=1，求證：【證明】 先證因為x(1-x2)=,所以同理，所以例13 已知0a, b, c1，求證：2?！咀C明】 先證 即a+b+c2bc+2.即證(b-1)(c-1)+1+bca.因為0a, b, c1，所以式成立。同理三個不等式相加即得原不等式成立。（9）利用函

33、數(shù)的思想。例14 已知非負實數(shù)a, b, c滿足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=的最小值?！窘狻?當a, b, c中有一個為0，另兩個為1時，f(a, b, c)=，以下證明f(a, b, c) . 不妨設abc，則0c, f(a, b, c)=因為1=(a+b)c+ab+(a+b)c，解關(guān)于a+b的不等式得a+b2(-c).考慮函數(shù)g(t)=, g(t)在）上單調(diào)遞增。又因為0c，所以3c21. 所以c2+a4c2. 所以2所以f(a, b, c)=下證0 c2+6c+99c2+90 因為，所以式成立。所以f(a, b, c) ，所以f(a, b, c)min=2幾個常用的不等式選修4-5不等式選講（1）【只需了解】柯西不等式：若aiR, biR, i=1, 2, , n，則等號當且僅當存在R，使得對任意i=1, 2, , n, ai=bi, 變式1：若aiR, biR, i=1, 2, , n，則等號成立條件為ai=bi,(i=1, 2, , n)。變式2：設ai, bi同號且不為0(i=1, 2, , n)，則等號成立當且僅當b1=b2=bn.（2）【必會】