初二奧數題實數練習

1、三、練習分解因式:2 .分解因式:3 .分解因式:4 .分解因式: x4+x2y2+y4x4+4x4 23x2y2+y4 x3+4x2 9 x3 41x+30 x3+5x2 18 x3 39x 70 x3+3x2y+3xy2+2y3x3 3x2+3x+7 x3 9ax2+27a2x 26a3 x3+6x2+11x+6 a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2 3x37x+10x311x2+31x21 x4 4x+3 2x35x2+15 .分解因式： 2x2 xy3y26x+14y8 (x2 3x-3) (x2+3x+4) -8 (x+1) (x+2)(x+3)(x+4) 48(2x-7)

2、 (2x+5)(x 2-9) -916 .分解因式：x2y2+1 x2 y2+4xyx2 y2+2x4y3x4+x22ax a+1(x+y) 4+x4+y4(a+b+c) 3 ( a3+b3+c3)7 .己知：n是大于1的自然數 求證：4n2+1是合數8 .己知：f(x)=x 2+bx+c, g(x)=x 4+6x2+25, p(x)=3x 4+4x2+28x+5 且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式求：當x=1時，f(x)的值練習題參考答案1.添項，配成完全平方式(仿例3) 2.拆中項，仿例13.拆項，配成兩數和的立方原式=(x+y) 3+y3原式=(x-3a) 3+a3 原式=

3、(a+1) 3+(b+1)34 .用因式定理，待定系數法，仿例5, 6x=l時，原式=0,有因式2x-125 .看著是某代數式的二次三項式，仿例 7原式=(2x-7) (x+3)(2x-5)(x-3)-91=(2x2-x-8)(2x 2-x-28)=6 .分組配方原式=(x2+1)2-(x+a) 2 把原式用乘法展開，合并，再分解以a二b代入原式=0,故有因式a+b7 .可分解為兩個非1的正整數的積8 .提示g(x),p(x)的和，差，倍仍有f(x)的因式，3g(x)-p(x)=14(x2-2x-5)與 f(x)比較系數，41)=4一、內容提要1 .定義：如果一個整式除以另一個整式所得的商式也

4、是一個整式，并且余式是 零，則稱這個整式被另一個整式整除。2 .根據被除式=除式X商式十余式，設 f(x),p(x),q(x)者B是含x的整式,那么式的整除的意義可以表示為：若 f(x) =p(x) Xq(x), 則稱 f(x)能被 p(x)和 q(x)整除 例如: x2 3x4= (x-4) (x +1 ),.x2 3x4能被(x-4)和(x +1 )整除。顯然當 x=4 或 x=1 時 x2 3x 4 = 0,3 . 一般地，若整式f(x)含有x -a的因式，則f(a)=0 反過來也成立，若f(a)=0,則xa能整除f(x)。4 .在二次三項式中若 x2+px+q=(x+a)(x+b) =

5、 x2+(a+b)x+ab貝U p=a+b,q=ab在恒等式中，左右兩邊同類項的系數相等。這可以推廣到任意多項式、例題 例1己知 x 2 5x+m能被x 2整除，求m的值。 x -3解法一：列豎式做除法(如右)x /-2 x 2 5x+m由余式 m- 6=0得 m=6x 2 2x解法二：= x 2 5x+m含有x 2的因式一3x+m以 x=2 代入 x 2 5x+m 得 3x+622 5X2 +m=0 得 m=6m6解法三：設x2- 5x+m除以x2的商是x+a (a 為待定系數)那么 x 2 5x+m= (x+a)(x 2)= x 2+(a-2)x 2aa -2 = -5-2a = m根據左

6、右兩邊同類項的系數相等，得A = R解得a 3 (本題解法叫待定系數法)m = 6例2 己知:x4 5x3+11x2+mx+n能被 x2 2x+1 整除求：m n的值及商式解：被除式=除式X商式(整除時余式為0)商式可設為x2+ax+b得 x4 5x3+11x2+mx+n= (x22x+1) (x2+ax+b)= x4+(a-2)x 3+(b+1-2a)x 2+(a-2b)x+b根據恒等式中，左右兩邊同類項的系數相等，得a 2 = 5b +1 -2a =11|a - 2b = m1b = nm=- 11, n=4,例3 m取什么值時，解：當 x 3+ya = -3解彳3m - -11n = 4

7、商式是x2 3x+4x3+y3+z3+mxyz (xyz w 0)能被 x+y+z 整除？3+z3+mxyz 能被x+y+z整除時，它含有 x+y+z因式令x+y+z=0,得x= (y+z),代入原式其值必為0 即 (y+z) 3+y3+z3 myz(y+z)=0把左邊因式分解，得yz(y+z)(m+3)=0,; yz豐0,當y+z=0或m+3=0時等式成立.二當x,y (或y,z或x,z )互為相反數時，m可取任何值,當m=-3時，x,y,z不論取什么值，原式都能被 x+y+z整除。例4分解因式乂3 x+6分析：為獲得一次因式，可用x=±1, ±2, ±3, &

8、#177;6 (常數項6的約數)代入原式求值，只有x=2時值為0,可知有因式x+2,(以下可仿例1)解：x3 x+6= (x + 2) (x22x+3)三、練習1 .若 x3+2x2+mx+10=x+nx24x+10,貝U m=, n=2 . x3 4x2+3x+32 除以 x+2 的余式是,x4 x2+1除以x2 x 2的余式是3 .己知x3+mx+4能被x+1整除，求m4 .己知x4+ax3+bx16含有兩個因式x1和x - 2,求a和b的值5 .己知13x3+mx+11x+n能被13x26x+5整除，求m n及商式6 .己知abw0,m取什么值時，a36a2b+mab-8b3有因式a2b

9、.7 .分解因式： x3-7x+6,x3-3x2+4,x3-10x-38 .選擇題 x 2y-y 2z+z2x-x 2z+y2x+z2y-2xyz 因式分解的結果是()(A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z)(x-y)(y-z)(x+z) (D) (x-y)(y+z)(x+z)n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整數)，對于下列各組的p,q值能使n的值為 最大的是()(A) p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15.練習題參考答案1. -4, 22. 2 ; 4x+5 3. 3m =

10、 -19 =冏式x-1a = -5n -54.，(x+3)(x 2-3x-1)、b = 206. 12 7.(x-1)(x-2)(x+3),(x-2) 2(x+1),8.(A)(D)例2化簡：(1)£ + 噌Ao + 714 + -715 + V21° JI8 + V12 +3 + /6分析 兩個題分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化, 這樣計算化簡較繁.我們可以先將分母因式分解后，再化簡.於+也72（75 + J7）V2+73一（收+77）_1T7-V5=格+幣="5=5（.幣 - S）花”近+3短一庭（、片+構+由（乖*揚限1 + 2后揚 （3 +應

11、）（、后+召）76（1 + 72+72 + 73）=73（73 + ./2）（2 + 1）=鳳6-或+點7)=-厄例3化簡二7rm7/.分析本例是復合二次根式石豆忑的化簡問題，化簡方法主要有 F面兩種.解法1配方法.711 + 2718 =也 + 2+他 + 2= 7（V9 + V2）: =3 + 72.配方法是要設法找到兩個正數 x, y(x >y),使x+y=a, xy=b,則7a ±27b & + y ± 2 炳=&五 ± 6y =、反 ±(x>y).解法2待定系數法.設而樂福=、&+行，兩邊平方得所以x +y

12、= 11, xy = 18.解之得s = 2,y = 9:y = 2.所以 h + 2 屈= + 42-3 + 42.解Cl）原式=虎（J5 +萬）+ J5（ J5 + 舟豆+ 4（收+ 75）（嶼+、萬）1_小岳君t幣n "5# + 4b + 30 原莊+直)+6G后+松 網+ 2點+物 (3+近)代區(qū)+3) 76(1 +廄+貶+同 73(73+/2)(2+1)11 + 2V18 = z +y + 2A5<yI例4化簡: 也厲; J23-6J10 + 4J3-2.洛.舊-電1廠=1-石-l= （VTo -遍）.說明 本題為.二（提-加可是常見錯誤. V2 2（2） 這是多重復

13、合二次根式，可從里往外逐步化簡.原式=也3-6«10 +4G也-1）=3-=J23-6（2 + 企）不 J11 -5夜=Jl 1 - 2,而=3-J2.例5化簡！13 + 2后十牙+ 2屈分析 被開方數中含有三個不同的根式，且系數都是 2,可以看成是將、反+后+我平方得來的，因此用待定系數法來化簡.數法來化簡解設713+275 + 277+ 2后 H 金 + 后 + 而兩邊平方得13+ 2e+ 2#+ 2在=x + y + z + 2、, + 2、阮 + 2Vx.所以7 + y =13,郎=5,zx = 35.XX得(xyz)2=5X 7X35=352.因為x, y, z均非負，所以

14、xyz >0,所以xyz=35.+，有z=7.同理有x=5, y=1.所求x, y, z顯然滿足，所以原式=1+ 75 + V7.例6化簡：G -8+2后+/+J1 口+2石解設原式=x,則z2 = (4 - J10 + 2J5) + (4 + &0 + 2君)+ 2 - 710 2)(4 + 710 + 275)= 8 + 276-2/5 =8 + 2(/5-1) =6+2萬三4/5 +，顯然有宣>3所以原式f j行+ 1例？ 化簡：？而H方+ * 720- 1472.解法 1 利用(a + b) 3= a3+ b3 + 3ab(a + b)來解.設x=* J2Q + 1

15、4市+*也0- 14點,兩邊立方得m3 =40 + 3 * 378 即X3 - 6x- 40 = 0.將方程左端因式分解有(x-4)(x2 + 4x+ 10) =0.因為 22x +4x+10= (x+2) +6>0,所以x-4=0, x = 4.所以原式=4.解法23,20 + 140 2加+ 12& + 12 + 2點=3 #2十、乏產二2十點.同理*而-1藤=2-應.所以原式=(2+ 應) + (2-應)=4.說明 解法2看似簡單，但對于三次根號下的拼湊是很難的，因此本 題解法1是一般常用的解法.例8化簡：Q) ，+ J1 + / 一+ J j(2)Jy + 2 + 3,2

16、y-5.解（1）乎J（3二）+ 2jT8y二行不-（72V+ 3）2y + 4 + 642y -5原式二V 21 2y + 4 + 218y -45(/a+a + 1 +-7 + 1)2與訴工N - T).令J2y -5 =況白濘),則y二JxJ +52原式=笈5二+ 2 + 3x -x + 6x + 9V 2VJ2可(X+ 3)(因為K)0).二272 1行(J2y - 5 + 3).本小題也可用換元法來化簡.例9化簡；孑q + g -1 3 li +8 (a - 1T+ v+ r N 丁解用換元設底=與1,則a=3/ + L要=/ + 3.所以 ; 二，法.一-一 ：! 71 + 3x +

17、 3x2 + xs +3 Jl - 34+ 37 - xya+x)*+* j。二了例10己知x =(1 十 乂) + (1 - x) = 2.，y= -7=求31 - 5xy+3y”的值. 第一 «2解直接代入較繁，觀察x, y的特征有xy= l,x + y= 10.所以3x 2-5xy + 3y2 = 3x2+ 6xy + 3y2-11xy2 .= 3(x +y) -11xy_2=3X 10-11 X 1 = 289.例11求次 J. + 1)(2之 +)(2, +1)(2® +1)二(2 洶 +1) + 1的值.分析 本題的關鍵在于將根號里的乘積化簡，不可一味蠻算.解 設根號內的式子為A,注意到1 = (2-1),及平方差公式(a + b)(a-b) = a2-b2,所以A =(2-1)(2 + 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)-(2256+1) + 1=(22-1)(2 2+ 1