最新2020高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.2等差數(shù)列第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)學(xué)案5

1、第2課時 等差數(shù)列的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì) (重點(diǎn)、易錯點(diǎn)).2.能靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決 問題(難點(diǎn)).自主預(yù)習(xí)探新知1.等差數(shù)列的圖象等差數(shù)列的通項公式 an = ai + (n-1)d,當(dāng)d=0時，an是一固定常數(shù)；當(dāng) dwo時，an相應(yīng)的 函數(shù)是一次函數(shù)；點(diǎn)(n, an)分布在以d為斜率的直線上，是這條直線上的一列孤立的點(diǎn).一an aian am . 、.、思考：由上式可得d = d=a,你能聯(lián)系直線的斜率解釋一下這兩個式子的幾何意n 1 n m義嗎？提示 等差數(shù)列的通項公式可以變形為an=nd+(ai-d),是關(guān)于n的一次函數(shù)，d為斜率，一， an ai , 一

2、，,an am故兩點(diǎn)(1 ,ai) ,( n,an)直線的斜率d=當(dāng)兩點(diǎn)為(n,an), ( mam)時有d =. n i n m2.等差數(shù)列的性質(zhì)(i) an是公差為d的等差數(shù)列，若正整數(shù) m, n, p, q滿足n=p+q,則am+ an= ap+ aq. *特別地，當(dāng)n = 2k(m, n, kCN)時，am+ an= 2ak.對有窮等差數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的和，即 _ai + & = az +an-i = = ak+an_k + i =.(2)從等差數(shù)列中，每隔一定的距離抽取一項，組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列.(3)若an是公差為d的等差數(shù)列，則c+an(

3、 c為任一常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列；can( c為任一常數(shù))是公差為cd的等差數(shù)列;一 、一 一 * . . .an+an+k( k為常數(shù)，kCN)是公差為2d的等差數(shù)列.(4)若an, b分別是公差為di, d2的等差數(shù)列，則數(shù)列pan+qbn(p, q是常數(shù))是公差為 pdi+qd2的等差數(shù)列.(5) an的公差為d,貝u d>0? an為遞增數(shù)列;d<0? an為遞減數(shù)列;d= 0? an為常數(shù)列.思考：右an為等差數(shù)列，且n= p(m n, pCN),則am+ an=ap te成立嗎？提不' 不一"定.如常數(shù)列an,i +2=3,而ai+a2=2a3.基

4、礎(chǔ)自測i .思考辨析(i)若an是等差數(shù)列，則| an|也是等差數(shù)列.()(2)若| an|是等差數(shù)列，則an也是等差數(shù)列.()(3)若an是等差數(shù)列，則對任意 ne N*都有2an+i = an+an+2.()(4)數(shù)列 an的通項公式為an=3n+ 5,則數(shù)列an的公差與函數(shù)y= 3x+ 5的圖象的斜率相等.()答案(1)X (2) X (3) V (4) V提示：(1)錯誤，如2, - 1,0,1,2是等差數(shù)列，但其絕對值就不是等差數(shù)列.(2)錯誤，如數(shù)列1,2, 3,4, 5其絕對值為等差數(shù)列，但其本身不是等差數(shù)列.(3)正確，根據(jù)等差數(shù)列的通項可判定對任意nC N*都有2an+i=a

5、n+an+2成立.(4)正確.因為 an=3n + 5的公差d=3,而直線y=3x+5的斜率也是3.2.在等差數(shù)列an中，若a5=6, a8=15,則ai4 =.口工、“口a8a5 15 一 633 由題意得 d=3.8 58 5.ai4=a8+6d=15+18=33.3 .在等差數(shù)列 an中，已知 a?+a4+ as+a6+a7= 450,則 a?+a8=.【導(dǎo)學(xué)號：91432150】180因為 a3+a4+as+a6+a7= 5& = 450,所以a5= 90,az+a8=2a5 = 2X90= 180.4 .已知等差數(shù)列an中，a7+a9=16, a4= 1,則 a12=.15

6、由等差數(shù)列的性質(zhì)得 a7+ a9= a4+&2= 16,又a4= 1 a12= 15.合作探究攻重又II類型1|靈活的設(shè)元解等差數(shù)列例H 已知四個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為 26,中間兩項的積為 40,求這四個數(shù).【導(dǎo)學(xué)號：91432151a= 11,b= 8, 或c= 5,d=2,解法一：(設(shè)四個變量)設(shè)這四個數(shù)分別為 a, b, c, d,根據(jù)題意，得a=2, b-a= c- b= d- c,b= 5,a+b+c+d= 26,解得c= 8, bc= 40,d= 11，這四個數(shù)分別為 2,5,8,11或11,8,5,2.法二：(設(shè)首項與公差)設(shè)此等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,根據(jù)題意

7、,a1 + a1 + d + a1 + 2d + a +3d =26, a + da + 2d =40,-11 -化簡，得解得ai = 2,d= 3,ai = 11, d = - 3,4a + 6d= 26,22.ad 3aid+ 2d =40,，這四個數(shù)分別為2,5,8,11或11,8,5,2.法三：(靈活設(shè)元)設(shè)這四個數(shù)分別為a3d, a-d, a+d, a+ 3d,根據(jù)題意，得a+ d + a+ 3d = 26,a- da+d =40,化簡，得4a=26,a2-d2=40,解得13 a，3d = ± 2.，這四個數(shù)分別為 2,5,8,11或11,8,5,2.規(guī)律方法1 .當(dāng)已知

8、條件中出現(xiàn)與首項、公差有關(guān)的內(nèi)容時，可直接設(shè)首項為a,公差為d,利用已知條件建立方程組求出a1和d,即可確定數(shù)列.2 .當(dāng)已知數(shù)列有 2n 項時，可設(shè)為 a-(2 n- 1)d,，a-3d, a-d, a+d, a+3d,，a+(2n -1)d,此時公差為2d.3 .當(dāng)已知數(shù)列有 2n+1 項時，可設(shè)為 a- nd, a - ( n- 1) d,，a- d, a, a+d,，a+(n1)d, a+nd,此時公差為d.跟蹤訓(xùn)練1 .已知五個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5,平方和為85,求這5個數(shù).9解 設(shè)第三個數(shù)為a,公差為d,則這5個數(shù)分別為a 2d, a-d, a, a+d, a+ 2d.由已知

9、有a 2d + a d + a+ a+ d + a+2d =5,a- 2d 2+ a-d 2 + a2+ a+d 2+ a+2d 2=-,95a= 5,整理得5a2+ 10d2=85.9解得 a= 1, d= ± 2.3當(dāng)d=|時，這5個分?jǐn)?shù)分別是1, 1, 1, |, 7; 33 33 3當(dāng)d=|時，這5個數(shù)分別是7-, 5, 1, ；, -1. 33 333、1 15 7 7 511綜上，這5個數(shù)分別是一3, 1, 3, 3或1,5，1, 5，3.I類型2|等差數(shù)列的實際應(yīng)用卜例0甲、乙兩人連續(xù) 6年對某縣農(nóng)村養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模進(jìn)行調(diào)查，提供兩個不同的信息圖如圖2-2-1.甲調(diào)查表明：從

10、第 1年每個養(yǎng)雞場出產(chǎn) 1萬只雞上升到第6年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn) 2萬只 雞.乙調(diào)查表明：由第 1年養(yǎng)雞場個數(shù)30個減少到第6年10個.F均只劭萬只1罪璃場個數(shù)個)乙解由題圖可知，從第 公差為 d1,且 a1 = 1, a6=2； d2,且 b1 = 30, &= 10；從第(1)由 a1= 1, a6= 2,得a1 = 1,d1 = 0.2 ,得 a2= 1.2 ；圖 2-2-1請你根據(jù)提供的信息回答問題.(1)第2年養(yǎng)雞場的個數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)；(2)到第6年這個縣的養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模比第1年是擴(kuò)大了還是縮小了？請說明理由.【導(dǎo)學(xué)號：91432152】 思路探究：解決本題關(guān)鍵是構(gòu)造兩個數(shù)

11、列：一個是每年的養(yǎng)雞只數(shù)的平均值構(gòu)成的數(shù)列，一個是每年的養(yǎng)雞場的個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列.1年到第6年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)的雞數(shù)成等差數(shù)列，記為 an, 從第1年到第6年的養(yǎng)雞場個數(shù)也成等差數(shù)列，記為 b,公差為 1年到第6年全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)記為數(shù)列 Cn,則Cn= anbn.a1= 1, a-5d1=2,b1 = 30,由 b1 = 30, b6=10,得b1 + 5d2= 10,b1 = 30,得 b2= 26.d2= 4,C2 = a2b2= 1.2 x 26= 31.2 ,即第2年養(yǎng)雞場有26個，全縣出產(chǎn)雞 31.2萬只.2 2) = C6= a6b6 = 2 x 10= 20<Ci =

12、aibi = 30, 到第6年這個縣的養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模比第1年縮小了.規(guī)律方法1 .在實際問題中，若涉及一組與順序有關(guān)的數(shù)的問題，可考慮利用數(shù)列方法解決，若這組 數(shù)依次成直線上升或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決.2 .在利用數(shù)列方法解決實際問題時，一定要分清首項、項數(shù)等關(guān)鍵量.跟蹤訓(xùn)練3 .某市出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km,起步價為10元，即最初的4 km(不含4 km)計費(fèi)10元.如果某人乘坐該市的出租車去往14 km處的目的地，且一路暢通，等候時間為 0,需要支付車費(fèi) 元.23 . 2 根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4 km時，每增加1 km,乘客需要支付1.2元.所以可以建立一

13、個等差數(shù)列an來計算車費(fèi).令 a1=11.2 ,表示4 km處的車費(fèi)，公差 d= 1.2,那么當(dāng)出租車行至14 km處時，n=11,此時需要支付車費(fèi) an= 11.2 + (11 1) x 1.2 =23.2(元).I類型3|等差數(shù)列的性質(zhì)探究問題1 .在等差數(shù)列an中，若an=3n+ 1,那么ada5=a2+a4嗎？ a?+a5 = a3+a4成立嗎？由此你 能得到什么結(jié)論？該結(jié)論對任意等差數(shù)列都適用嗎？為什么？提示：由an=3n+ 1可知a + a5=a2+a4與 a+a5= a?+a4均成立，由此有若 m n, p, qCN* 且 m+ n= p+ q,則 am+ an= ap+ aq.

14、對于任意等差數(shù)列an,設(shè)其公差為d.則 am+ an= a1+ (rn 1)d+a1 + (n1)d=2& + (m+ n-2) d,ap+aq=a+(p 1) d+a + (q 1)d= 2ad (p+ q 2) d,因m+ n=p + q,故am+ & = ap + aq對任意等差數(shù)列都適用.2 .在等差數(shù)列an中，如果mH- n=2r,那么am+ an=2ar是否成立？反過來呢？提不：右 m- n=2r(mi n, rCN),貝 U am+ an= ad (m- 1) d+ad ( n 1)d= 2ad (餅 n- 2) d = 2ad(2r 2) d= 2 ad (r

15、1)d =2a=，顯然成立；在等差數(shù)列 an中，若 am+an=2a=，不一 定有m+ n = 2r,如常數(shù)列.3.已知一個無窮等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,則：(1)若將數(shù)列中的前 m項去掉，其余各項組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列還是等差數(shù)列嗎?(2)取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項，組成一個新的數(shù)列，這個新數(shù)列還是等差數(shù)列嗎？（3）如果取出數(shù)列中所有序號為7的倍數(shù)的項，組成一個新的數(shù)列，這個新數(shù)列還是等差數(shù)列嗎？提示：（1）、（2）、（3）中所得到的數(shù)列都還是等差數(shù)列，其中 （1）中的公差為d, （2）中的公差 為2d, （3）中的公差為7d.卜例 已知an為等差數(shù)列，ai5=8, a60 = 2

16、0,求 加思路探究：選用哪條性質(zhì)求解更為簡便？a% a30, a，5, a60, a75成等差數(shù)列嗎？解法一：（利用隔項成等差數(shù)列）因為an為等差數(shù)列，所以a® as。，a45, a6。，a75也成等差數(shù)列，設(shè)其公差為d, ai5為首項，則a6。為第四項，所以 a60= ai5+ 3d,得 d = 4,所以 a75= a6°+d= 24.法二：（利用首項與公差）設(shè)等差數(shù)列an的首項為ai,公差為d.a60= ai5 + 45d,4所以 20=8 + 45d,所以 d =,a75= ai5+60d= 8+60X ±=24.i5母題探究：i.(變條件，變結(jié)論)本例中條

17、件變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列an中，若a5=8, ai0 = 20”，求 ai5.解 法一：因為a5, ai0, ai5成等差數(shù)列，所1 以 a5 + ai5 = 2ai0.所以 ai5=2ai0-a5 = 2X20- 8= 32.法二：因為an為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,， i2所以 ai0= a5+ 5d,所以 20 = 8+5d,所以 d=.5所以 ai5= ai0+ 5d= 20+ 5x = 32.52.本例中的條件變?yōu)閍n,bn都是等差數(shù)列，若ai+bi=7,a3+b3=2i”求as+bs的值.解(i)法一：設(shè)數(shù)列an,bn的公差分別為di,d2,因為a3+b3=(ai + 2di)+(bi +

18、 2d2)=(ai+bi) + 2(di+d2) = 7+ 2(di + d2) = 2i,所以 di+d2=7,所以&= (a3+b3) + 2(di+d2)=2i+2X7= 35.法二：數(shù)列an, bn都是等差數(shù)列,數(shù)列 an+ bn也構(gòu)成等差數(shù)列，2( a3 + b§) = (ai+ bi) + (a5 + b5), ，2x2i= 7+a5+b5,a5+b5= 35.規(guī)律方法等差數(shù)列運(yùn)算的兩條常用思路(1)根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a, d的方程 組，確定ai, d,然后求其他量.(2)利用性質(zhì)巧解，觀察等差數(shù)列中項的序號，若滿足n=p + q=2r m n, p, q,

19、r C N* ,則a葉an= ap+ aq= 2a,.易錯警示：對于新構(gòu)造的等差數(shù)列，要注意判斷其公差和首項當(dāng)堂達(dá)標(biāo)固雙基1 .在等差數(shù)列an中，若 a3+a5+a7 + a9+aii= 100,則 3a9ai3的值為()【導(dǎo)學(xué)號：91432153】A. 20B. 30C. 40D. 50C ,a3 + a” = a5 + a9 = 2a7,a3 + a5 + a7 + a9 + an = 5a7 = 100,a7 = 20.3a9a13=3(a7+2d) -(az + 6d) = 2a7= 40.2.已知數(shù)列an是等差數(shù)列，若 &+a?+a0= 17, a4+as+a6+ a12+a3+ a4=77 且 ak= 13,則 k =.18: a4+ a7+ a10= 3a7= 17,17-a7= V