2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)2.4.2求函數(shù)零點(diǎn)近似解的一種計算方法——二分法學(xué)

1、242求函數(shù)零點(diǎn)近似解的一種計算方法一一二分法學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 了解函數(shù)變號零點(diǎn)與不變號零點(diǎn)的概念，會判斷函數(shù)變號零點(diǎn)的存在.2.會用二分法求函數(shù)變號零點(diǎn)的近似值，并能對二分法的過程作出程序化的步驟戸預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)聾挑戰(zhàn)自我點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)_知識鏈接現(xiàn)有一款手機(jī)，目前知道它的價格在5001 000 元之間，你能在最短的時間內(nèi)猜出與它最近的價格嗎？(誤差不超過 20 元)，猜價格方案：(1)隨機(jī)；(2)每次增加 20 元；(3)每次取 價格范圍內(nèi)的中間價，采取哪一種方案好呢？預(yù)習(xí)導(dǎo)引1. 二分法的概念對于在區(qū)間a, b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)v0 的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零 點(diǎn)所

2、在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近為零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)的方程根的關(guān)系，可用二分法來求方程的近似解.2. 用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟(1)在D內(nèi)取一個閉區(qū)間a。，b0 ? D,使f(st)與f(b)異號，即f(a。)f( 4)0.零點(diǎn)位于區(qū) 間a。，bo中.一 1 1取區(qū)間ao,bo的中點(diǎn)(如圖)，則此中點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)為xo=a+ (boa) = 2(ao+bo).AMBLL0虬計算f(xo)和f(ao)，并判斷:1如果f(Xo) = 0,則xo就是f(x)的零點(diǎn)，計算終止；2如果f(ao) f(xo)o，則零點(diǎn)位于區(qū)間xo,bo中，令

3、a1=xo,bo.一 1 1取區(qū)間a1,b的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)為X1=a1+ (b1a=?(a+ b).計算f(x和f(a1)，并判斷:1如果f(x= 0,則為就是f(x)的零點(diǎn)，計算終止:2如果f(a f(x0，則零點(diǎn)位于區(qū)間X1, d上，令a2=X1,b2=b.繼續(xù)實(shí)施上述步驟，直到區(qū)間an,bn，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間an,bn上，當(dāng)an和b2按照給定的精確度所取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數(shù)y=f(x)的近似零點(diǎn)，3計算終止這時函數(shù)y=f(x)的近似零點(diǎn)滿足給定的精確度 .歹課堂進(jìn)文歹課堂進(jìn)文全 車點(diǎn)難點(diǎn).亍平擊破_要點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)類型的判斷例 1 判斷下列函數(shù)是否有變號零

4、點(diǎn)；2 2(1)y=x-5x 14; (2)y=x+x+ 1;2y= 4x+ 4x+ 1.解(1)Ty=x5x14=(x+2)(x7),有兩個零點(diǎn)-2,7.由二次函數(shù)的圖象知，一 2,7 都是變號零點(diǎn)2123(2)vy=x+X+ 1 =(X+ 2)+ 4 0 恒成立,此函數(shù)沒有零點(diǎn).2 2(3)vy=4x+4x+1=(2x+1),1有一個零點(diǎn)-，但它是不變號零點(diǎn).規(guī)律方法 函數(shù)的零點(diǎn)分為變號零點(diǎn)和不變號零點(diǎn)，若函數(shù)零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值符號相反,則此零點(diǎn)為函數(shù)的變號零點(diǎn)；從圖象來看，若圖象穿過x軸，則此零點(diǎn)為變號零點(diǎn)，否則為不變號零點(diǎn).二分法只能求函數(shù)的變號零點(diǎn) .跟蹤演練 1 已知函數(shù)y=f(x

5、)的圖象如圖所示.下列結(jié)論正確的序號是( )1該函數(shù)有三個變號零點(diǎn)；2所有零點(diǎn)之和為 0;13當(dāng)XV2 時，恰有一個零點(diǎn)；4當(dāng) 0 0，可取區(qū)間1,2作為計算的初始區(qū)間4用二分法逐次計算，列表如下:5端點(diǎn)或中點(diǎn)橫坐標(biāo)計算端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值定區(qū)間a0=1,b0=2f(1) 6,f(2)41,21+2Xi2=1.5f(X1) 2.625v01.5,21.5+2X2 2 1.75f(X2)0.234 401.5,1.751.5+1.751.625,1.75x321.625f(x3)1.302 7v01.625+1.751.687 5,1.75x421.687 5f(x4)0.561 8v01.687

6、 5+1.751.718 75,1.75x521.718 75f(xs)0.171v01.718 75+1.75x621.734 375f(X6)0.0301.718 75,1.734 375至此可以看出，區(qū)間1.718 75,1.734 375內(nèi)的所有值精確到0.1 都為 1.7，所以 1.7 就是所求函數(shù)零點(diǎn)精確到0.1 的實(shí)數(shù)解，即為函數(shù)的一個正數(shù)零點(diǎn).規(guī)律方法1.在選擇區(qū)間a,b時要使其長度盡可能小，以減少運(yùn)算次數(shù).在沒有特別要求的情況下，為了便于計算和操作，可以嘗試取相鄰的兩個整數(shù)作為初始值區(qū)間的端點(diǎn).2.切記最后分得的區(qū)間兩端點(diǎn)共同的近似值才是零點(diǎn)的近似值，若無共同近似值則需繼續(xù)運(yùn)

7、算，直到符合要求為止.跟蹤演練 2 求函數(shù)f(x) =x3x 1 在區(qū)間1,1.5內(nèi)的一個零點(diǎn)(精確到 0.1).解由于f(1) = 1 1 1 = 1v0,f(1.5) = 3.375 1.5 1= 0.875 0, f (x)在區(qū)間1,1.5內(nèi)存在零點(diǎn)，取區(qū)間1,1.5作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐次計算列表如下：端點(diǎn)或中點(diǎn)橫坐標(biāo)計算端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值定區(qū)間a。一 1,bo 1.5f(1)1,f(1.5)0.8751,1.51 +1.5X021.25f(X0)v01.25,1.561.25+1.5X1=-2-1.375f(X1)01.25,1.3751.25+1.375x2=2=1.312

8、 5f(X2)V01.312 5,1.3751.312 5+1.375X3=2=1.343 75f(xs)01.312 5,1.343 75區(qū)間1.312 5,1.343 75兩個端點(diǎn)精確到 0.1 的近似值都是 1.3，所以原函數(shù)精確到 0.1的近似零點(diǎn)為 1.3.歹當(dāng)堂檢測聾歹當(dāng)堂檢測聾肖堂觀逐丄體懸庵功_1.設(shè)函數(shù)f(x)用二分法求方程f(x) = 0 在x (1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)V0,f(1.5)0,f(1.25)V0，則方程的根落在區(qū)間()A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能確定答案 B解析 /f(1.5) f(1.25)V0,方程的根

9、落在區(qū)間(1.25,1.5).2.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示， 則函數(shù)f(x)的變號零點(diǎn)的個數(shù)為(A.0C.2答案 D解析 函數(shù)f(x)的圖象通過零點(diǎn)時穿過x軸，則必存在變號零點(diǎn)，根據(jù)圖象得函數(shù)f(x)有3 個變號零點(diǎn).3.在用二分法求函數(shù)f(x)的一個正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時，經(jīng)計算，f(0.64)V0,f(0.72) 0,f(0.68)V0，則函數(shù)的一個精確到0.1 的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值為()A.0.68C.0.7B.0.72D.0.6D.37答案 C解析 已知f(0.64)V0,f(0.72) 0,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的初始區(qū)間為0.64,0.72，又80.68 = (0.64 + 012)/2，且

10、f(0.68)v0,所以零點(diǎn)在區(qū)間0.68,0.72上，且該區(qū)間的左、右端點(diǎn)精確到 0.1 所取的近似值都是0.7 ,因此 0.7 就是所求函數(shù)的一個正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值.4.下列函數(shù)圖象均與_x軸有交點(diǎn)， 其中能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是 _(填序號).答案解析圖中所示函數(shù)的零點(diǎn)都不是變號零點(diǎn)，因此不能用二分法求解；圖中所示函數(shù)的零點(diǎn)是變號零點(diǎn)，能用二分法求解.5.用二分法求方程x3 2x 5 = 0 在區(qū)間 2,3內(nèi)的實(shí)根，取區(qū)間中點(diǎn)Xo= 2.5，那么下一個有根區(qū)間是_.答案2,2.5解析 令f(x) =x3 2x 5,f(x)圖象在2,3上連續(xù)不斷，/f(2)=1v0,f(3)=160,f(xo) =f(2.5) = 5.625 0,f(2)f(2.5)v0,故下一個有根區(qū)間是2,2.5.課堂那結(jié)-11. 判斷一個函數(shù)