高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元檢測(cè)試題導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(人教A)

1、2012屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元檢測(cè)試題（3）:導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（人教A）本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。滿分150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。第1卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符號(hào)題目要求的。）1. （2011煙臺(tái)調(diào)研）三次函數(shù)f（x） = mx3 x在（一巴 +oo ）上是減函數(shù)，則 m的取值范 圍是（）A. m<0B. m<1C. mW0D. m< 1答案A解析f' （x） = 3mx21,由條件知f' （x）w0在（8,十8）上恒成立，m<0,，m<0

2、,故選 A.A= 12m<02.（文）（2011山東淄博一中期末）曲線y = Jx3+x在點(diǎn)1, 4處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三 33角形面積為（）1A. 1B.q91 2C-D-3 3答案B解析-y, =x2+1,曲線y = 3x3+x在點(diǎn)（1, 4）處的切線斜率 k= y' |x= 1=1 +1=2,.*=2,切線方程為 y-4=2（x-1）,即 6x3y 2=0,3令 x=0 得 y= 2,令 y= 0 得 x= 1,6= xx|=". 332 3 3 9（理）（2011遼寧沈陽(yáng)二中檢測(cè)）由曲線xy=1,直線y = x, y= 3所圍成的平面圖形的面積 為（）32A.

3、-B. 2ln3答案D解析如圖，平面圖形的面積為3 y ； dy=&2lny3=4ln3.點(diǎn)評(píng)本題考查定積分求曲邊形的面積，關(guān)鍵是根據(jù)定積分的幾何意義把求解的面積歸結(jié)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，再根據(jù)微積分基本定理求解.在把曲邊形面積轉(zhuǎn)化為定積分時(shí)，可以以x為積分變量、也可以以 y為積分變量，如果是以 x為積分變量，則被積函數(shù)是以x為自變量的函數(shù)，如果是以y為積分變量，則被積函數(shù)是以y為自變量的函數(shù).本題如1 'i ( 3 Id v + ( 3 - v )小.果是以x為積分變量，則曲邊形ABC的面積是 于' ' /不如以y為積分變量簡(jiǎn)明.3.(文)(2011陜西咸陽(yáng)

4、模擬)已知函數(shù)f(x)=ax21的圖像在點(diǎn)A(1,f(1)處的切線l與直1線8xy+2=0平行，若數(shù)列 f 的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為()20101005A.2011b.2011嘲D.瑞答案D解析/f，(x) = 2ax, .-.f(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為 f (1) = 2a,由條件知2a= 8,，a =4, .f(x) = 4x2 1,1 1111 -L- -1- 一 ,fn4n2 1 2n 12n+1 22n1 2n+ 1數(shù)歹U 7的前n項(xiàng)和Sn=二+ rf nf 1 f 2 f n_111 1_11 11=2 13 +2 3 5 + + 2 2n- 1 2n+11 1_1

5、n , -2010=2 2n+1 =2n+ 1' ' S2010 = 4021.(理)(2011遼寧丹東四校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)= ax2+b(aw 0),若3f(x)dx = 3f(xo),則xo = 0()A. 土B.a/2C. ±V3D. 2答案C解析3f(x)dx= 3(ax2+b)dx00=1ax3+bx 3=9a+3b.3由 3f(x)dx=3f(x。)得，9a+3b=3ax2+3b, 0. x2= 3, -.x0= z+/3.4.（文）（2011山西太原調(diào)研）曲線y=x3-3x2+ 1在點(diǎn)（一1, 3）處的切線與坐標(biāo)軸所圍 成的封閉圖形的面積為（）A.

6、2B. 3C. 4D. 5答案A解析y'降-1=（3x2 6x）|x=1=9, .切線方程為 y+3=9（x+1）,即 9x- y+6=0,令x= 0得y= 6,令y= 0得x= 一不，所求面積S= x 6x-= 2,故選A. 323（理）（2011寧夏銀川一中檢測(cè)）求曲線y=x2與y=x所圍成圖形的面積，其中正確的是()B. S= 1(x- x2)d x0D- S=1(y-Vy)dy0A. S= 1(x2-x)dx 0C. S=1(y2-y)dy0答案B分析根據(jù)定積分的幾何意義，確定積分上、下限和被積函數(shù).解析兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0,0）, （1,1）,故積分上限是1,下限是0,

7、由于在0,1上，x> x2,故函數(shù)y=x2與y=x所圍成圖形的面積 S= 1（x-x2）dx.0+ 2) x當(dāng)x=b時(shí)取到極大值 c,則ad等于()A. 1B. 0C. 1D. 2答案分析利用導(dǎo)數(shù)可求b、c,由a、b、c、d成等比數(shù)列可得 ad= bc.解析y' = 1,令 v =0 得 x=1,當(dāng)一2<x< 1 時(shí)，y' x+ 2>0,當(dāng) x>1 時(shí)，y' <0,.b=- 1, c= ln(-1 + 2)-(-1)=1, .1.ad = bc=-1,故選 A.6. (2011黃岡市期末)設(shè)aeR,函數(shù)f(x) = ex+ ae-x的

8、導(dǎo)函數(shù)是f' (x),且f' (x)是奇函數(shù)，若曲線y=f(x)的一條切線的斜率是|,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()ln2A. 一 2B. ln2C. ln2ln2 D.y答案C解析(x) = exaex為奇函數(shù)，a= 1,設(shè)切點(diǎn)為 P(x。,yo),貝U f' (x0)=ex。一 e3. x0 = 2-, . ex0= 2,，x0= ln2. 1o7.(2011日照倜研)下列圖象中，有一個(gè)是函數(shù)f(x) = x3+ax2+ (a2-1)x+1(a R, a0)31 A3的導(dǎo)數(shù)f' (x)的圖象，則B- -3C7C.3答案B解析f (x) = x2 + 2ax+a2-1,

9、其圖象為開口向上的拋物線，故不是第一個(gè)圖；第二個(gè)圖中，a= 0, f' (x)=x21,但已知aw0,故f' (x)的圖象為第三個(gè)圖，f (0)=0, .a=±1,又其對(duì)稱軸在 y軸右邊，a = 1,.-f(x)=1x3-x2+1, .f(-1) = -k- 1<2<k+1k- 1>0解得1Wk<3,選B.-,故選 B. 338. (2011濰坊一中期末)設(shè)f' (x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，將y=和y=f' (x)的圖象畫在 同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是()A.(巴1)”1,0)C. (-1,0)U (0,)B. (8,

10、 1)U (0, +OO )D. aCR 且 aw0, aw1答案D解析A中，當(dāng)f(x)為二次函數(shù)時(shí)，f' (x)為一次函數(shù)，由單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)關(guān)系知A可以是正確的，同理B、C都可以是正確的，但D中f(x)的單調(diào)性為增、減、增，故f (x) 的值應(yīng)為正負(fù)正，因此 D 一定是錯(cuò)誤的.9. (2011北京學(xué)普教育中心)若函數(shù)f(x)=2x10. (2011江西吉安質(zhì)檢)已知曲線方程f(x) = sin2x+ 2ax(aCR),若對(duì)任意實(shí)數(shù) m,直線l: x+ y+m = 0都不是曲線y=f(x)的切線，則a的取值范圍是()lnx在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k- 1, k+ 1)內(nèi)不是單調(diào)

11、函數(shù)，則實(shí)數(shù) k的取值范圍是() 3A. 1, i )B. 1,-)C. 1,2)D, |, 2)答案B解析因?yàn)閒(x)定義域?yàn)?0, +8), F (x)=4x 1,由f' (x) = 0,得x= 1.據(jù)題意， xN答案B解析 若存在實(shí)數(shù) m,使直線l是曲線y= f(x)的切線，= f' (x)= 2sinxcosx+2a= sin2x + 2a, 方程 sin2x + 2a=1 有解，iwawo,故所求 a 的取值范圍是(8, 1)U(0,十 "選 b.11 . (2011彭州中學(xué)月考)若關(guān)于x的不等式x3-3x、 B. 8, 2 U (3, +8)-9x + 2

12、>m對(duì)任意xC 2,2恒成 立，則m的取值范圍是()A.(巴 7B.(巴20C. (8, 0D. -12,7答案B解析 令 f(x) = xD . (一 00, 一 3)答案C解析由 y = f' (x)的圖象知，x>0 時(shí),f (x)>0, x<0 時(shí),f' (x)<0,，y=f(x)在(一巴 0)上單調(diào)遞減，在(0, 十 m)上單調(diào)遞增，.兩正數(shù) a, b滿足f(2a+b)<1且f(4)= 1,，2a +b+ 2b<4,如圖，表示點(diǎn)A(-2, 2)與線段BC上的點(diǎn)連線的斜率，其中 B(2,0), C(0,4),a+2 3x2 9x+

13、 2,則 f ' (x)= 3x2 6x 9,令 f ' (x) = 0 得 x= 1 或 x =3(舍去).,.f(-1)=7, f(-2) = 0, f(2) = 20.f(x)的最小值為f(2) = 20,故mW 20,綜上可知應(yīng)選 B.12 . (2011蚌埠二中質(zhì)檢)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4) = 1, f' (x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，已知函數(shù)y=f' (x)的圖象如圖所示.若兩正數(shù)a, b滿足f(2a+ b)<1 ,則"b2的a+2取值范圍是(1C. 2，11 b + 2.kAB = w, kAc = 3, a>0,

14、b>0, .不<<3.22 a+2第n卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)13 . (2011四川廣元診斷)曲線y=xex+2x+1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為 .答案y= 3x+ 1解析y = ex + xex+ 2, y x=o=3,.切線方程為 y1 = 3(x0),即 y=3x+ 1.14 .(文)(2011廣東省高州長(zhǎng)坡中學(xué)期末)函數(shù)f(x)=1 + log2x, f(x)的反函數(shù)為g(x),則g' (2)=.答案21n2解析由 y=1+1og2x得 x= 2y 1,，f(x)的反函數(shù)為 g(x

15、)=2x1,.g' (x)=2x1ln2,g' (2) = 2ln2.(理)(2011遼寧沈陽(yáng)二中檢測(cè))如圖，函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn) P處的切線方程是y=- x+ 8,則 f(5)+f' (5)=.答案2解析f(5) + f' (5)=(5+8)+(1)=2.15 .(文)函數(shù)y = 1x3ax2+x2a在R上不是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是 3答案( 8, 1)U(1, +8)解析v' =x2-2ax+ 1,若函數(shù)在 R上單調(diào)，應(yīng)有 y' > 0恒成立， 4a24W 0,.a2<1,. -Ka< 1,因此所求a的取值范圍是(

16、一8, -1)U(1, +8).(理)(2011安徽巢湖質(zhì)檢)定積分2|3-2x|dx=-1答案21 1解析2|32x|dx= 2 21.5(2x 3)dx=2(x2 3x)|2.5= 2 X 4 = 3.116 .(2011湖南長(zhǎng)沙一中期末)對(duì)于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(aw0),定義：設(shè)f(x) 是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y = f' (x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f" (x) = 0有實(shí)數(shù)解xO,則稱點(diǎn)(x。，f(x。)為函 數(shù)丫=電)的“拐點(diǎn)”.有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個(gè)三次函數(shù)都有拐點(diǎn)；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心；且拐點(diǎn)就是對(duì)稱中心.”請(qǐng)你將這一發(fā)現(xiàn)為條件，求函數(shù)

17、f(x)= x33x2 +3x對(duì)稱中心為(2)若函數(shù) g(x) = 3x32 + 3* 12+,則 g 3212 I2011 + g 2011 +g 2011 + g 2011 + 2010+ g 2011答案(1,1)(2)2010解析(1)f' (x)=3x2-6x+3(x)=6x-6,令 6x 6=0得*=1, f(1) = 1,，f(x)的對(duì)稱中心為(1,1).人1 3(2)令 h(x) = -x3 31 25-2x2+ 3x- -,1c.k(x)=1， h (x)=x2x+3, h (x) = 2x 1,由 2x 1 . 11 = 0 得 x= 2，h 21X= 大33-2x

18、1 2 + 3x122 12'h(x)的對(duì)稱中心為12'. h(x) + h(1 -x)=2_ 1x= 20112201120102011.又k(x)的對(duì)稱中心為. k(x)+k(1-x) = 0,1x=x 20112201120102011."g 2011 + g 2011+ g2010201120102011 + h 2011 + + h 2011 + k 2011 +2010k 2011 + k 2011 = 2010.證明過(guò)程或演算步驟)三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，1 a17.(本小題滿分12分)(又)(2011山西太原調(diào)研)已

19、知函數(shù)f(x) = -x3-ax2+(a2-1)x+ b(a,3bCR),其圖象在點(diǎn)(1, f(1)處的切線方程為 x+ y3=0.求a, b的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并求出f(x)在區(qū)間2,4上的最大值.解析(1)f' (x)=x2-2ax+ a2 - 1,.(1, f(1)在 x+y 3=0 上，.-.f(1) = 2,.(1,2)在 y=f(x)±, .-2 = 1-a+ a2- 1 + b, 3又 f' (1) = - 1, .-.a2-2a+1 = 0,解得 a= 1, b=8.3(2)-.f(x)=3x3-x2+8, .f，(x)=x2-2x,

20、由f' (x)=0可知x = 0和x=2是f(x)的極值點(diǎn)，所以有x( 8,0)0(0,2)2(2, +00 )f (x)十0一0十f(x)極大值4極小值所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8, 0)和(2, +8),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2).,8,4,.f(0) = 3, f(2)=3, f(-2) = -4, f(4)=8,在區(qū)間 2,4上的最大值為8.(理)(2011淄博期末)定義在R上的函數(shù)f(x) = ax3+bx2+cx+3同時(shí)滿足以下條件：f(x) 在(0,1)上是減函數(shù)，在(1, +8)上是增函數(shù)；，(x)是偶函數(shù)；f(x)在x= 0處的切線與 直線y= x+ 2垂直.(1

21、)求函數(shù)y=f(x)的解析式；(2)設(shè)g(x) = lnx m,若存在實(shí)數(shù)xC 1 , e,使g(x)<f' (x),求實(shí)數(shù)m的取值范圍. x解析(1)f' (x)=3ax2+2bx+c, -.f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1, + m)上是增函數(shù)，. f' (1) = 3a+2b+c= 0由f' (x)是偶函數(shù)得：b=0又f(x)在x=0處的切線與直線 y=x+ 2垂直，f' (0)=c=1，一一 1一 1 0由得：ai=b=0, c=1,即 f(x) = x3 x+ 3.33(2)由已知得：存在實(shí)數(shù) xC 1 , e,使lnx m<

22、x2- 1 x即存在 x 1 , e,使 m>xlnxx3+x設(shè) M(x)=xlnx x3+x xC1, e,則 M' (x)=lnx 3x2+2設(shè) H(x)=lnx 3x2 + 2,則 H' (x) = -6x=1-6x- xxxC1, e, .H' (x)<0,即 H(x)在1 , e上遞減于是，H(x)WH(1),即 H(x)< -1<0,即 M' (x)<0. M(x)在1 , e上遞減，. . M(x)> M(e) = 2ee3于是有m>2e e3為所求.18.(本小題滿分12分)(2011四川資陽(yáng)模擬)函數(shù)f

23、(x)=ax36ax2+3bx+b,其圖象在x =2處的切線方程為 3x+y- 11 = 0.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；1 .(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與y=3f (x)+5x+m的圖象有二個(gè)不同的交點(diǎn)， 求實(shí)數(shù)m的取 值范圍；(3)是否存在點(diǎn)P,使得過(guò)點(diǎn)P的直線若能與曲線 y=f(x)圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè) 封閉圖形的面積相等？若存在，求出 P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.解析(1)由題意得 f' (x)=3ax2-12ax+3b,. f' (2) = 3 且 f(2)=5,12a-24a+3b=- 3,4a-b= 1,即解得 a= 1, b=3, -.f(x)

24、= x36x2+9x8a-24a+6b+b=5, 16a+7b=5,+ 3.(2)由 f(x)=x36x2+9x+3 可得,f' (x) = 3x2-12x+9, 3f' (x)+5x+ m = 1(3x2-12x +9) + 5x+ m= x2 + x+ 3 + m,則由題意可得x3 6x2+9x+ 3= x2+ x+3 + m有三個(gè)不相等的實(shí)根,即g(x) = x3- 7x2+ 8x-m的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，g' (x)=3x214x+ 8=(3x-2)(x-4),則 g(x), g' (x)的變化情況如下表2 oo -3232, 434(4, 十0

25、0)g' (x)十0一0十g(x)7極大值1 4極小值1 y=f(x)的圖象與y=3f(x)+5x+m的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，則有268g 3 =27 m>0，g 4 = 16 m<0,解得16Vm<68.268則函數(shù)f(x)的極大值為g 3 =27 m,極小值為g(4) = 16m.存在點(diǎn)P滿足條件.f(x)=x3-6x2+9x+3, .f/ (x)=3x212x+9=3(x1)(x3),由 f' (x)=0,得 x1=1, x2=3.當(dāng) x<1 時(shí)，f' (x)>0;當(dāng) 1<x<3 時(shí)，f' (x)<0;當(dāng) x&

26、gt;3 時(shí)，f' (x)>0.可知極值點(diǎn)為 A(1,7), B(3,3),線段AB中點(diǎn)P(2,5)在曲線y=f(x)上，且該曲線關(guān)于點(diǎn) P(2,5)成中心對(duì)稱.證明如下：. f(x) =x3-6x2+9x+3, /.f(4-x)=(4-x)3-6(4-x)2+ 9(4-x)+3=-x3+6x2- 9x+7, /.f(x) + f(4-x)= 10,上式表明，若點(diǎn) A(x, y)為曲線y=f(x)上任一點(diǎn)，其關(guān)于 P(2,5)的對(duì)稱點(diǎn)A(4-x,10-y)也在曲線y = f(x)上，曲線y=f(x)關(guān)于點(diǎn)P(2,5)對(duì)稱.故存在點(diǎn)P(2,5),使得過(guò)該點(diǎn)的直線若 能與曲線y =

27、f(x)圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積相等.19 .(本小題滿分12分)(2011煙臺(tái)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) M(1,4), 曲線在點(diǎn)M處的切線恰好與直線x+ 9y= 0垂直，(1)求實(shí)數(shù)a、b的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間m, m+1上單調(diào)遞增，求 m的取值范圍.解析(1)(用=ax3+ bx2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) M(1,4),. a+ b= 4.f (x) = 3ax2+2bx,貝U f' (1) = 3a+2b,由條件 f' (1) (19)= 1,即 3a+2b=9,9由式解得a= 1, b = 3.(2)f(x)=x3+3x2, f&

28、#39; (x) = 3x2+6x,令 f' (*)=3*2+6*>0得*>0或*2,，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一 00 , - 2和0 , + 00)由條件知 m>0或m+1w 一2,. m>0 或 mW 3.20 .(本小題滿分12分)(2011廈門期末)已知函數(shù)f(x) = 1+alnX, (aCR). x(1)若函數(shù)f(x)在x= 1處取得極值，求實(shí)數(shù) a的值；(2)在(1)條件下，若直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象相切，求實(shí)數(shù) k的值.1 + alnx解析(1)(x) =一， xax x 1+a1nx a 1 alnx- f (x)=x2=x,-

29、 函數(shù) f(x)在 x=1 處取得極值，f' (1)=a 1=0,- a = 1經(jīng)檢驗(yàn)，a=1時(shí)，函數(shù)f(x)在x= 1處取得極值.1 + lnx1nx(2)由(1)可知，a=1, .f(x) = , .f，(x) = -T, xx設(shè)切點(diǎn)A x°,1 + 1nx0.k=f'x01nx0(x0)=-T1nx。x01 + 1nx01 + 1nx0又 k= koA=2,2)已知函x0x0.f(x)增區(qū)間為(一8, 0)和(2, +8),減區(qū)間為(0,2),f(0) = 2,令 f(x) = x3-3x2 + 2= 2 得 *=0或 x= 3. f(0) = f(3)=2,當(dāng)

30、0WmW2時(shí)f(x)min = f(m) = m3 3m2 + 2f(x)max= f(0) = 2當(dāng)2<mW3時(shí)f(x)min = f(2) = -2f(x)max = f(0)=2當(dāng)m>3時(shí)f(x)min = f(2) = -2f(x)max= f(m) = m3 3 m2 + 2.22.(本小題滿分12分)(文)已知函數(shù)f(x) = x33ax23a2+a(a>0).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線y=f(x)上有兩點(diǎn)A(m, f(m)、B(n, f(n)處的切線都與y軸垂直，且函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間m, n上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.解析(1)f&

31、#39; (x)=3x2-6ax=3x(x- 2a).令 f' (x)=0,得 xi=0, x2= 2a列表如下：x(00 , 0)0(0,2a)2a(2a, +00 )f (x)十0一0十f(x) 3a2+ a*4a3 3a2+ a由上表可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8, 0),(2a, +8)；單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2a).(2)由(1)可知，m=0, n= 2a且在x=0, x= 2a處分別取得極值.f(0) = 3a2 + a, f(2a) = 4a 3a2 十 a.由已知得函數(shù)y=f(x)在區(qū)間0,2a上存在零點(diǎn)，. f(0)xf(2a)< 0即(3a2 + a)( 4a 3a? + a)w 0a2(3a-1)(4a-1)(a+1)<0,a>0. (3a-1)(4a-1)<0,解得1w aw 1 43故實(shí)數(shù)a的取值范圍是1, 3.(理)(2011北京學(xué)普教育中心聯(lián)考版)已知函數(shù)f(x)=x2+axlnx, aC R；(1)若函數(shù)f(x)在1,2上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；g(x)(2)令g(x)=