劍橋模型推導(dǎo)講課稿

1、精品文檔比容的定義：v=vl=.m_A =1.e正常固結(jié)線(NCL )方程：v = N - £ ln p'(2)臨界狀態(tài)線(CSL)方程：v=，Jnp(3)回彈線(SLswell line )方程：v =十一父In p'(4)注意：在lnp'-v平面上，回彈線SL盡管穿過了 CSL線，但并不意味等壓卸載過程中應(yīng)力點 曾達到CSL線上，因為此坐標系中CSL為空間CSL曲線的投影，而SL始終在lnp'-v平面上, 并不能達到空間的CSL線上的應(yīng)力狀態(tài)。q*iv圖1 土的物態(tài)全界面無拉力墻圖334正常固結(jié)土的物態(tài)邊界面R2-35彈性墻上塑性比體積/惟一性 和

2、劍橋模型的屈服面在上圖2-34中AR為卸載回彈線（具方程如式（4）,過其作的豎直曲面，此曲面位于 物態(tài)全界面（Roscoe面、Hvorslev面及無拉力墻構(gòu)成）以下的陰影部分，即為一彈性墻，此彈 性墻交物態(tài)邊界面Roscoe面于AF,在AR線上荷載變化時，無塑性體積變化，亦即在彈性 墻上，塑性體應(yīng)變 寸保持為常數(shù)。如果選擇塑性體應(yīng)變?yōu)橛不瘏?shù)，那么等塑性體應(yīng)變面就 是屈服面，等塑性體應(yīng)變線AF就是屈服軌跡。AF在p'-q'平面上的投影A'F'為屈服面在p'-q' 平面上的屈服軌跡。在圖2-35中回彈曲線與比容軸截距代表其塑性比容 v°p

3、,在同一彈性墻上，或同一屈服線上，彈性墻的塑性比容 vp=v0p =const,也就是說其塑性體應(yīng)變 4為常數(shù)。劍橋模型基于傳統(tǒng)塑性位勢理論，采用單屈服面和相關(guān)聯(lián)流動法則。屈服面形式 （方程）A'F' 不是基于試驗而提出的，上面已根據(jù)物理意義在幾何上表示出屈服面 A'F',但還無法用數(shù)學(xué) 表達式表示，劍橋模型是依據(jù)能量理論得出的其屈服面方程，實質(zhì)上是一種假設(shè)。依據(jù)能量方程，外力（荷載）做功dW一部分轉(zhuǎn)化為變形體的彈性變形能dWe（可儲存在變 形體內(nèi)，外力或荷載卸除時，可完全釋放出來），另一部分轉(zhuǎn)化為耗散能（或稱塑性變形能， 外力或荷載卸除時，不能再釋放出來）dW

4、p ,因而有dW =dW e dWp（5）兩種變形能可表示如下：(6)dWe = pd qd e關(guān)于彈塑性變形能，Roscoe作了如下的假設(shè):（1）假定一切剪切應(yīng)變都是不可恢復(fù)的，亦即無彈性剪應(yīng)變，只有不可恢復(fù)的塑性剪應(yīng)變（總 剪應(yīng)變等于塑性剪應(yīng)變）(8)d sp = d s（2）假定彈性體應(yīng)變可從各向等壓固2試驗中所得的回彈曲線求取 ，即由式（4）可得(10)(11)(12),e dp dv F pdvedpdWe = pd ；： =dp1 - e故:ped v 二d v d v =d vdp(13)假定全部耗散能（塑性變形能）等于由摩擦產(chǎn)生的能量耗散，即:(14)式中 N為內(nèi)摩擦系數(shù)，其值

5、等于p'-q'平面上臨界狀態(tài)線CSL的斜率M精品文檔所以6si n（三軸壓縮）(15)6si n M =-3 sin（三軸伸長）(16)dW-dWe dWP(17)而單位體積的土在p',q'應(yīng)力作用下如產(chǎn)生應(yīng)變d8和d/,變形能為dW=pd v qd s(18)則由式（17）和式（18）可得能量方程:于是p d v q ds =1 edp M'#sd(19)加 時dpp dsv -二11+e p J將式（13）代入上式，則或 d vp - m - - = M -d sp(20)式（20）實際表示了流動法則，即表示了塑性應(yīng)變增量在p'-q'

6、平面上白方向，與這一方向正交的軌跡就是在這個平面上土的屈服軌跡（相適應(yīng)的流動法則），如圖2-34所示.設(shè)此屈服軌跡的方程為:f P,q,H =0(21)f；f；fdf = dp -dq dH = 0pqH(22)因為在同一屈服面上硬化參數(shù)為常數(shù)，所以dH =0,則開開df dP dq =0pq(23)根據(jù)相適應(yīng)流動法則(24)d sp = d -：q將以上兩式代入式（23），則得dpd vp dqd sp = 0將式（20）代入上式，則得dq qM =0dp P將此微分方程變換可得到Mq dp Mp dq dp n2 二 0（Mp）2 p積分得到-q- ln p =CMp(25)(26)(27

7、)(28)式中 C為積分常數(shù).利用p'軸上起始各向等壓固結(jié)試驗點 A,對應(yīng)p'= p0, q' = 0代入上式,則得方程為C =ln p0,將之代入式（28）,則得得到濕粘土（正常固結(jié)和輕超固結(jié)土）的屈服軌跡(29)其在p'-q'平面上的形狀如圖2-34和圖2-35（a）所示，像一個“帽子"，是子彈頭形，以p0為硬化參數(shù).由于NCL上每一個p0都對應(yīng)于一個v0P （或個）,所以實際上這一模型是以塑性體應(yīng)變 1P為硬化參數(shù).對于重超固結(jié)土，可得到類似的屈服面，只是對應(yīng)的p0不同.空間無拉力墻的方程為,M h V q' = 3p'

8、0 <pf<M-hexpV3-hi 九，(30)Hvoslev面的方程為q = h p ( M-)hex)(31)式中 h為Hvoslev線的斜率.空間Roscoe面的方程為：(32)Mp , q ( N - v l rp ) 九一£由濕粘土對應(yīng)p'= pO, v = v0的不排水試驗路徑在p'-q'平面上的投影或歸一化的 Roscoe面， 由式(2)得v = v0 = N - ln p0(33)將式(33)代入式(32)，則得對應(yīng)不排試驗路徑在p'-q'平面上的方程為q_lnE=0(34)p /. ： p也為指彈頭形，但顯然此不排

9、水路徑與屈服軌跡并不重合，不排水路徑在屈服軌跡以外.劍橋模型增量型應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系將式(32)微分，可得dv = -dq - dp dp _Mpp(35)因由式(11)知 dv= T1 +e cv所以九 1父/九 zdp(dq -ndp )+-1 e Mp If - dp dq(36)又因二qF pdq(37)于是1 e IL Md dp(38)將式(38)代入能量方程(19),可得(39)九一K I d、= TTIMp dp于是劍橋模型的彈塑性矩陣可表示為d v _1 - ''ds 一 1 e Mpdp(40)修正劍橋模型:1965年，英國劍橋大學(xué)的Burland采用了一種

10、新的能量方程形式，得到了修正劍橋模型.dWp他建議以下式代替式(14)(41)精品文檔，以之代替式（19）右邊第即假定總的塑性變形能等于塑性體變能和由摩擦耗放能的算術(shù)平方根 二項，則cn 2c 2cpd V3 = pd vpMpd .qd ；：1精品文檔d ,pd7.p 5 d<d ®p sM2 -q- pd%p "2故可得:M 2 - 2-2此即修正劍橋模型的流動法則.將其代入式（26），得到22dq M - n0dp 2在p'-q'平面上的屈服軌跡方程為p M2pC =M22p -p。/ 2po / 2IMp0 / 2 )=1(42)(43a)(4

11、3b)(43c)(43b)即為橢圓方程.其頂點在q'=Mp'線上，以p0（）為硬化參數(shù),即H(Po) = P0 =p0( J)=H( ；J)因為1佳=exp 二eo其增量型應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為M 2+M p'.精品文檔精品文檔2s= TT %FLr 2" d"dp方方"才"P7于是修正劍橋模型的彈塑性矩陣可表示為d v d s2 二）1 e M22 p九（M 2+%n2（Z-k ）-乜仃= De1-Q I f IT eDe ;Q >DeA cgDe Q- /ds=De 一 Dpd)_ |Dep id ；)來表示，由等塑性硬化規(guī)律有： A =;:H :Q按相適應(yīng)的流動法則H :- P0A =二-r -7一H 二 vP PPo 二 J