第二章質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

1、第二章質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一、基本概念1質(zhì)點(diǎn)一一用來(lái)代替物體的有質(zhì)量的點(diǎn)。（當(dāng)物體的大小、形狀對(duì)所研究的問題的影響可以忽 略時(shí)，物體可作為質(zhì)點(diǎn)。）2. 速度一一描述運(yùn)動(dòng)快慢的物理量，是位移對(duì)時(shí)間的變化率。3. 加速度描述速度變化快慢的物理量，是速度對(duì)時(shí)間的變化率。4. 變化率一一表示變化的快慢，不表示變化的大小。5. 注意勻加速直線運(yùn)動(dòng)、勻減速直線運(yùn)動(dòng)、勻變速直線運(yùn)動(dòng)的區(qū)別。二、勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式1. 常用公式有以下四個(gè)vt =v0 ats 二 v0t 1 at2v； - v： = 2ass 二 V0_Vt t2 2以上四個(gè)公式中共有五個(gè)物理量：s、t、a、V。、vt，這五個(gè)物理量中只有三個(gè)是獨(dú)立的，

2、可以任意選定。只要其中三個(gè)物理量確定之后，另外兩個(gè)就唯一確定了。每個(gè)公式中只有其 中的四個(gè)物理量，當(dāng)已知某三個(gè)而要求另一個(gè)時(shí)，往往選定一個(gè)公式就可以了。如果兩個(gè)勻 變速直線運(yùn)動(dòng)有三個(gè)物理量對(duì)應(yīng)相等，那么另外的兩個(gè)物理量也一定對(duì)應(yīng)相等。以上五個(gè)物理量中，除時(shí)間t夕卜，s、V0、vt、a均為矢量。一般以V0的方向?yàn)檎较?，以t=0 時(shí)刻的位移為零，這時(shí)s、vt和a的正負(fù)就都有了確定的物理意義。2勻變速直線運(yùn)動(dòng)中幾個(gè)常用的結(jié)論 厶s=aT 2,即任意相鄰相等時(shí)間內(nèi)的位移之差相等。可以推廣到sm-sn=（m-n）af vt =仝丄，某段時(shí)間的中間時(shí)刻的即時(shí)速度等于該段時(shí)間內(nèi)的平均速度。2 22 2vs

3、2v° 2必，某段位移的中間位置的即時(shí)速度公式（不等于該段位移內(nèi)的平均速度）可以證明，無(wú)論勻加速還是勻減速，都有vt : vs。2 23. 初速度為零（或末速度為零）的勻變速直線運(yùn)動(dòng)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，如果初速度為零，或者末速度為零，那么公式都可簡(jiǎn)化為:.1 .22vv = gt ， s =-at ， v = 2as ， s = -t2 2以上各式都是單項(xiàng)式，因此可以方便地找到各物理量間的比例關(guān)系。4. 初速為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng) 前1秒、前2秒、前3秒內(nèi)的位移之比為1 ： 4：9 ： 第1秒、第2秒、第3秒內(nèi)的位移之比為1 ： 3 ：5 ： 前1米、前2米、前3米所用的時(shí)間之比為

4、1 :2 : 3 : 第1米、第2米、第3米所用的時(shí)間之比為1 ： ,2 -1 ：（、32 ）： 對(duì)末速為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，可以相應(yīng)的運(yùn)用這些規(guī)律。5. 種典型的運(yùn)動(dòng)經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問題：物體由靜止開始先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，緊接著又做勻減速直線運(yùn)動(dòng)ai、Si、tia2、S2、t2C到靜止。用右圖描述該過(guò)程，可以得出以下結(jié)論: sj,tj,sd v QV 上a a2例1.兩木塊自左向右運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)用高速攝影機(jī)在同一底片上多次曝光，記錄下木塊每次曝光 時(shí)的位置，如圖所示，連續(xù)兩次曝光的時(shí)間間隔是相等的，由圖可知ti t2 t3t4t5t6t7i 口m 口 i口 | 口 |口丨qI I I I丨I I丨

5、丨丨I I I丨丨I I丨丨I I I I丨I I l門口 口 口 口tit2t3t4t5t6t7A. 在時(shí)刻t2以及時(shí)刻t5兩木塊速度相同B. 在時(shí)刻ti兩木塊速度相同C. 在時(shí)刻t3和時(shí)刻t4之間某瞬間兩木塊速度相同D. 在時(shí)刻t4和時(shí)刻t5之間某瞬時(shí)兩木塊速度相同解：首先由圖看出：上邊那個(gè)物體相鄰相等時(shí)間內(nèi)的位移之差為恒量，可以判定其做勻變速 直線運(yùn)動(dòng)；下邊那個(gè)物體明顯地是做勻速運(yùn)動(dòng)。由于t2及t5時(shí)刻兩物體位置相同，說(shuō)明這段 時(shí)間內(nèi)它們的位移相等，因此其中間時(shí)刻的即時(shí)速度相等，這個(gè)中間時(shí)刻顯然在t3、t4之間, 因此本題選Co例2.在與x軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一帶電量q=i.0X i0-

6、8C質(zhì)量m=2.5X i0-3kg的物體在光 滑水平面上沿著x軸作直線運(yùn)動(dòng)，其位移與時(shí)間的關(guān)系是x=0.i6t-0.02t2,式中x以m為單 位，t以s為單位。從開始運(yùn)動(dòng)到5s末物體所經(jīng)過(guò)的路程為m,克服電場(chǎng)力所做的功為J。解：須注意：本題第一問要求的是路程；第二問求功，要用到的是位移。將x= 0.i6t 0.02t2和s二v0t iat2對(duì)照，可知該物體的初速度 V0=0.i6m/s,加速度大小2a=0.04m/s，方向跟速度方向相反。由V0=at可知在4s末物體速度減小到零，然后反向做勻 加速運(yùn)動(dòng)，末速度大小V5=0.04m/s前4s內(nèi)位移大小s = vt = 0.32m，第5s內(nèi)位移大小

7、 s"=V=0.02m，因此從開始運(yùn)動(dòng)到5s末物體所經(jīng)過(guò)的路程為0.34m,而位移大小為0.30m, 克服電場(chǎng)力做的功W=mas5=3Xi0_5Jo例3.物體在恒力Fi作用下，從A點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間t到達(dá)B點(diǎn)。這時(shí)突然撤去Fi, 改為恒力F2作用，又經(jīng)過(guò)時(shí)間2t物體回到A點(diǎn)。求Fi、F2大小之比。解:設(shè)物體到B點(diǎn)和返回A點(diǎn)時(shí)的速率分別為VA、VB,利用平均速度公式可以得到VA和VB 的關(guān)系。再利用加速度定義式，可以得到加速度大小之比，從而得到Fi、F2大小之比。畫出示意圖如右。設(shè)加速度大小分別為ai、a2,有：VAABvbs VbS Va -Vb3VbVa Vb 衣Vi,V2廣

8、 VAVB, ai,a2t 2 2t 22t2t'ai : a2=4 : 5,二 Fi : F2=4 : 5特別要注意速度的方向性。平均速度公式和加速度定義式中的速度都是矢量，要考慮方 向。本題中以返回A點(diǎn)時(shí)的速度方向?yàn)檎?，因此AB段的末速度為負(fù)。三、運(yùn)動(dòng)圖象i. s-t圖象。能讀出s、t、v的信息（斜率表示速度）。2. v-t圖象。能讀出s、t、v、a的信息（斜率表示加速度， 曲線下的面積表示位移）?？梢妚-t圖象提供的信息最多，-111 - 111.1. - II. -lli 應(yīng)用也最廣。tA.p小球先到B.q小球先到C兩小球同時(shí)到D.無(wú)法確定解：可以利用v-t圖象（這里的V是速率

9、，曲線下的面積表示路程S）定性 地進(jìn)行比較。在同一個(gè)v-t圖象中做出p、q的速率圖線，顯然開始時(shí)q 的加速度較大，斜率較大；由于機(jī)械能守恒，末速率相同，即曲線末端 在同一水平圖線上。為使路程相同（曲線和橫軸所圍的面積相同），顯然 q用的時(shí)間較少。例5.兩支完全相同的光滑直角彎管（如圖所示）現(xiàn)有兩只相同小球a和 a同時(shí)從管口由靜止滑下，問誰(shuí)先從下端的出口掉出？（假設(shè)通過(guò)拐角處 時(shí)無(wú)機(jī)械能損失）解：首先由機(jī)械能守恒可以確定拐角處V1> V2，而兩小球到達(dá)出口時(shí)的 速率V相等。又由題薏可知兩球經(jīng)歷的總路程S相等。由牛頓第二定律，t121112V211a小球的加速度大小a=gsina，小球a第一

10、階段的加速度 跟小球/第二階段的加速度大小相同（設(shè)為a1）；小球a 第二階段的加速度跟小球d第一階段的加速度大小相同（設(shè)為a£,根據(jù)圖中管的傾斜程度，顯然有a1> a2。根 據(jù)這些物理量大小的分析，在同一個(gè)v-t圖象中兩球速 度曲線下所圍的面積應(yīng)該相同，且末狀態(tài)速度大小也相 同（縱坐標(biāo)相同）。開始時(shí)a球曲線的斜率大。由于兩球 兩階段加速度對(duì)應(yīng)相等，如果同時(shí)到達(dá)（經(jīng)歷時(shí)間為t1）V例4. 一個(gè)固定在水平面上的光滑物塊，其左側(cè)面是斜面 AB,右側(cè)面是曲面AC。已知AB和AC的長(zhǎng)度相同。兩個(gè) 小球p、q同時(shí)從A點(diǎn)分別沿AB和AC由靜止開始下滑， 比較它們到達(dá)水平面所用的時(shí)間則必然有S

11、1>S2,顯然不合理?？紤]到兩球末速度大小相 等（圖中Vm）, 球a：的速度圖象只能如藍(lán)線所示。因此有t1< t2,即a球先到四、運(yùn)動(dòng)的合成與分解1運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)和軌跡物體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)由加速度決定（加速度得零時(shí)物體靜止或做勻速運(yùn)動(dòng)；加速度恒定時(shí)物 體做勻變速運(yùn)動(dòng)；加速度變化時(shí)物體做變加速運(yùn)動(dòng)）。物體運(yùn)動(dòng)的軌跡（直線還是曲線）則由物體的速度和加速度的方向關(guān)系決定（速度與加 速度方向在同一條直線上時(shí)物體做直線運(yùn)動(dòng)；速度和加速度方向成角度時(shí)物體做曲線運(yùn)動(dòng)）a兩個(gè)互成角度的直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)是直線運(yùn)動(dòng)還是曲線運(yùn)動(dòng)？ 決定于它們的合速度和合加速度方向是否共線（如圖所示）。常見的類型有： a=0：勻速

12、直線運(yùn)動(dòng)或靜止。（2）a恒定：性質(zhì)為勻變速運(yùn)動(dòng)，分為：v、a同向，勻加速直線運(yùn)動(dòng)；v、a反向，勻減速直線運(yùn)動(dòng)；v、a成角度，勻變速曲線運(yùn)動(dòng)（軌跡在v、a之間，和速度v的方向相切，方 向逐漸向a的方向接近，但不可能達(dá)到。）（3）a變化：性質(zhì)為變加速運(yùn)動(dòng)。如簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，加速度大小、方向都隨時(shí)間變化。2過(guò)河問題如右圖所示，若用V1表示水速，V2表示船速，貝U：vvi過(guò)河時(shí)間僅由V2的垂直于岸的分量V丄決定，即t _2，與V1無(wú)關(guān)，/"v丄所以當(dāng)V2丄岸時(shí)，過(guò)河所用時(shí)間最短，最短時(shí)間為t=9也與V1無(wú)關(guān)V2過(guò)河路程由實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡的方向決定，當(dāng)V1VV2時(shí)，最短路程 為d ；當(dāng)V1>V2時(shí)

13、，最短路程程為vid （如右圖所示）。V3. 連帶運(yùn)動(dòng)問題指物拉繩（桿）或繩（桿）拉物問題。由于高中研究的繩都是不可伸長(zhǎng)的，桿都是不可 伸長(zhǎng)和壓縮的，即繩或桿的長(zhǎng)度不會(huì)改變，所以解題原則是：把物體的實(shí)際速度分解為垂直 于繩（桿）和平行于繩（桿）兩個(gè)分量，根據(jù)沿繩（桿）方向的分速度大小相同求解。 例6.如圖所示，汽車甲以速度vi拉汽車乙前進(jìn)，乙的速度為，V2，甲、乙都在水平面上運(yùn)動(dòng)，求Vi : V2V1解：甲、乙沿繩的速度分別為V1和V2COSU，兩者應(yīng)該相等， 所以有 V1 ： V2=COSa : 1 例7.兩根光滑的桿互相垂直地固定在一起。上面分別穿有一個(gè)小球。 小球a、b間用一細(xì)直棒相連如

14、圖。當(dāng)細(xì)直棒與豎直桿夾角為a時(shí)，求 兩小球?qū)嶋H速度之比Va : Vb 解：a、b沿桿的分速度分別為Vacosa和vbsina-Va Vb= ta na : 1五、平拋運(yùn)動(dòng)當(dāng)物體初速度水平且僅受重力作用時(shí)的運(yùn)動(dòng)，被稱為平拋運(yùn)動(dòng)。其軌跡為拋物線，性質(zhì) 為勻變速運(yùn)動(dòng)。平拋運(yùn)動(dòng)可分解為水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)這兩個(gè)分 運(yùn)動(dòng)。廣義地說(shuō)，當(dāng)物體所受的合外力恒定且與初速度垂直時(shí)，做類平拋運(yùn)動(dòng)。dABCD1E1方格問題 平拋小球的閃光照片如圖。例8.已知方格邊長(zhǎng)a和閃光照相的頻閃間隔T,求：V。、g、Vc 解：水平方向：V。哼 豎直方向：冷二gT2,. g卡2a二 V° ,Vy謂,

15、"2； 41先求C點(diǎn)的水平分速度vx和豎直分速度vy，再求合速度vc：2臨界問題典型例題是在排球運(yùn)動(dòng)中，為了使從某一位置和某一高度水平扣出的球既不觸網(wǎng)、又不 出界，扣球速度的取值范圍應(yīng)是多少？例9.已知網(wǎng)高H,半場(chǎng)長(zhǎng)L,扣球點(diǎn)高h(yuǎn),扣球點(diǎn)離網(wǎng)水平距離 s、求：水平扣球速度v的取值范圍。解：假設(shè)運(yùn)動(dòng)員用速度Vmax扣球時(shí)，球剛好不會(huì)出界，用速度Vmin 扣球時(shí)，球剛好不觸網(wǎng)，從圖中數(shù)量關(guān)系可得：*s于Lg2(h -H)Vmaxs/ is)2h；Vmin=s/ 2(h-H)實(shí)際扣球速度應(yīng)在這兩個(gè)值之間3.個(gè)有用的推論平拋物體任意時(shí)刻瞬時(shí)時(shí)速度方向的反向延長(zhǎng)線與初速度延 長(zhǎng)線的交點(diǎn)到拋出點(diǎn)

16、的距離都等于水平位移的一半。證明：設(shè)時(shí)間t內(nèi)物體的水平位移為s,豎直位移為h，則末速度的水平分量Vx=V0=s/t,而豎直分量Vy=2h/t, tan:，歲=弐， 所Vxs以有s例10.從傾角為B =30°的斜面頂端以初動(dòng)能E=6J向下坡方向平 拋出一個(gè)小球，則小球落到斜面上時(shí)的動(dòng)能E，為J解：以拋出點(diǎn)和落地點(diǎn)連線為對(duì)角線畫出矩形ABCD,可以證明末 速度vt的反向延長(zhǎng)線必然交AB于其中點(diǎn)O,由圖中可知AD :AO=2 : 3，由相似形可知vt : V0= .7 : 3，因此很容易可以得出結(jié)論：E/=14JL本題也能用解析法求解。列出豎直分運(yùn)動(dòng)和水平分運(yùn)動(dòng)的方程，注意到傾角和下落高度

17、 和射程的關(guān)系，有：h=s=V0h tan 二 s4曲線運(yùn)動(dòng)的一般研究方法gt或h=Vy 同樣可求得 Vt : V0=V7 :為,E/=14J丿 s=V0 ttan 二 s研究曲線運(yùn)動(dòng)的一般方法就是正交分解。將復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)互相垂直方向上 的直線運(yùn)動(dòng)。一般以初速度或合外力的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸進(jìn)行分解。例11.如圖所示，在豎直平面的xoy坐標(biāo)系內(nèi)，oy表示豎直向上方向。該平面內(nèi)存在沿x軸正 向的勻強(qiáng)電場(chǎng)。一個(gè)帶電小球從坐標(biāo)原點(diǎn)沿oy方向豎直向上拋出，初動(dòng)能為4J，不計(jì)空氣阻力。它達(dá)到的最高點(diǎn)位置如圖 中M點(diǎn)所示。求：小球在M點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能曰。在圖上標(biāo)出小球落回x軸時(shí)的位置N。小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能

18、E2。解：在豎直方向小球只受重力，從0M速度由V0減小到0;在水平方向小球只受電場(chǎng)力， 速度由0增大到V1，由圖知這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)平均速度大小之比為2 : 3，因此V0 : V1=2 : 3,所 以小球在M點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能E1=9JL由豎直分運(yùn)動(dòng)知，O-M和M-N經(jīng)歷的時(shí)間相同，因此水平位移大小之比為1 : 3，故N 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為12。小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的豎直分速度為V0,水平分速度為2vi,由此可得此時(shí)動(dòng)能E2=40J。六、勻速圓周運(yùn)動(dòng)1勻速圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)V方向時(shí)刻在變），而且是變加速運(yùn)動(dòng)/ a方向時(shí)刻在變）。2. 描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物理量描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物理量有線速度V、角速度、周期T、頻率f、轉(zhuǎn)速n向心加速 度a等等sv ,- t2 二r 2 二,n 二v lv它們之間的關(guān)系是:2V2v = r, ar v:r凡是直接用皮帶傳動(dòng)（包括鏈條傳動(dòng)、摩擦傳動(dòng)）的兩個(gè)輪子，兩輪邊緣上各點(diǎn)的線速 度大小相等；凡是同一個(gè)輪軸上（各個(gè)輪都繞同一