測(cè)量平差在測(cè)繪學(xué)科中的應(yīng)用

1、測(cè)量平差在測(cè)繪學(xué)科中的應(yīng)用測(cè)量平差與其他學(xué)科一樣，是由于生產(chǎn)的需要而產(chǎn)生的，并在生產(chǎn)實(shí)踐的過程中，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步而發(fā)展。近代測(cè)量平差的內(nèi)容非常豐富，其主要特點(diǎn)是，觀測(cè)值概念廣義化了，從處理隨機(jī)獨(dú)立的觀測(cè)數(shù)據(jù)，展到可以處理隨機(jī)相關(guān)的數(shù)據(jù)；擴(kuò)展了經(jīng)典測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型，從滿秩平差問題，發(fā)展到降秩平差問題；從僅處理隨機(jī)變量，發(fā)展到一并處理隨機(jī)過程；從側(cè)重于平差函數(shù)模型的研究，發(fā)展到也重視隨機(jī)模型的研究；從不顧及模型誤差，發(fā)展到顧及模型誤差，針對(duì)最小二乘估計(jì)的局限性，提出了有偏估計(jì)和穩(wěn)健估計(jì)。測(cè)量平差的基本任務(wù)是處理一系列帶有偶然誤差的觀測(cè)值，求出未知量的最可靠值(平差值)，并評(píng)定測(cè)量成果的精度。

2、測(cè)量平差中經(jīng)典的估計(jì)準(zhǔn)則是高斯創(chuàng)立的最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則。測(cè)量平差在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)建立的函數(shù)模型一般都是確定的函數(shù)關(guān)系，即各種觀測(cè)量之間都有明確的函數(shù)關(guān)系，例如：邊長(zhǎng)、角度與坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系；水準(zhǔn)網(wǎng)平差中的高程與高差之間的函數(shù)關(guān)系；GPS數(shù)據(jù)處理中的GPS衛(wèi)星的偽距以及已知的衛(wèi)星位置與接收機(jī)所在點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)之間，載波相位觀測(cè)量以及已知的衛(wèi)星位置與接收機(jī)所在點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)之間都是確定的函數(shù)關(guān)系；大地高、正常高與高程異常之間的函數(shù)關(guān)系式；衛(wèi)星受攝動(dòng)的軌道與六個(gè)軌道根數(shù)之間等等。1 測(cè)量平差在變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用在測(cè)量工作的實(shí)踐和科學(xué)研究的活動(dòng)中，變形觀測(cè)占有重要的位置，而平差對(duì)于變形監(jiān)測(cè)中的數(shù)據(jù)處理有著十

3、分重要的作用。在工程建筑物的興建中，從工程施工開始到竣工，以及建成后整個(gè)工程的運(yùn)營(yíng)期間都要不斷的對(duì)工程建筑物進(jìn)行監(jiān)測(cè)，以便掌握工程建筑物變形的情況，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，保證工程建筑物的安全，不論絕對(duì)網(wǎng)還是相對(duì)網(wǎng)，在觀測(cè)期間網(wǎng)點(diǎn)位置均不能認(rèn)為是沒有變動(dòng)的，即網(wǎng)中任意一點(diǎn)的穩(wěn)定性必須進(jìn)行檢驗(yàn)。所謂對(duì)給定的控制網(wǎng)考察其可監(jiān)測(cè)性，就是要預(yù)期該網(wǎng)可能監(jiān)測(cè)到的最小變形量及方向。假定各觀測(cè)點(diǎn)第一期真值為X1，第二期各點(diǎn)真值為X2，兩期觀測(cè)期間發(fā)生的位移量真值d，則： X2=X1+d (a)第一期的自由網(wǎng)平差的誤差方程及基準(zhǔn)條件方程: V1=A1X1-l1GTX1=0 誤差方程解為： =N-1A1TP1l1=N-1

4、-GGT 第二期的自由網(wǎng)平差時(shí)，其誤差方程與原來自由網(wǎng)平差第二期的誤差方程相同，但其平差基準(zhǔn)發(fā)生變化，是仍采用第一期的平差基準(zhǔn)，以便保證基準(zhǔn)一致性?，F(xiàn)在將第二期自由網(wǎng)平差的誤差方程及第一期的基準(zhǔn)條件組合： V2=A2X2-l2GTX1=0 (b)將式(a)帶入式(b)的第二式得： GTX2=GTd (c)式(c)就是用第二期近似高程或坐標(biāo)值的改正值及真位移量表示的第一期基準(zhǔn)。將(b)的第一式與(c)聯(lián)合組成誤差方程組得： V2'=A2X2'-l2 GTX2'=GTd (d)將(d)的第一式在最小二乘條件VTPV=min下求解得到法方程組 NX2'=A2TP2l2

5、 GTX2'=GTd (e)其中N不存在逆矩陣，將（e）第一式兩邊乘以G并加到第二式可以得到 N+GGT X2'=ATP2l2+GGTd 由于N+GGT 可逆，解之。并代入以下式子 =N-1A2TP2l2=N-1-GGT 就有 X2'=X2-N-1GGT X2+N-1GGT d (f)其中 N=N+ GGT ，因?yàn)檎嫖灰屏靠梢越票硎緸椋?d=X2-X1 (g)將(g)代入(f)就可以得出第二期觀測(cè)數(shù)據(jù)在第一期基準(zhǔn)下平差后的近似高程或坐標(biāo)值的改正數(shù)，其值為X2'=X2N-1GGT X1，則同一基準(zhǔn)下的位移量計(jì)算值為d=X2'-X1=d-N-1GGT d，

6、其中d=X2-X1。d是兩期觀測(cè)資料分別平差時(shí)的各點(diǎn)位移量，d就是基準(zhǔn)一致性前提下，推導(dǎo)出的兩期觀測(cè)平差后各點(diǎn)的位移向量。在多期觀測(cè)數(shù)據(jù)中如何合理地判斷點(diǎn)的穩(wěn)定性和計(jì)算位移量，這值得討論。以往對(duì)多期觀測(cè)數(shù)據(jù)的處理都是認(rèn)為穩(wěn)定點(diǎn)在不同觀測(cè)期間將不發(fā)生變化，即網(wǎng)型不變，這只是一種理想化狀態(tài)，但是實(shí)際中網(wǎng)型可能發(fā)生變化。如某期觀測(cè)時(shí)部分穩(wěn)定點(diǎn)被破壞，或者是對(duì)被破壞點(diǎn)重新埋設(shè)，此時(shí)網(wǎng)型都發(fā)生變化。平差時(shí)的基準(zhǔn)也隨之發(fā)生變化，已不是原來的基準(zhǔn)。1.1 監(jiān)測(cè)網(wǎng)穩(wěn)定性分析對(duì)于以上問題的解決我們可以設(shè)計(jì)如下一個(gè)觀測(cè)網(wǎng)型。如在圖1中，共有n個(gè)點(diǎn)，若作了m期觀測(cè)，現(xiàn)在欲判斷第ij兩期的發(fā)生位移點(diǎn)及位移量的大小。其

7、中第j期觀測(cè)時(shí)t號(hào)點(diǎn)被破壞，與t號(hào)點(diǎn)相關(guān)的幾個(gè)觀測(cè)量沒有觀測(cè)，此時(shí)網(wǎng)型發(fā)生變化。這就形成兩期觀測(cè)的基準(zhǔn)不一致。同時(shí)對(duì)每個(gè)點(diǎn)的穩(wěn)定程度也是未知的，即各個(gè)點(diǎn)穩(wěn)定的權(quán)未知。 圖一 水準(zhǔn)網(wǎng)網(wǎng)型監(jiān)測(cè)網(wǎng)穩(wěn)定性分析思路為：(1)對(duì)多期觀測(cè)數(shù)據(jù)作自由網(wǎng)整體平差，將各點(diǎn)在各期間視為互不相同的點(diǎn)，各觀測(cè)周期數(shù)據(jù)看成相互獨(dú)立。(2)計(jì)算各期的和。(3)對(duì)第i期的平差資料進(jìn)行相似變換，解決網(wǎng)型不一致的情況。(4)計(jì)算位移量dij和協(xié)因數(shù)陣Qij。(5)計(jì)算ij期間的合理參考系，并對(duì)位移量dij和協(xié)因數(shù)陣Qij再作相似變換，解決計(jì)算基準(zhǔn)與實(shí)際基準(zhǔn)不相符的情況。(6)再用平均間隙法作穩(wěn)定點(diǎn)的判斷。1.2 監(jiān)測(cè)網(wǎng)穩(wěn)定性分析

8、的基本理論（1）各期觀測(cè)數(shù)據(jù)的自由網(wǎng)整體平差的誤差方程組假定對(duì)圖1的網(wǎng)形作了m期的沉降觀測(cè)，在m期觀測(cè)中網(wǎng)型可能發(fā)生變化，但觀測(cè)精度相同。假定每期觀測(cè)量為r個(gè)。 ，其中，=T是表示第i期點(diǎn)的近似高程改正值。=T是第i期的觀測(cè)數(shù)據(jù)，A11 A22 Amm是各期的系數(shù)陣，權(quán)陣Pi只是第i期各觀測(cè)值的權(quán)。（2）組成法方程并求解:將誤差方程在最小二乘VTPV=min的條件下求解得出法方程:NXW (h)其中NATPA，WATPL，Nii=AiiTPiAii因自由網(wǎng)平差時(shí)N陣是奇異矩陣，不存在凱利逆，由法方程(h)求出的解不唯一。其解為: (i)協(xié)因數(shù)陣為，為求出方程(i)的唯一解，再給定一個(gè)最小范數(shù)條

9、件，則可求出的唯一解。，其中，G滿足條件，；那么第i期的解為 。（3）對(duì)第i期的平差資料進(jìn)行相似變換：因?yàn)榍懊婕杭僭O(shè)在第j期觀測(cè)時(shí)第t號(hào)點(diǎn)被破壞?，F(xiàn)在要將第i期平差值轉(zhuǎn)換到第j期基準(zhǔn)下，根據(jù)相似變換公式 ，有：，其中 ，。因?yàn)榈趈觀測(cè)時(shí)t號(hào)點(diǎn)被破壞，欲將第i期觀測(cè)的平差資料變換到第j期的基準(zhǔn)下，這相似變換公式中穩(wěn)定點(diǎn)權(quán)陣w應(yīng)取j期的基準(zhǔn)，其中第t項(xiàng)就應(yīng)為0。 （4）計(jì)算第i、j觀測(cè)期間的位移量及協(xié)因數(shù)陣。第i、j觀測(cè)期間的位移量及協(xié)因數(shù)陣計(jì)算公式如下：，在上式中，表示的是第i、j兩觀測(cè)期間共同存在點(diǎn)的位移量，是位移量的協(xié)因數(shù)陣。 （5）我們求盡量與實(shí)際相符合的參考系：與實(shí)際相符合的參考系可以表

10、示為這是一個(gè)未知基準(zhǔn)，參考系的系數(shù)陣，參考系中各點(diǎn)看成等權(quán)時(shí)的系數(shù)陣，w是參考系的權(quán)陣，其作用是對(duì)參考系中各點(diǎn)在平差中賦予不同的權(quán)重，為對(duì)角陣在這里是一個(gè)待求量。對(duì)于這里的高程網(wǎng)取為：，其中一般取為單位權(quán)方差，c為某一合適的常數(shù)。那么在上面的幾個(gè)式中，k表示的是迭代次數(shù)。當(dāng)時(shí)停止迭代。一般取一個(gè)適當(dāng)小的數(shù)。此時(shí)就求出了參考系各點(diǎn)的權(quán)陣w。計(jì)算出合乎實(shí)際的參考系權(quán)陣后，就可以對(duì)由自由網(wǎng)平差計(jì)算的位移和協(xié)因數(shù)陣作相似變換。變換公式如下： （6）利用平均間隙法判斷各點(diǎn)的穩(wěn)定性。利用相似變換后的位移量及協(xié)因數(shù)陣就可以判斷點(diǎn)的穩(wěn)定性。平均間隙法流程如下：圖二 平均間隙法計(jì)算流程對(duì)所有的參考點(diǎn)，都進(jìn)行同樣

11、的分解，計(jì)算所有的、，然后在所有的中取最大的一個(gè)，它相應(yīng)的點(diǎn)為不穩(wěn)定點(diǎn)，利用該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的作圖形一致性檢驗(yàn)，若通過則終止，否則重復(fù)上述過程。2 測(cè)量平差在GPS中的應(yīng)用 我們以GPS高程擬合的精度分析為例來談其在GPS中的應(yīng)用。2.1 GPS高程方法 在測(cè)量中常用的高程系統(tǒng)有以參考橢球面為基準(zhǔn)面的大地高系統(tǒng)，一般用符號(hào)H表示；以大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面的正高系統(tǒng)，用符號(hào)表示；以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)的正常高系統(tǒng)，用符號(hào)表示。高程系統(tǒng)間的相互關(guān)系如圖所示：圖三 高程系統(tǒng)間的關(guān)系大地水準(zhǔn)面到參考橢球面的距離，稱為大地水準(zhǔn)面差距，記為。大地高與正高之間的關(guān)系可以表示為：似大地水準(zhǔn)面到參考橢球面的距離，稱為高程異常

12、，記為。大地高與正常高之間的關(guān)系可以表示為： 由于采用GPS觀測(cè)所得到的是點(diǎn)在WGS一84坐標(biāo)系中的大地高，為了確定出正高或正常高，需要有大地水準(zhǔn)面差距或高程異常數(shù)據(jù)。而我國常用的正常高()則須有一定精度的高程異常值，才能保證由大地高求得。2.2 高程擬合法高程擬合就是利用在范圍不大的區(qū)域中，高程異常具有一定的幾何相關(guān)性這一原理，由已知點(diǎn)的、在一定的數(shù)學(xué)模型和統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則下求出未知點(diǎn)的高程異常，從而求出待定點(diǎn)的正常高。若要用零次多項(xiàng)式進(jìn)行高程擬合時(shí)，要確定1個(gè)參數(shù)，因此，需要l個(gè)以上的已知點(diǎn)；若要采用一次多項(xiàng)式進(jìn)行高程擬合，要確定3個(gè)參數(shù)，需要3個(gè)以丘的已知點(diǎn)；若要采用二次多項(xiàng)式進(jìn)行高程擬合，要確

13、定6個(gè)參數(shù)，則需要6個(gè)以上的己知點(diǎn)。將高程異常表示為下面多項(xiàng)式的形式：零次多項(xiàng)式：一次多項(xiàng)式：二次多項(xiàng)式：其中：（ n為GPS的點(diǎn)數(shù)） 利用公共點(diǎn)上GPS測(cè)定的大地高和水準(zhǔn)測(cè)量測(cè)定的正常高計(jì)算出該點(diǎn)上的高程異常，存在一個(gè)這樣的公共點(diǎn)，就可以依據(jù)上式列出一個(gè)方程： 若共存在m個(gè)這樣的公共點(diǎn)，則可列出m個(gè)方程：即有： 其中： 通過最小二乘法可以求解出多項(xiàng)式的系數(shù)： 其中：P為權(quán)陣，它可以根據(jù)水準(zhǔn)高程和GPS所測(cè)得的大地高的精度來加以確定。按上述方法便可以確定計(jì)算點(diǎn)的高程，其精度主要決定于GPS測(cè)量的精度。這一方法的優(yōu)點(diǎn)是概念明了，計(jì)算簡(jiǎn)單，精度高。不過，為描述大地水準(zhǔn)面的細(xì)節(jié)，它需要布設(shè)均勻的、密

14、度充分的GPS觀測(cè)點(diǎn)，并且在這些點(diǎn)上，需要同時(shí)具有精密的水準(zhǔn)資料。這些要求在實(shí)際工作中有時(shí)會(huì)遇到困難，但是可以預(yù)期，隨著GPS定位技術(shù)的發(fā)展和普及，布設(shè)足夠密度和精度的GPS觀測(cè)站，將變得容易實(shí)現(xiàn)。另外，專家認(rèn)為，GPS測(cè)量和水準(zhǔn)測(cè)量資料，與重力測(cè)量資料(或地形資料)相結(jié)合，來精密確定大地水準(zhǔn)面的高程，將是一種有潛力的方法。3 測(cè)量平差在攝影測(cè)量中的應(yīng)用我們?cè)跀z影測(cè)量中，進(jìn)行單張像片空間后方交會(huì)誤差方程式的建立，利用共線方程求解外方位元元素時(shí)，為了提高精度和可靠性，通常需要測(cè)四個(gè)甚至更多的地面控制點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的像點(diǎn)坐標(biāo)，采用最小二乘平差方法解算。在列出每個(gè)點(diǎn)的誤差方程式之后，用矩陣形式表示誤差方程

15、V=AX-L，根據(jù)最小二乘平差原理，有誤差方程列出法方程式(ATPA)X=ATPL，像點(diǎn)坐標(biāo)量測(cè)為等精度觀測(cè)，P為單位矩陣，可得出解。同樣，我們?cè)谶M(jìn)行相對(duì)或絕對(duì)定向元素的解算時(shí)，同樣運(yùn)用到了間接平差原理來計(jì)算相對(duì)或絕對(duì)定向元素近似值的改正數(shù)?？梢哉f，平差在攝影測(cè)量的數(shù)據(jù)處理上起到了很關(guān)鍵的作用。下面，我們以光束法區(qū)域網(wǎng)空中三角測(cè)量為例來說說平差的處理方法。3.1 光束法區(qū)域網(wǎng)平差的基本思想 光速法區(qū)域網(wǎng)平差是以一張像片組成的一束光線作為平差的基本單元，以中心投影的共線方程作為平差的數(shù)學(xué)模型，以相鄰像片公共交會(huì)點(diǎn)坐標(biāo)相等、控制點(diǎn)的內(nèi)業(yè)坐標(biāo)與已知的外業(yè)坐標(biāo)相等為條件，列出控制點(diǎn)和加密點(diǎn)的誤差方程式

16、，進(jìn)行全區(qū)域的統(tǒng)一平差計(jì)算，解求出每張像片的外方位元素和加密點(diǎn)的地面坐標(biāo)。 光速法區(qū)域網(wǎng)平差主要過程如下：（1） 像片外方位元素和地面點(diǎn)坐標(biāo)近似值的確定。（2） 逐點(diǎn)建立誤差方程式和改化法方程式。（3） 利用邊法化邊消元循環(huán)分塊法解求改化法方程式。（4） 求出每張像片的外方位元素。（5） 空間前方交會(huì)求得待定點(diǎn)的地面坐標(biāo)，對(duì)于像片公共點(diǎn)連接點(diǎn)取其平均值作為最后成果。光速法區(qū)域網(wǎng)平差以像點(diǎn)坐標(biāo)作為觀測(cè)值，理論嚴(yán)密，但對(duì)原始數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差十分敏感，只有在較好地預(yù)先消除像點(diǎn)坐標(biāo)的系統(tǒng)誤差后，才能得到理想的加密成果。3.2 光速法區(qū)域網(wǎng)平差的概算 區(qū)域網(wǎng)概算的目的是提供每張像片的外方位元素和加密點(diǎn)地面

17、坐標(biāo)的近似值，通常用航帶法加密成果作為光速法區(qū)域網(wǎng)平差的概值。具體過程如下： (1)第一條航帶建立自由航帶網(wǎng)，用該航帶內(nèi)已知的地面控制點(diǎn)作概略絕對(duì)定向，獲得加密點(diǎn)概略地面坐標(biāo)。 (2)以下各條航帶，用上條相鄰航帶的公共點(diǎn)和本航帶的控制點(diǎn)作概略定向。 (3)各相鄰航帶公共點(diǎn)坐標(biāo)取均值作為地面坐標(biāo)的近似值。 (4)用每張像片的近似地面坐標(biāo)，用空間后方交會(huì)方法求得各像片的外方位元素的近似值。3.3 誤差方程式和法方程式的建立 經(jīng)區(qū)域網(wǎng)概算，獲得每張像片的外方位元素和加密點(diǎn)地面坐標(biāo)的近似值后，就可以用共線條件方程式，列出每張像片上控制點(diǎn)和加密點(diǎn)的誤差方程式。對(duì)每個(gè)像點(diǎn)可列出下列兩條關(guān)系式，即將共線方程

18、式線性化并寫成一般形式得寫成矩陣形式為=+-寫成一般形式為=- 式中= = = = = =對(duì)于外業(yè)控制點(diǎn)，如不考慮它的誤差，則控制點(diǎn)的坐標(biāo)改正數(shù)。當(dāng)像點(diǎn)坐標(biāo)為等權(quán)觀測(cè)時(shí)，誤差方程式對(duì)應(yīng)的法方程式為 - (j)式(j)含有像片外方位元素改正數(shù)和待定點(diǎn)地面坐標(biāo)改正數(shù)兩類未知數(shù)。對(duì)于一個(gè)區(qū)域來說，通常會(huì)有幾條、十幾條甚至幾十條航帶，像片數(shù)將有幾十、幾百甚至幾千張。每張像片有6個(gè)未知數(shù)，一個(gè)待定點(diǎn)有3個(gè)未知數(shù)。若全區(qū)有條航帶，每條航帶有張像片，全區(qū)有個(gè)待定點(diǎn)，則該區(qū)域的未知數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè)。由此組成的法方程將十分龐大。為了計(jì)算方便，通常消去一類未知數(shù)，保留另一類未知數(shù)，形成改化法方程。把式（j）中的系數(shù)矩陣

19、和常數(shù)項(xiàng)用新的符號(hào)代替，寫成- 用消元法消去待定點(diǎn)地面坐標(biāo)改正數(shù)得改化法方程式，即 (k) 式（k）的改化法方程式的系數(shù)矩陣是大規(guī)模的帶狀矩陣。為了計(jì)算方便，通常采用循環(huán)分塊解法解求未知數(shù)。求得每張像片的外方位元素后，可利用雙像空間前方交會(huì)或多像空間前方交會(huì)方法解求全部加密點(diǎn)的地面坐標(biāo)。多像前方交會(huì)是根據(jù)共線條件方程，由待定點(diǎn)在不同像片上的所有像點(diǎn)列誤差方差式進(jìn)行解算。下式為共線條件方程經(jīng)線性化后的誤差方程式，即由于每張像片的外方位元素已經(jīng)求得，就可列出每個(gè)待定點(diǎn)的前方交會(huì)誤差方差式，即如果某待定點(diǎn)在張像片上都有構(gòu)像，則可列出條誤差方程式，解出該點(diǎn)的地面坐標(biāo)改正數(shù)，再加上其近似值就得待定點(diǎn)的地

20、面坐標(biāo)。4 測(cè)量平差在大地測(cè)量中的應(yīng)用利用最小二乘配置法研究大地水準(zhǔn)面，這種方法已成為完整的理論并在全球大地測(cè)量中試用。 在經(jīng)典的間接平差基礎(chǔ)方程 中，分別是系統(tǒng)參數(shù)真值及觀測(cè)值向量真值，觀測(cè)值向量 式中為觀測(cè)值誤差，它由相互獨(dú)立的兩個(gè)偶然量組成：測(cè)站點(diǎn)信號(hào)和觀測(cè)噪聲。顯然它們各自的均值（或稱期望）都是0，經(jīng)線性化后，得線性方程 (l)式中：。如果在信號(hào)中海包括計(jì)算點(diǎn)信號(hào)，亦即 則(l)式可寫為 (m)式中：，此式即為最小二乘配置中的線性方程式。在物理大地測(cè)量中，系統(tǒng)部分可理解為是水準(zhǔn)橢球參數(shù)，比如長(zhǎng)半軸,地球動(dòng)力常數(shù)，正常二介帶系數(shù)及地球自轉(zhuǎn)角速度；隨機(jī)部分包括地球重力場(chǎng)與橢球參考系之間的不符值，比如，垂線偏差，大地水準(zhǔn)面差距。重力異常以