1 不定積分定義ppt課件

1、第四章第四章 積分及其運用積分及其運用4.14.1不定積分概念與性質(zhì)不定積分概念與性質(zhì)【學(xué)習(xí)本節(jié)要到達的目的】【學(xué)習(xí)本節(jié)要到達的目的】1 1、了解不定積分和原函數(shù)的概念、了解不定積分和原函數(shù)的概念2 2、了解不定積分與微分的關(guān)系、了解不定積分與微分的關(guān)系2 2、掌握不定積分的性質(zhì)、掌握不定積分的性質(zhì)本章主要內(nèi)容 一元函數(shù)的不定積分和定積分的概念與性質(zhì)、積分法、無窮區(qū)間的廣義積分和定積分的運用。 1 要處理這些實踐問題，自然會想到微分運算的逆運算，這就是產(chǎn)生積分運算的緣由。 提出這樣的逆問題，是由于它存在于許多實踐的問題中，例如：知速度求路程；知加速度求速度；知曲線上每一點處的切線斜率或斜率所滿

2、足的某一規(guī)律，求曲線方程等等。 回想: 微分學(xué)的根本問題是“知一個函數(shù), 如何求它的導(dǎo)數(shù). 那么, 假設(shè)知一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 要求原來的函數(shù), 這類問題, 是微分法的逆問題. 這就產(chǎn)生了積分學(xué). 2 為了更好地了解積分運算是導(dǎo)數(shù)微分運算的逆運算，我們在引見積分運算時，把乘方運算開方和它作比較：我們熟習(xí)乘方運算：) 1 (823也熟習(xí)導(dǎo)數(shù)運算：)1 (22xx于是提出新問題： )2(8?3 )2(2?x同樣提出問題：這不是乘方運算，而是它的逆運算開方運算。這不是求導(dǎo)運算，而是它的逆運算積分運算。普通來說，在下式里 ) 3(3ba)3()()(xfxF同樣，在下式里,3,3ababbababaab若

3、已知， 未知，由則稱（ ）式為乘方運算，稱 為 的立方。若已知， 未知，由則稱（ ）式為開方運算，稱 為 的立方根。( )( )( )( ),3 ( )( )( )( )( )( ),3 ( )( )F xf xF xf xf xF xf xF xf xF xF xf x若已知，未知，由則稱（） 式為求導(dǎo)運算，稱為的導(dǎo)數(shù)。若已知，未知，由則稱（） 式為積分運算，稱為的原函數(shù)。3 經(jīng)過上面的比較，對積分運算與原函數(shù)有了初步認識，以下先給出原函數(shù)與不定積分的有關(guān)的定義。一、原函數(shù)與不定積分定定義義( ) ,If xxI 對對于于定定義義在在區(qū)區(qū)間間 上上的的函函數(shù)數(shù)若若對對)()( xfxF 有有

4、 ( ) ( ) F xf xI則則稱稱是是在在 區(qū)區(qū)間間上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)1例例 xxcossin sin cos (,)xx 是是的的一一個個原原函函數(shù)數(shù) xx1ln 1ln (0,)xx是是的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)4這樣就給我們提出了問題：原函數(shù)存在的條件？原函數(shù)有多少個？這些原函數(shù)之間有何關(guān)系？如何求出這些原函數(shù)？例如例如 而而在在 上上 是是 的原函數(shù)的原函數(shù)(,) sin xcosxsin1,sin3xx 也是它的原函數(shù)也是它的原函數(shù)即即 加恣意常數(shù)都是加恣意常數(shù)都是 的原函數(shù)的原函數(shù).sinxcosxsin1,sin2xx 5原原函函數(shù)數(shù)存存在在定定理理2例2)(xxf

5、CR,31)(3xxF)()(xfxF (1)假設(shè)f(x)在某區(qū)間上存在原函數(shù)，那么原函數(shù)不是獨一的,且有無窮多個),()( xfxF若)()( xfCxF則的原函數(shù)，是即若 )( )( xfxF. )( 亦是則CxF 假設(shè)函數(shù)(x)在區(qū)間I上延續(xù), 那么(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)一定存在.6 (2) 假設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I 上存在原函數(shù)，那么其恣意兩個原函數(shù)只差一個常數(shù)項.)()(),()( xfxGxfxF設(shè))()(xFxG)()(xFxG0,)()(CxFxGCxFxG)()( 即:結(jié)結(jié)論論),()( xfxF若原函數(shù)都可用的則 )( xf. )(表示CxF7( )( ),f x

6、 dxf x 表表示示函函數(shù)數(shù)的的原原: :函函數(shù)數(shù)的的全全體體定定義義則則稱稱( )f x dx 的的不不定定積積分分為為 )( xf即號號分分積積數(shù)數(shù)函函積積被被被積表達式被積表達式項項數(shù)數(shù)常常 dxxf)(積分變量積分變量CxF )(83例例dxx 5求求解解,)6(56xx 665xdxx 4例例dxx 211求求解解 211arctanxx xdxxarctan112C C 95例dxx1求解解 , 0 )ln(, 0 lnlnxxxxx當(dāng)當(dāng)1dln (0).xxCxx所所以以)0( lnd1 xCxxx .1)(ln0 xxx 時，有當(dāng)時，當(dāng)0 xx )ln(有x1x)() 1(1

7、x,1x)0( )ln(d1 xCxxx10(1) ( )d ( ) d( )d( )df xx f xf xxf xx或或，(2) ( )d( ) d ( )( )F xxF xCF xF xC或或，微分運算與積分運算互為逆運算微分運算與積分運算互為逆運算. . 不定積分與微分的關(guān)系不定積分與微分的關(guān)系先積后微方式不先積后微方式不變變先微后積差一常數(shù)先微后積差一常數(shù)116例.tanseclnsec成立驗證等式Cxxxdx解解.是左端的被積函數(shù)即可的導(dǎo)數(shù)只要驗證等式右端函數(shù)依據(jù)不定積分的定義，時，由于）當(dāng)（0tansecxx )tanln(secxx)tanln(sec1xx)sectan(s

8、ec2xxx,secx.所以，已給等式成立.0tansec給等式成立時，類似地可以驗證已）當(dāng)（xx.立綜上所述，已給等式成127例),2 , 1 (已知某曲線過點處切線點其上),(yx的兩倍，的斜率為x求其方程)( xfy 設(shè)曲線方程則由題意知xxf2)()(xfdxx22xxy0C解解),2 , 1 (曲線過點又,12C1C即. 12 xy故所求曲線為13 函數(shù)f (x)的原函數(shù)圖形稱為f (x)的積分曲線,不定積分表示的不是一個原函數(shù),而是無窮多個(全部)原函數(shù),通常說成一族函數(shù),反映在幾何上那么是一族曲線,這族曲線稱為f (x)的積分曲線族. 在一樣的橫坐標(biāo)處,一切積分曲線的斜率均為k,

9、因此,在每一條積分曲線上,以x為橫坐標(biāo)的點處的切線彼此平行如圖.f (x)為積分曲線在(x, f (x)處的切線斜率.不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義14 21d2所所以以 yx xxC (2,3) 1 C 把把代代入入上上述述方方程程，得得，練習(xí)設(shè)曲線經(jīng)過點(2,3),且其上任一點的切線斜率等于這點的橫坐標(biāo)，求此曲線方程.解 設(shè)所求的曲線方程為 ,依題意可知( ) yf x ，yx因此所求曲線的方程為21.2xy15 二、根本積分公式二、根本積分公式(6) sin dcosxxxC (1) d kxkxCd(3) ln|.xxCx(5) d.eexxxC1(2) d (1).1xxxC

10、(4) d.lnxxxCaaa1622d(8) csc d cot .sinxxxxCx(10) sec tan dsec .xxxxC(7) cos dsin .xxxC22d(9) sec dtan .cosxxxxCx(11) csc cot dcsc .xxxxC 21(12) darcsin .1xxCx21(13) darctan.1xxCx17Cxdxx11dxxx 2 求求8例解解9例解解dxxx 31 求求dxxx 2dxx 25125125 x.7227Cx dxxx 31dxx 27127127 x.5225Cx C C 18dxedxxxxx22,113）（）求（解10

11、例dxxx31) 1 (dxx34Cx1343411Cx313dxexx2)2(Cexx 2ln2 dxex)2()2ln()2(eex C 練習(xí)：練習(xí)：dxexx2 求 dxaxCaax ln19 三、不定積分的運算性質(zhì)三、不定積分的運算性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2 2 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分號的前面號的前面. .性質(zhì)性質(zhì)1 1可以推行到有限多個函數(shù)的情形，即可以推行到有限多個函數(shù)的情形，即性質(zhì)性質(zhì)1 1 函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于不定積分的代數(shù)和，即函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于不定積分的代數(shù)和，即 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf d

12、xxkf)()2(.)( dxxfk)0 ( k常常數(shù)數(shù)dxxfxfxfn)()()(21.)()()(21dxxfdxxfdxxfn留意：不定積分沒有積和商的運算法那么。20 xxgxxf xxgxxf )d( )d()d()d(，)()( =xgxf證 只需證明上式右端的導(dǎo)數(shù)等于左端的被積函數(shù) 即可.由導(dǎo)數(shù)運算法那么以及不定積分與微分的關(guān)系，有這闡明 是函數(shù) 的不定積分，所以欲證的等式成立.xxgxxf)d()d( )()(xgxf性質(zhì)性質(zhì)1 1 函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于不定積分的代數(shù)和，即函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于不定積分的代數(shù)和，即 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf

13、21例例11 11 求求32543)d .(2xxxx32 2d5d4d3 dxxx xxxx3232 543)d 2d5d4 d3d(2xxxxx xxxxxx解解43215 23.23xCxxx 注 逐項積分后，每個積分結(jié)果中均含有一個恣意常數(shù)由于恣意常數(shù)之和仍是恣意常數(shù)，因此只要寫出一個恣意常數(shù)即可 22) 1 (21例 dxxx)3( 32求求解解 dxxx)3(32 dxxx)3(25661x 3x 解解.)1213( 22dxxx 求求dxxx)1213(22 xarctan3 xarcsin2 C C 練習(xí)dxxx 23)1(dxxxxx 223133)2(23.arctan33

14、Cxxxxxxd 11) 1( 22xxxxxxxd11) 1)(1(d1222224解解xxxxd11 d) 1(22.d1224xxx例例13 13 求求24.)1(21 222dxxxx 求求dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 2211114例解解xxarctan1 C 25dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.)1(1 22dxxxxx 求求練習(xí)解解arctanln|xCx 2615例解解 xdx2cot 求求 xdx2cot dxx)1(csc2xcot x C 16例解解 dxx2sin 2求求 dxx2sin2 dxx)cos1(21x(21 )sin x C 練習(xí)：練習(xí)：xdx2tan 求練習(xí)：練習(xí)：dx