幾何分布的定義以及期望與方差的證明

1、幾何分布的定義以及期望與方 差的證實(shí)幾何分布的定義以及期望與方差幾何分布(Geometric distribution )是離散型概率 分布.其中一種定義為：在n次伯努利試驗(yàn)中,試 驗(yàn)k次才得到第一次成功的機(jī)率.詳細(xì)的說(shuō),是： 前k-1次皆失敗,第k次成功的概率.公式：它分兩種情況：1 .得到1次成功而進(jìn)行,n次伯翳利實(shí)驗(yàn),n的概 率分布,取值范圍為1, 2, 3,.;2 . m = n-1次失敗,第n次成功,m的概率分布, 取值范圍為0, 1, 2, 3,.由兩種不同情況而得出的期望和方差如下：E 國(guó)=,1 PVar (X) =;E【小I,Vflr(Y)= k_P pO概率為p的事件A ,以

2、X記A首次發(fā)生所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù),那么X的分布列：P(X =k) = px W = (l-p)*-1p具有這種分布列的隨機(jī)變量X,稱為服從參數(shù)p的 幾何分布)記為 XGeo(p).幾何分布的期望E 國(guó)=,方差,1 PDX = VarX) =O高中數(shù)學(xué)教科書新版第三冊(cè)(選修II)比原來(lái) 的修訂本新增加隨機(jī)變量的幾何分布,但書中只給 出了結(jié)論：(1) E 1, (2) D 一,而未加以證 pp明.本文給出證實(shí),并用于解題.(1)由 P( k) qk1p ,知E p 2 pq 3q2 p kqk 1 p (1 2q 3q2 kqk 1) p下面用倍差法(也稱為錯(cuò)位相減法)求上式括 號(hào)內(nèi)的值.記2. k

3、 1Sk1 2q 3q kq qSk q 2q2 (k 1)qk 1 kqk兩式相減,得_2(1 q)Sk 1 q qk 1, kq kqkkS 1 q kqSk72(1 q) 1 q1 2p 3q2 kqk 1q 1)那么 kim qk0,故lim Skk (1 q)2也可用無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式S2|q| 1見教科書91頁(yè)閱讀材料,推導(dǎo)如下:j己 S 1 2q 3q2kqk12qS q 2q(kk 11)q相減,(1 q)S 1 q還可用導(dǎo)數(shù)公式(xn)' nxnL推導(dǎo)如下:1 2x 3x2kxk 1x' (x2)' (x3)'(xk)'(x x2

4、x3 xk )'/ x (1 x) ( x)(L )2-21 x (1 x) 1(1 x)2上式中令x q,那么得2 , k 1111 2q 3q kq 三 (1 q) P(2)為簡(jiǎn)化運(yùn)算,利用性質(zhì)D E2 (E)2來(lái)推導(dǎo)(該性質(zhì)的證實(shí),可見本刊6頁(yè)).可見關(guān)鍵是求2O2222.2 k 1E p 2 qp 3 q p k q p2222 k 1p(1 2 q 3 q k q )對(duì)于上式括號(hào)中的式子,利用導(dǎo)數(shù),關(guān)于 q求k2qk1 (kqk)',并用倍差法求和,有2222 k 11 2 q 3 q k q23k(q 2q 3q kq )q T (1 q)2 2(1 q)q rJ(

5、1 q)(1 q),21 q 1 q 2 p(1 q)4(1 q)3 p322 p 2 p222 p 1 21 p那么 E p(T) T ,因止匕 D E (E ) T (-) T p pppp利用上述兩個(gè)結(jié)論,可以簡(jiǎn)化幾何分布一類的 計(jì)算問題.例1. 一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)白球和2個(gè)黑球,現(xiàn) 從中每次摸取一個(gè)球,取出黑球就放回,取出白球 那么停止摸球.求取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望E與方差D.解：每次從袋內(nèi)取出白球的概率 p三,取出黑 球的概率q會(huì)的取值為1, 2, 3,有無(wú)窮 多個(gè).我們用 k表示前k-1次均取到黑球,而第 k次取到白球,因此P( k) qk 1p (：)k 1§)(k 1,2

6、,3,).可見服從幾何分 布.所以1 7p 514251 pT p例2.某射擊運(yùn)發(fā)動(dòng)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為p (0<p<1).他有10發(fā)子彈,現(xiàn)對(duì)某一目標(biāo)連 續(xù)射擊,每次打一發(fā)子彈,直到擊中目標(biāo),或子彈 打光為止.求他擊中目標(biāo)的期望.解：射手射擊次數(shù)的可能取值為1, 2,9, 10.假設(shè)k(k 1,2, ,9),那么說(shuō)明他前k 1次均沒擊中目 標(biāo),而第k次擊中目標(biāo)；假設(shè)k=10,那么說(shuō)明他前9 次都沒擊中目標(biāo),而第10次可能擊中也可能沒擊、k 1中目標(biāo).因此的分布列為P( k) (1 p)9 p(k 12(1 p) (k 10)E 1 (1 p)0p 2 (1 p)p 9 (1 p)8p 10 (1 p)9_ _8_91 2(1 p) 9(1 p) p 10 (1 p)用倍差法,可求得-81 2(1 p) 9(1 p)1 (1 P)99(1 P)92 1 (1 p)1 (1 p)1 (1 P)99(1 p)92 PP9 一910所以 E 3 包P 10(1 P)9 3J