線性代數(shù)第二章矩陣試題及答案

1、文檔可能無法思考全面，請(qǐng)瀏覽后下載! 第二章 矩陣一、知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)1、矩陣的定義由mn個(gè)數(shù)排列成的一個(gè)m行n列的表格，兩邊界以圓括號(hào)或方括號(hào)，就成為一個(gè)mn型矩陣。例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一個(gè)45矩陣.一個(gè)矩陣中的數(shù)稱為它的元素,位于第i行第j列的數(shù)稱為(i,j)位元素。元素全為0的矩陣稱為零矩陣,通常就記作0。兩個(gè)矩陣A和B相等(記作A=B)，是指它的行數(shù)相等，列數(shù)也相等(即它們的類型相同)，并且對(duì)應(yīng)的元素都相等。2、 n階矩陣與幾個(gè)特殊矩陣行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣稱為方陣，行列數(shù)都為n的矩陣也常常叫做n階矩陣。n階矩陣的從左上

2、角到右下角的對(duì)角線稱為主對(duì)角線。下面列出幾類常用的n階矩陣,它們都是考試大綱中要求掌握的.對(duì)角矩陣: 對(duì)角線外的的元素都為0的n階矩陣.單位矩陣: 對(duì)角線上的的元素都為1的對(duì)角矩陣,記作E(或I).數(shù)量矩陣: 對(duì)角線上的的元素都等于一個(gè)常數(shù)c的對(duì)角矩陣,它就是cE.上三角矩陣: 對(duì)角線下的的元素都為0的n階矩陣.下三角矩陣: 對(duì)角線上的的元素都為0的n階矩陣.對(duì)稱矩陣: 滿足AT=A矩陣，也就是對(duì)任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素總是相等的n階矩陣.反對(duì)稱矩陣:滿足AT=-A矩陣.也就是對(duì)任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和總等于0的n階矩陣. 反對(duì)稱矩陣對(duì)

3、角線上的元素一定都是0.)正交矩陣：若AAT=ATA=E，則稱矩陣A是正交矩陣。（1）A是正交矩陣AT=A-1 （2）A是正交矩陣=1階梯形矩陣:一個(gè)矩陣稱為階梯形矩陣，如果滿足: 如果它有零行，則都出現(xiàn)在下面。 如果它有非零行，則每個(gè)非零行的第一個(gè)非0元素所在的列號(hào)自上而下嚴(yán)格單調(diào)遞增。把階梯形矩陣的每個(gè)非零行的第一個(gè)非0元素所在的位置稱為臺(tái)角。每個(gè)矩陣都可以用初等行變換化為階梯形矩陣，這種運(yùn)算是在線性代數(shù)的各類計(jì)算題中頻繁運(yùn)用的基本運(yùn)算，必須十分熟練。請(qǐng)注意：一個(gè)矩陣用初等行變換化得的階梯形矩陣并不是唯一的，但是其非零行數(shù)和臺(tái)角位置是確定的。3、矩陣的線形運(yùn)算（1）加(減)法:兩個(gè)mn的矩

4、陣A和B可以相加(減),得到的和(差)仍是mn矩陣,記作A+B (A-B),運(yùn)算法則為對(duì)應(yīng)元素相加(減).（2）數(shù)乘: 一個(gè)mn的矩陣A與一個(gè)數(shù)c可以相乘,乘積仍為mn的矩陣,記作cA,運(yùn)算法則為A的每個(gè)元素乘c.這兩種運(yùn)算統(tǒng)稱為線性運(yùn)算,它們滿足以下規(guī)律: 加法交換律: A+B=B+A. 2加法結(jié)合律: (A+B)+C=A+(B+C). 加乘分配律: c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA. 數(shù)乘結(jié)合律: c(d)A=(cd)A. cA=0 c=0 或A=0.4、矩陣乘法的定義和性質(zhì)（1）當(dāng)矩陣A的列數(shù)和B的行數(shù)相等時(shí),則A和B可以相乘,乘積記作AB. AB的行數(shù)和A相等,列數(shù)和

5、B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i個(gè)行向量和19 / 21B的第j個(gè)列向量(維數(shù)相同)對(duì)應(yīng)分量乘積之和.即：矩陣的乘法在規(guī)則上與數(shù)的乘法有不同: 矩陣乘法有條件. 矩陣乘法無交換律. 即ABBA 矩陣乘法無消去律：即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A0推不出B=C.(無左消去律)由BA=CA和A0推不出B=C. (無右消去律)請(qǐng)注意不要犯一種常見的錯(cuò)誤:把數(shù)的乘法的性質(zhì)簡單地搬用到矩陣乘法中來. 矩陣乘法適合以下法則: 加乘分配律 A(B+C)= AB+AC, (A+B)C=AC+BC. 數(shù)乘性質(zhì) (cA)B=c(AB). 結(jié)合律 (AB)C= A(BC)（2）n

6、階矩陣的方冪和多項(xiàng)式任何兩個(gè)n階矩陣A和B都可以相乘,乘積AB仍是n階矩陣.并且有行列式性質(zhì): |AB|=|A|B|.如果AB=BA,則說A和B可交換.方冪 設(shè)k是正整數(shù), n階矩陣A的k次方冪A k即k個(gè)A的連乘積.規(guī)定A 0=E .顯然A 的任何兩個(gè)方冪都是可交換的,并且方冪運(yùn)算符合指數(shù)法則: A kA h= A k+h. (A k)h= A kh.但是一般地(AB)k和A kB k不一定相等! n階矩陣的多項(xiàng)式： 設(shè)f(x)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0,對(duì)n階矩陣A規(guī)定f(A)=amA m+am-1A m-1+ a1A +a0E.稱為A的一個(gè)多項(xiàng)式.請(qǐng)?zhí)貏e注意在常數(shù)項(xiàng)上加單

7、位矩陣E.乘法公式 一般地,由于交換性的障礙,小代數(shù)中的數(shù)的因式分解和乘法公式對(duì)于n階矩陣的不再成立.但是如果公式中所出現(xiàn)的n階矩陣互相都是互相可交換的,則乘法公式成立.例如當(dāng)A和B可交換時(shí),有:(AB)2=A22AB+B2; A2-B2=(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B).二項(xiàng)展開式成立: 等等.前面兩式成立還是A和B可交換的充分必要條件.(3)乘積矩陣的列向量組和行向量組設(shè)A是mn矩陣B是ns矩陣，A的列向量組為a1,a2,an，B的列向量組為b1, b2,bs，AB的列向量組為g1, g2,gs，則根據(jù)矩陣乘法的定義容易看出(也是分塊法則的特殊情形): AB的每個(gè)列向量為:gi=

8、Abi,i=1,2,s.即A(b1, b2,bs)= (Ab1,Ab2,Abs). b=(b1,b2,bn)T,則Ab= b1a1+b2a2+bnan.應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)可以得到:如果bi=(b1i,b2i,bni)T,則 gi=AbI=b1ia1+b2ia2+bnian.即:乘積矩陣AB的第i個(gè)列向量gi是A的列向量組a1, a2,an的線性組合，組合系數(shù)就是B的第i個(gè)列向量bi的各分量。類似地, 乘積矩陣AB的第i個(gè)行向量是B的行向量組的線性組合，組合系數(shù)就是A的第i個(gè)行向量的各分量。以上規(guī)律在一般教材都沒有強(qiáng)調(diào),但只要對(duì)矩陣乘法稍加分析就不難得出.它們無論在理論上和計(jì)算中都是很有用的. 利用

9、以上規(guī)律容易得到下面幾個(gè)簡單推論: 用對(duì)角矩陣L從左側(cè)乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用L的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的各行向量， 用對(duì)角矩陣L從右側(cè)乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用L的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的各列向量。 數(shù)量矩陣kE乘一個(gè)矩陣相當(dāng)于用k乘此矩陣；單位矩陣乘一個(gè)矩陣仍等于該矩陣。 兩個(gè)同階對(duì)角矩陣的相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘。 求對(duì)角矩陣的方冪只需把對(duì)角線上的每個(gè)元素作同次方冪。5、矩陣的行列式 A為n階方陣，由A的元素所構(gòu)成的行列式稱為A的行列式，表示為|A|。 若A的行列式|A|0，稱A為非奇異方陣，|A|=0，稱A為奇異方陣|AB|=|A|B| |cA|=Cn|A|.6、矩陣的轉(zhuǎn)置把

10、一個(gè)mn的矩陣A行和列互換，得到的nm的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A T(或A)。有以下規(guī)律：(AT)T= A. (A+B)T=AT+BT. (cA)T=cAT. (AB)T=BTAT. |AT|=|A|7、矩陣的等價(jià) 定義：兩個(gè)矩陣如果可以用初等變換互相轉(zhuǎn)化,就稱它們等價(jià).矩陣的等價(jià)的充分必要條件為它們類型相同,秩相等.命題：兩個(gè)m*n 矩陣A與 B等價(jià)的充要條件是存在m階滿秩矩陣P及n階滿秩矩陣Q，使得A=PBQ8、矩陣方程和可逆矩陣(伴隨矩陣)(1) 矩陣方程矩陣不能規(guī)定除法，乘法的逆運(yùn)算是解下面兩種基本形式的矩陣方程:(I) AX=B. (II) XA=B.這里假定A是行列式不為0的n階矩

11、陣，在此條件下，這兩個(gè)方程的解都是存在并且唯一的(否則解的情況比較復(fù)雜.)。當(dāng)B只有一列時(shí),(I)就是一個(gè)線性方程組.由克萊姆法則知它有唯一解.如果B有s列,設(shè) B=(b1, b2,bs),則 X也應(yīng)該有s列,記X=(X1,X2,Xs),則有AXi=bi,i=1,2,s,這是s個(gè)線性方程組，由克萊姆法則,它們都有唯一解，從而AX=B有唯一解。這些方程組系數(shù)矩陣都是A，可同時(shí)求解，即得 (I)的解法：將A和B并列作矩陣(A|B)，對(duì)它作初等行變換，使得A變?yōu)閱挝痪仃?此時(shí)B變?yōu)榻釾 (A|B)(E|X)。(II)的解法：對(duì)兩邊轉(zhuǎn)置化為(I)的形式:ATXT=BT，再用解(I)的方法求出XT，轉(zhuǎn)置

12、得X.：(AT|BT)(E|XT)矩陣方程是歷年考題中常見的題型,但是考試真題往往并不直接寫成(I)或(II)的形式,要用恒等變形簡化為以上基本形式再求解。(2) 可逆矩陣的定義與意義定義：設(shè)A是n階矩陣，如果存在n階矩陣B，使得AB=E， BA=E，則稱A為可逆矩陣，此時(shí)B是唯一的，稱為A的逆矩陣，通常記作A-1。如果A可逆，則A在乘法中有消去律：AB=0B=0；AB=ACB=C.(左消去律)； BA=0B=0；BA=CAB=C. (右消去律)如果A可逆，則A在乘法中可移動(dòng)(化為逆矩陣移到等號(hào)另一邊)：AB=CB=A-1C，BA=CB=CA-1由此得到基本矩陣方程的逆矩陣解法：(I) AX=

13、B的解X=A-1B (II) XA=B的解X= BA-1.這種解法想法自然，好記憶，但是計(jì)算量比初等變換法大(多了一次矩陣乘積運(yùn)算).(3) 矩陣可逆性的判別與性質(zhì) 定理 n階矩陣A可逆|A|0.證明 充分性：對(duì)AA-1=E兩邊取行列式,得|A|A-1|=1,從而|A|0. (并且|A-1|=|A|-1.)必要性：因?yàn)閨A|0,矩陣方程AX=E和XA=E都有唯一解.設(shè)B,C分別是它們的解,即AB=E, CA=E. 事實(shí)上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是從定義得到A可逆.推論 如果A和B 都是n階矩陣,則AB=EBA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,則A和B都可逆并且互為逆

14、矩陣. 可逆矩陣有以下性質(zhì):如果A可逆,則 A-1也可逆,并且(A-1)-1=A. AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T. 當(dāng)c0時(shí), cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1. 對(duì)任何正整數(shù)k, Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k.(規(guī)定可逆矩陣A的負(fù)整數(shù)次方冪A-k=(Ak)-1=(A-1)k.) 如果A和B都可逆,則AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(請(qǐng)自己推廣到多個(gè)可逆矩陣乘積的情形.) 初等矩陣都是可逆矩陣,并且 E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c)-1=E(i(c-1), E(i,j(c)-1= E(i,j(-c). (4) 逆矩陣的計(jì)算和伴隨

15、矩陣 計(jì)算逆矩陣的初等變換法當(dāng)A可逆時(shí), A-1是矩陣方程AX=E的解,于是可用初等行變換或列變換求A-1:初等行變換：初等列變換：這個(gè)方法稱為求逆矩陣的初等變換法.它比下面介紹的伴隨矩陣法簡單得多. 伴隨矩陣若A是n階矩陣，記Aij是|A|的(i,j)位元素的代數(shù)余子式，規(guī)定A的伴隨矩陣 A11 A21 An1 A*= A12 A22 An2 =(Aij)T.A1n A2n Amn 請(qǐng)注意，規(guī)定n階矩陣A的伴隨矩陣并沒有要求A可逆，但是在A可逆時(shí), A*和A-1有密切關(guān)系?；竟? AA*=A*A=|A|E. A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通過求A*來計(jì)算A-1.這就

16、是求逆矩陣的伴隨矩陣法.和初等變換法比較, 伴隨矩陣法的計(jì)算量要大得多,除非n=2,一般不用它來求逆矩陣.對(duì)于2階矩陣 a b * d -b c d = -c a ,因此當(dāng)ad-bc0時(shí), 二 例題一、填空題1設(shè)a1, a2, a3, a, b均為4維向量, A = a1, a2, a3, a, B = a1, a2, a3, b, 且|A| = 2, |B| = 3, 則|A3B| = _.解：=2 設(shè)，則 ， 解：3若對(duì)任意n1矩陣X, 均有AX = 0, 則A = _.解：假設(shè), ai是A的列向量。對(duì)于j = 1, 2, , m, ，第j個(gè)元素不為0，所以 (j = 1, 2, , m)

17、.，A = 0。4設(shè)n維向量, 矩陣, 其中E為n階單位矩陣, 則AB = 解：5設(shè)矩陣= _.解：= = + = = 或者：6設(shè)n階矩陣A滿足= _.解：由得. 所以, 于是A可逆. 由得7設(shè)=_.答案： 8若A2-2A+E=0，則（A-2E）-1=解：二、單項(xiàng)選擇題1設(shè)n階矩陣A與B等價(jià)，則必有A 當(dāng)時(shí)， B 當(dāng)時(shí)，C 當(dāng)時(shí)， D 當(dāng)時(shí)，解：2.下列命題正確的是( )，并說明理由.A若A是n階方陣且AO，則A可逆B若A，B都是n階可逆方陣，則A+B可逆C若AB=O，且AO，則必有B=O D設(shè)A是n階方陣，則A可逆AT必可逆.3. 設(shè)A、B都是n階方陣, 下面結(jié)論正確的是A 若A、B均可逆,

18、 則A + B可逆. B 若A、B均可逆, 則AB可逆. C若A + B可逆, 則AB可逆. D 若A + B可逆, 則A, B均可逆.解：若A、B均可逆, 則4.則在中與A等價(jià)的矩陣為 ，5. 下述命題正確的是( )A若A與B等價(jià)，則A=B. B 若方陣A與方陣B等價(jià)，則.C 若A與可逆矩陣B等價(jià)，則A也是可逆矩陣.D 若A，B，C，D均為n階方陣，若A與B等價(jià)，C與D等價(jià)，則A+C與B+D等價(jià).6. 設(shè)A、B為同階可逆矩陣, 則A AB = BA B 存在可逆矩陣P, 使 C 存在可逆矩陣C, 使 D 存在可逆矩陣P和Q, 使解：因?yàn)锳可逆, 存在可逆.因?yàn)锽可逆, 存在可逆.所以 = .

19、 于是令 , . (D)是答案.7已知 與等價(jià)，則a =1 D 2 D 3 B 4 C 5 C 6 D 7 a=4 8以下命題是正確的是( )，且說明理由：(1) 對(duì)任何矩陣A，均有.解：只有當(dāng)A是方陣時(shí)，(2) A，B, C，D均為n(n1)階方陣，若，則.解：分塊矩陣不滿足這樣的公式。(3) A，B，C，D均為n階方陣，若, 則. 解：， （4）題答案：(4) A，B為n(n1)階方陣則.(5) A，B為可逆矩陣，則有惟一解.(6) 等價(jià)于 三、計(jì)算題1. 設(shè), . 求: i. ABBA ii. A2B2 iii. BTAT 2. k取什么值時(shí), 可逆, 并求其逆。解：，3. 解下列矩陣方

20、程：解： 4. 已知三階矩陣A滿足，其中，試求矩陣A. 解：5. 計(jì)算下列矩陣的值（1） （2）設(shè), 求An解：使用數(shù)學(xué)歸納法假設(shè) =則=所以：=6. 設(shè)矩陣A（1） 證明: n 3時(shí), (E為三階單位矩陣) （2） 求A100.解：因?yàn)?所以 ，假設(shè) 則 =所以 ii. 7. 當(dāng)時(shí), A6 = E. 求A11. 解：因?yàn)?, 所以 8. 已知A、B為3階矩陣，且滿足，其中E是3階單位矩陣（1）證明：矩陣A-2E可逆。（2）若，求矩陣A解： ，9. 設(shè)A，P均為3階矩陣，為P的轉(zhuǎn)置矩陣，且，若解：此例說明結(jié)論:乘積矩陣AB的第i個(gè)列向量gi是A的列向量組a1, a2,an的線性組合，組合系數(shù)就

21、是B的第i個(gè)列向量bi的各分量。類似地, 乘積矩陣AB的第i個(gè)行向量是B的行向量組的線性組合，組合系數(shù)就是A的第i個(gè)行向量的各分量。四、關(guān)于矩陣的初等變化和初等矩陣知識(shí)點(diǎn)矩陣有以下三種初等行變換： 交換任意兩行的位置。 用一個(gè)非0的常數(shù)乘某一行的各元素。 把某一行的倍數(shù)加到另一行上。類似地, 矩陣還有三種初等列變換，初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱初等變換。對(duì)單位矩陣E作一次初等(行或列)變換，所得到的矩陣稱為初等矩陣。有三類初等矩陣：E(i,j)：交換E 的i,j兩行(或列)所得到的矩陣。E(i(c)：用非0數(shù)c乘E的第i行(或列)所得到的矩陣，也就是把E的對(duì)角線上的第i個(gè)元素改為c。E(i,j(

22、c)(ij)：把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩陣, 也就是把E的(i,j)位的元素改為c。初等矩陣都是可逆矩陣,并且 E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c)-1=E(i(c-1), E(i,j(c)-1= E(i,j(-c).命題：對(duì)矩陣作一次初等行(列)變換相當(dāng)于用一個(gè)相應(yīng)的初等矩陣從左(右)乘它.1. 設(shè), , , 設(shè)有P2P1A = B, 則P2 = 解：P1A表示互換A的第一、二行. B表示A先互換第一、二行, 然后將互換后的矩陣的第一行乘以(1)加到第三行. 所以P2 = 。2.設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第

23、2列加到第3列得C, 則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為 ，解：4.若可逆矩陣A作下列變化，則相應(yīng)地有怎樣的變化?(1) A中行與行互換；(2) A中行乘上非零數(shù)；(3) 時(shí)， A中第行乘上數(shù)加到第行解：（1） 的列與列互換。（2） 的列乘以（3）的列乘以加到第列上。5. 已知3階矩陣A可逆，將A的第2列與第3列交換得到B，再把B的第1列-2倍加到第3列得C，則滿足PA-1=C-1的矩陣P為。解：， 6.設(shè)A是n階可逆方陣，將A的第行和第行對(duì)換后得到的矩陣為B，（1）證明B可逆，（2）求AB-1 解：，所以B可逆。 ，五、關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均、可逆：若，則： ；、；（主對(duì)角分塊）、；（副對(duì)

24、角分塊）、；（拉普拉斯）、；（拉普拉斯） 若都是方陣（不必同階）,則 若A, B都是n階方陣, 1. 求下列矩陣的逆矩陣i. ii. iii. iv. i.解：根據(jù)分塊矩陣：，i根據(jù)分塊矩陣iii.，iv. 2. 設(shè)A、B都是n階可逆矩陣, 則等于解： 。3.設(shè)A為n階可逆矩陣，計(jì)算：（1） （2） （3） （4） （5） 解：（1）， （2） （3）（4） （5）4. 設(shè)A為n階非奇異矩陣，a為n維列向量，b為常數(shù)，記分塊矩陣， (1) 計(jì)算并化簡PQ。解：因?yàn)椋?）證明：矩陣Q可逆的充要條件是解：5. 設(shè)，則方程f(x)=0有幾個(gè)根。6. 設(shè)A、B為n階矩陣，分別為A、B對(duì)應(yīng)的伴隨矩陣，分

25、塊矩陣則C的伴隨矩陣為：解：因?yàn)?. 設(shè)A、B均為2階矩陣，分別為A、B對(duì)應(yīng)的伴隨矩陣，若則分塊矩陣的伴隨矩陣為A B C D 解：利用8.設(shè)均是階矩陣，則解：直接利用上述公式簡化行列式運(yùn)算。而 ，。于是 六、關(guān)于伴隨矩陣的知識(shí)點(diǎn)若A是n階矩陣，記Aij是|A|的(i,j)位元素的代數(shù)余子式，規(guī)定A的伴隨矩陣 ，因此有AA*=A*A=|A|E. 若A可逆：A*=|A|A-1，即A-1=A*/|A|伴隨矩陣的其它性質(zhì):如果A可逆，則A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)* (AT)*=(A*)T (Ak)*=(A*)k (Ak)-1=(A-1)k |A*|=|A|n-1 (cA)

26、*=cn-1A* (AB)*=B*A* (AB)T=BTAT (AB)-1=B-1A-1當(dāng)n2時(shí),(A*)*=|A|n-2A； n=2時(shí),(A*)*=A.證明以上性質(zhì)：（3），所以（4）再證明：，所以 所以，同理還有，（5）（6）（7）（8）同類型公式：，（9）2. 設(shè)A為n階可逆矩陣, 則(A)*等于 (A) A* (B) A* (C) (1)nA* (D) (1)n1A*3. 設(shè)n階矩陣A非奇異(n 2)，A*是A的伴隨矩陣，則(A) (B) (C) (D) 4.設(shè)A是任一階方陣，是其伴隨矩陣，又k為常數(shù)，且，則解：因?yàn)椋?.設(shè)A、B均為n階矩陣，則=解：6. 設(shè)解：，|A| = 1，A*

27、=|A|A-1，7. 已知A為3階方陣，且=3，求（1） （2） （3） （4）（5） （6）解：（1） （2）（3）（4）（5）（6）8. 設(shè)矩陣A的伴隨矩陣，且ABA-1=BA-1+3E，其中E是4階單位矩陣，求矩陣B.解：因?yàn)锳BA-1=BA-1+3E，因?yàn)?.設(shè)矩陣，矩陣B滿足，其中為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則 解：，而，10. 設(shè)矩陣A、B滿足，其中，E為單位矩陣，為A的伴隨矩陣，則B=解：，因?yàn)?，所?1. 設(shè)矩陣，矩陣X滿足，其中是A的伴隨矩陣，求矩陣X。解：，因?yàn)椋?2.設(shè)A為n（）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B, 分別為A,B的伴隨矩陣，則A交換的第1列與第2

28、列得. B交換的第1行與第2行得. C交換的第1列與第2列得. D交換的第1行與第2行得.解：，13. 設(shè)矩陣，滿足，其中是A的伴隨矩陣，為A的轉(zhuǎn)置矩陣，若為3個(gè)相等的正數(shù)，則為 七、關(guān)于矩陣的秩(1) 定義：一個(gè)矩陣A的行向量組的秩和列向量組的秩相等，稱此數(shù)為矩陣A的秩，記作r(A)。于是r(A)=0 A=0。如果A是mn矩陣，則r(A)Minm,n。當(dāng)r(A)=m時(shí)，稱A為行滿秩的；當(dāng)r(A)=n時(shí)，稱A為列滿秩的。對(duì)于n階矩陣A，則行滿秩和列滿秩是一樣的，此時(shí)就稱A滿秩。于是：命題：任何滿秩矩陣都可以用初等變換化為單位陣。命題：任何滿秩矩陣都可以表示成一組同階初等矩陣的乘積。因此n階矩陣

29、A滿秩有以下性質(zhì)：n階矩陣A滿秩r(A)=n|A|0A可逆與單位矩陣等價(jià)。矩陣的秩還可以用它的非0子式來看：A的r階子式:任取 A的r行和r列，在它們的交叉位置上的元素所構(gòu)成的行列式，如果它的值不為0，就稱為非0子式。關(guān)于矩陣秩的描述：，中有階子式不為0，階子式全部為0；（兩句話），中有階子式全部為0。，中有階子式不為0。(2) 計(jì)算命題 初等變換保持矩陣的秩不變. 階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù). 矩陣秩的計(jì)算:用初等變換將其化為階梯形矩陣，則此階梯形矩陣的非零行數(shù)就是原矩陣的秩。 (3) 在矩陣運(yùn)算中，矩陣的秩有性質(zhì)： A是mn矩陣，B是ns矩陣， 若A列滿秩，則，若B行滿秩，若、可逆

30、，則；（可逆矩陣不影響矩陣的秩） A是n階矩陣，證明：解：設(shè)A為矩陣，為維列向量。若滿足，則有，則。若滿足，則有即和同解，因此證明： 解：設(shè)，即矩陣方程有解，則滿足又因?yàn)樵O(shè)，所以：證明：解：設(shè)A、B為n階矩陣，因?yàn)樽C明： 解：設(shè)矩陣B的列向量，則由分塊矩陣的乘法可知，B的列向量是齊次方程組的解，所含解向量的個(gè)數(shù)為，所以 證明：解：因?yàn)榭赡?，所以是方陣，同理A也是方陣。設(shè)都是n階方陣， 又因?yàn)椋眯再|(zhì)：所以：所以，同理證明：若A列滿秩，則，若B行滿秩，證明：A是n階矩陣， 解：若若至少存在一個(gè)n-1階子式不為0，至少存在一個(gè)元素的n-1階子式不為0，所以若A的所有n-1階子式全為0，所以 求解下列問題：1. 已知A是mn矩陣，B是ns矩陣,=n，AB=0，證明A=0.解：因?yàn)?，又因?yàn)樗裕阎狝是mn矩陣，所以，所以，所以A