2020-2021中考數(shù)學(xué)壓軸題之圓的綜合(中考題型整理,突破提升)含答案

1、2020-2021中考數(shù)學(xué)壓軸題之圓的綜合（中考題型整理，突破提升）含答案一、圓的綜合1 .如圖，在。0中，AB為直徑，OCa AB,弦CD與OB交于點F,在AB的延長線上有點E,且 EF=ED.（1）求證：DE是。的切線；（2）若tanA=l,探究線段AB和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；2（3）在（2）的條件下，若 OF=1,求圓O的半徑.【答案】（1）答案見解析；（2） AB=3BE; （3） 3.【解析】試題分析：（1）先判斷出ZOCF+ZCFO=90°,再判斷出ZOCF=ZODF,即可得出結(jié)論；（2）先判斷出/BDE=/A,進(jìn)而得出 EBgEDA,得出AE=2DE, DE=2B

2、E,即可得出結(jié) 論；(3)設(shè)BE=x,則DE=EF=2x, AB=3x,半徑OD=3x,進(jìn)而得出OE=1+2x,最后用勾股定理 2即可得出結(jié)論.試題解析：(1)證明：連結(jié) OD,如圖.-. EF=ED,Z EFD=Z EDF. / Z EFD=Z CFO, / CFO/EDF. -.OCX OF,ZOCF+Z CFO=90 ： / OC=OD,/ OCF=/ODF, . / ODC+/EDF=90 ；即 / ODE=90 ；，OD，DE. .點 D 在。O 上，. . DE是。的切線;(2)線段AB> BE之間的數(shù)量關(guān)系為： AB=3BE.證明如下：. AB 為。O直徑，/ADB=90；

3、Z ADO=Z BDE. / OA=OD, ，/ADO=/A,DEBEBD . / BDE=/A,而 / BED=/DEA,.EBgEDA,./ RtAABDAE DE AD中,tanA=BDAD 2.AE=2DE, DE=2BE,DEBE 1 - = 一AEDE 2AE=4BE,AB=3BE;2+ (2x) 2= (1+2x)c2. 一2, x=(舍)或 x=2,9(3)設(shè) BE=x,貝 U DE=EF=2x, AB=3x,半徑 OD=3x. OF=1,OE=1+2x.2在Rt ODE中，由勾股定理可得：（3x）2 圓O的半徑為3.點睛：本題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角

4、形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，判斷出EB2 4EDA是解答本題的關(guān)鍵.2.如圖，A、B兩點的坐標(biāo)分別為(0, 6) , (0, 3),點P為x軸正半軸上一動點，過點A作AP的垂線，過點B作BP的垂線，兩垂線交于點 Q,連接PQ, M為線段PQ的中與八、(1)求證：A、B、P、Q四點在以M為圓心的同一個圓上；(2)當(dāng)。M與x軸相切時，求點 Q的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點P從點(2, 0)運動到點(3, 0)時，請直接寫出線段 QM掃過圖形的面積. AQXAP, BQ，BP4APQ和4BPQ都是直角三角形， M是斜邊PQ的中點,-.AM = BM = PM=QM= 1 PQ,2A

5、、B、P、Q四點在以M為圓心的同一個圓上。(2)解：作MG，y軸于G, MC，x軸于C,. AM = BM .G 是 AB 的中點，由 A (0, 6) , B (0, 3)可得 MC= OG= 4.5，在點P運動的過程中，點 M到x軸的距離始終為4.5則點Q到x軸的距離始終為 9,即點Q的縱坐標(biāo)始終為 9,當(dāng)。M與x軸相切時則 PQx軸，作QHy軸于H,HB= 9-3=6,設(shè) OP= HQ= x由BO'QHB,彳導(dǎo) x2=3XQ 8, x= 3 貶 點Q的坐標(biāo)為(3 J2 , 9)(3)解：由相似可得：當(dāng)點 P在Pi (2, 0)時，Qi (4, 9)則Mi (3, 4.5) 當(dāng)點

6、P在 P2 (3, 0)時，Q2 (6, 9),則 M2 (4.5, 4.5) .MiM2= 9 -3= - , QiQ2=6-4= 222線段QM掃過的圖形為梯形 M1M2Q2Q1其面積為：1x3 + 2) X 4.5 63.【解析】【分析】根據(jù)已知可得出三角形 APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根據(jù)這個條件結(jié)合題意直接 解答此題.【詳解】(1)解：連接 AM、BM,. AQXAP, BQ，BP4APQ和4BPQ都是直角三角形， M是斜邊PQ的中點AM = BM = PM=QM= 5 PQ, A、B、P、Q四點在以M為圓心的同一個圓上。(2)解：作 MGy軸于G, MCx軸于C,. AM

7、 = BM.G 是 AB 的中點，由 A (0, 6) , B (0, 3)可得 MC= OG= 4.5，在點P運動的過程中，點 M到x軸的距離始終為4.5則點Q到x軸的距離始終為 9,即點Q的縱坐標(biāo)始終為9,當(dāng)。M與x軸相切時則 PQx軸，作QHy軸于H,HB= 9-3=6,設(shè) OP= HQ= x由BO'QHB,彳# x2= 3X 8, x= 3.點Q的坐標(biāo)為(3 i/2, 9)(3)解：由相似可得：當(dāng)點P在Pi (2, 0)時，Qi (4, 9)則Mi (3, 4.5)當(dāng)點 P在 P2 (3, 0)時，Q2 (6, 9),則 M2 (4.5, 4.5)93 . MiM2=下 一3=

8、耳,QiQ2= 64=2線段QM掃過的圖形為梯形 MiM2Q2Qi其面積為：4x4+2)X4當(dāng)號.【點睛】本題主要考查學(xué)生根據(jù)題意能找到三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，而且考驗學(xué)生對相似三角形性質(zhì)的運用，掌握探索題目隱含條件是解決此題的關(guān)鍵3.如圖，在銳角 4ABC中，AC是最短邊.以 AC為直徑的。O,交BC于D,過O作OE/ BC,交 OD于 E,連接 AD AE、CE(1)求證：/ACE玄 DCE；(2)若/B=45, / BAE=15,求/EAO的度數(shù)；【答案】(1)證明見解析，(2) 60。； (3) 逑3【解析】【分析】(1)易證 /OEG/OCE，/OEG/ECD，從而

9、可知 Z OCE=Z ECD,即 / ACE=/DCE;(2)延長AE交BC于點G,易證ZAGC=ZB+ZBAG=60°,由于OE/ BC,所以/AEO=/AGC=60 ；所以 /EAO=/AEO=60 ;Svcoe1Svcdf2Svcdf1(3)易證CO邑由于 -CDJ所以一CDJ=，由圓周角定理可知Svcae2Svcoe3Svcae3/AEO/FDO90 ；從而可證明 CDQCEA利用三角形相似的性質(zhì)即可求出答案.【詳解】(1) OC=OE,ZOEC=Z OCE1.OE/ BC, ，/OEG/ECQ/ OCE=/ECQ 即 / ACE=/DCg(2)延長AE交BC于點G. / A

10、GC是 ABG 的外角，Z AGC=ZB+Z BAG=60 :1. OE/ BC, / AEO=Z AGC=60 :. OA=OE,/ EAO=Z AEO=60 :(3) :。是 AC中點，SVCOE SVCAESvCDFSVCOESvCDF1SVCAE3. AC是直徑，/AEO/FDO90 :. / AC曰/FCD,ACDFACEA, .|F =立，/. CF=2 CA=【點睛】本題考查了圓的綜合問題，涉及平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形中線的性 質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，需要學(xué)生靈活運用所學(xué)知識.4.定義：有一個角是其鄰角一半的圓內(nèi)接四邊形叫做圓內(nèi)倍角四邊形.(

11、1)如圖1,四邊形 ABCD內(nèi)接于OO, /DCB- /ADC=/ A,求證：四邊形 ABCD為圓內(nèi) 接倍角四邊形；(2)在(1)的條件下，。半徑為5. 若AD為直徑，且sinA=4,求BC的長;5若四邊形ABCD中有一個角為60°,且BC=CD則四邊形ABCD的面積是(3)在(1)的條件下，記 AB=a, BC=b, CD=j AD=d,求證：d2-b2=ab+cd.【答案】(1)見解析；(2)BC=6, 應(yīng)3或75； (3)見解析44【分析】(1)先判斷出ZADC=180° -2ZA.進(jìn)而判斷出/ABC=2/A,即可得出結(jié)論；(2) 先用銳角三角函數(shù)求出BD,進(jìn)而得出A

12、B,由(1)得出/ADB=/BDC,即可得出結(jié)論；分兩種情況：利用面積和差即可得出結(jié)論；(3)先得出BE=BC=b, DE=DA=b,進(jìn)而得出 CE=d - c,再判斷出EB84EDA,即可得出 結(jié)論.【詳解】(1)設(shè) / A=a,貝U / DCB=180 - a. / DCB/ ADO/A, . . / ADO/DCB / A=180 - a- a =180-2 a, ./ABO180 -ZADC=2 a =2A, 四邊形ABCD是。O內(nèi)接倍角四邊形；(2)連接BD. AD 是。的直徑，Z ABD=90 :在 RtABD 中，AD=2 X 5=10sin/A=4, . BD=8,根5據(jù)勾股定

13、理得： AB=6,設(shè) / A=a,/ ADB=90° -a,/ BDC=90° - a,/ ADB=Z BDC,BC=AB=6;四邊形ABCD是圓內(nèi)接倍角四邊形，/ BCD=120或/ BAD=30 : I、當(dāng) /BCD=120 時，如圖 3,連接 OA, OB, OC, OD.，一一，一 ，一 1, 一一一 口一 BC=CD,Z BOC=Z COD, . / OCD=/OCB=/ BCD=60 ；/ CDO=60 ； ，AD 是。O2的直徑，（為了說明 AD是直徑，點 / ADC+Z BCD=180 ；. BC/ AD, BC=CD, .1. AB=BC=CD, . .O

14、AB,abcc=3Saaob=3 X X ?=.O沒有畫在AD上)AB=CD. BOC, ACOD是全等的等邊三角形，.S四邊形n、當(dāng)/ BAD=30時，如圖4,連接OA, OB, OC, OD.四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形， ，/BCD=180 - Z BAD=150 : BC=CD, / BOC=Z COD,/ BCO=Z DCO=- / BCD=75 ； ：. / BOC=Z DOC=30 ；2/ OBA=45Z AOB=90 :連接 AC,，/ DAC=1 / BAD=15 :2/ DAC=Z ADO, . OD / AC,SoaefSaocd. / ADO=Z OAB- / BAD=

15、15 ； 過點C作CH，OB于H.在 RtOCH中，CH=1oC=5 ,22S 四邊形 abcd=Sacod+S boc+Saob一Saaod=Sxboc+Sxaob= X 5+- X 5X 5= 2 224故答案為：75 ,3或75 ; 四邊形ABCD是。的內(nèi)接四邊形， ，/BC2/ A=1/ABC.2 / ABO/BC曰/ A,Z E=ZBCE=Z A, . . BE=BC=b, DE=DA=b, . CE=d c. /BCE=/A,/E=/E,.-.AEBCAEDA, - -CE-BC-,-Cb, - -d2-AEAD a bd本題是圓的綜合題，主要考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，新定義，相

16、似三角形的判定和性 質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.5.如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于。O,對角線AC為。的直徑，過點C作AC的垂線交AD 的延長線于點 E,點F為CE的中點，連接 DB, DF.(1)求證：DF是。的切線；(2)若 DB平分 ZADC, AB=5丘 AD : DE=4 ： 1,求 DE 的長.【答案】(1)見解析；(2)、:5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性質(zhì)得出DF=CF=EF,再求出Z FDO=Z FCO=90°,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它們的長，再利用 4ADCAACE得出AC2=AD?AE,進(jìn) 而得出

17、答案.詳解：(1)連接OD.OD=CD, . . / ODO/OCD. AC為。的直徑， / ADO/ EDC=90 °.點 F 為 CE的中點，DF=CF=EF, . . / FDO/FCD, . / FDO=/FCO.又AC，CE,ZFDO=Z FCO=90°, . DF是。的切線.(2) .AC 為。的直徑，Z ADC=ZABC=90°.DB 平分/ADC,Z ADB=Z CDB, .Ab = ?C，BC=AB=5 我.在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=100.又AC，CE,ZACE=90°,AC AE ADC ACE 1=，AC2=AD

18、?AE.AD AC設(shè) DE為 x,由 AD: DE=4: 1,，AD=4x, AE=5x, .-100=4x?5x,，x=V5, .DE=V5.wE F C點睛：本題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出ac2=ad?ae是解題的關(guān)鍵.6.如圖1,e O的直徑AB 12, P是弦BC上一動點（與點B, C不重合 ）, ABC 30°,過點P作PD OP交eO于點D.1如圖2,當(dāng)PD/AB時，求PD的長;12如圖3,當(dāng)DC AC時，延長AB至點E,使BE -AB ,連接DE.求證：DE是e O的切線；求PC的長.國1國2圖3【答案】（1） 2*；（2）見解析，373

19、3. 【解析】分析：1根據(jù)題意首先得出半徑長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出OP, PD的長；2首先得出VOBD是等邊三角形，進(jìn)而得出ODE OFB 900,求出答案即可；首先求出CF的長，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得出PF的長，進(jìn)而得出答案.QOP PD, PD/AB,POB 900,Qe O的直徑AB 12 ,OB OD 6,在 RtVPOB 中，ABC 30°,OP OB tan30o 6 2百，3在 RtVPOD 中，PD ,OD2 OP2 162 (2拘2 2近；2證明：如圖3,連接OD,交CB于點F,連接BD,q De Ac ,DBC ABC 300,ABD 600,QOB O

20、D ,VOBD是等邊三角形，OD FB,-1Q BE AB , 2OB BE ,BF /ED ,ODE OFB 900,DE是e O的切線；由知，OD BC ,CF FB OB cos30o 6 立 3 .3，2在 RtVPOD 中，OF DF ,_1 _ _PF -DO 3（直角三角形斜邊上的中線，等于斜邊的一半），2CP CF PF 3 志 3.點睛：此題主要考查了圓的綜合以及直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確得出VOBD是等邊三角形是解題關(guān)鍵.7.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧Ab .1用直尺和圓規(guī)作出 Ab所在圓的圓心。；（要求保留作圖痕跡，不寫作法 ）2若Ab的中點C到弦AB

21、的距離為20m, AB 80m ,求AB所在圓的半徑.【答案】（1）見解析；（2） 50m【解析】分析：1連結(jié)AC、BC,分另IJ作AC和BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點為點O,如圖1;2連接OA, OC, OC交AB于D,如圖2,根據(jù)垂徑定理的推論，由C為AB的中點得一 一1 .到 OC AB , AD BD -AB 40，則 CD 20,設(shè) e O 的半徑為 r,在 RtVOAD2222中利用勾股定理得到r (r 20)40 ,然后解方程即可.詳解：1如圖1,點O為所求；2連接OA, OC, OC交AB于D,如圖2,QC為AB的中點，OC AB ,1AD BD - AB 40,2設(shè)e

22、O的半徑為r,則OA r, OD OD CD r 20,在 RtVOAD 中，QOA2 OD2 AD2,2一 2一 2 .一r (r 20)40 ,解得 r 50,即AB所在圓的半徑是50m.點睛：本題考查了垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，在利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題時，要善" 把實際問題與數(shù)學(xué)中的理論知識聯(lián)系起來，能將生活中的問題抽象為數(shù)學(xué)問題.DE, CD, BE, CE,8.如圖，4ABC是。O的內(nèi)接三角形，點 D, E在。O上，連接AE, / EAC+/ BAE=180 , o<Ab Cd .(1)判斷BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)求證：ABEDCE;(3)若/E

23、AC=60, BC=8,求。的半徑.【答案】(1) BE=CE理由見解析；(2)證明見解析；(3) 運.3【解析】貝U / BCE=Z EAC,所/ OBH=30 ,設(shè)分析：(1)由A、B、C、E四點共圓的性質(zhì)得：/BCE+Z BAE=180,以？E= CE，則弦相等；(2)根據(jù)SSS證明AB®4DCE；(3)作BC和BE兩弦的弦心距，證明 RtA GB8 RtAHBO (HL),貝I OH=x,則OB=2x,根據(jù)勾股定理列方程求出 x的值，可得半徑的長. 本題解析：(1)解：BE=CE理由：/EAC+Z BAE=180, / BCE+Z BAE=180, / BCE玄 EAC,?E

24、= CE， .BE=CE(2)證明： , %b Cd , . AB=CD1 ?e=Ce, Ae Ed，- AE=E由(1)得：BE=CE在 ABE和ADCE中，AE DE. AB CDBE CE2 .ABEADCE (SSS ；(3)解：如圖，二.過 O 作 OGL BE 于 G, OHXBCT H,111BH= BC= X 8=4 BG=-BE,2223 BE=CE / EBC=Z EAC=60 BEC 是等邊三角形,BE=BCBH=BG,.OB=OB,RtAGBO RtAHBO (HL),/ OBH=/ GBO=1 / EBC=30,°2設(shè) OH=x,貝U OB=2x,由勾股定理

25、得：（2x） 2=x2+42, x= 433.OB=2x=83 , 。的半徑為 81 .33點睛：本題是圓的綜合題，考查了四點共圓的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、勾股定 理、直角三角形30。的性質(zhì)，難度適中，第一問還可以利用三角形全等得出對應(yīng)邊相等的 結(jié)論；第三問作輔助線，利用勾股定理列方程是關(guān)鍵9.已知， ABC內(nèi)接于eO,點P是弧AB的中點，連接PA、PB ;(1)如圖 1,若 AC BC,求證：AB PC;(2)如圖2,若PA平分 CPM ,求證：AB AC ;24(3)在(2)的條件下，若sin BPC ，AC 8,求AP的值.25圖1圖2【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)2

26、J5.【解析】【分析】(1)由點P是弧AB的中點，可得出 AP=BP通過證明 APC BPC , ACE BCE可得 出 AECBEC進(jìn)而證明AB PC.(2)由PA是/ CPM的角平分線，得到 / MPA=Z APC,等量代換得到/ ABC=Z ACB,根據(jù)等腰三 角形的判定定理即可證得 AB=AC.過A點作AD)± BC有三線合一可知 AD平分BC,點O在AD上，連結(jié) OB,則/ BOD=/ BAC,根據(jù)圓周角定理可知 / BOD=Z BAC, / BPC=Z BAC,由/ BOD=Z BPC可得_ BD， sin BOD sin BPC ，設(shè)OB=25x ,根據(jù)勾股定理可算出

27、OB、BD> OD、AD的OB長，再次利用勾股定理即可求得AP的值.【詳解】解：（1）二.點P是弧AB的中點，如圖1,.AP=BP,在 APC和4BPC中AP BPAC BC ,PC PC2 .APCABPC (SSS , / ACP= / BCP,在 ACE和 BCE中AC BC ACP BCP,CE CE3 .ACEABCE (SAS ,/ AEC= / BEG4 / AEG/BEC= 180 ；/ AEC= 90 ；ABXPC;(2) PA平分/CPM,/ MPA= ZAPC, / APO / BPG/ ACB= 180 ； / MPA+Z APC+Z BPC= 180 :/ AC

28、B= / MPA= / APC, / APC= / ABC,/ ABC= / ACB, .AB= AC;(3)過A點作ADXBCX BC于D,連結(jié)OP交AB于E,如圖2,卸ffi2由（2）得出AB= AC, AD 平分 BC, 點O在AD上，連結(jié) OB,貝U / BOD= / BAC, / BPG= / BAC,24 BDsin BOD sin BPC=，25 OB設(shè) OB= 25x,貝U BD= 24x, OD= JOB"_B5T " 7x,在 RtVABD 中，AD= 25x+7x=32x, BD= 24x, AB= 7adBD 二 40x，,.AG= 8,.-.AB=

29、40x=8,解得：x=0.2,.OB=5, BD= 4.8, OD=1.4, AD= 6.4,丁點p是AB的中點， OP垂直平分AB,1 .AE=AB= 4, /AEP=/AEO= 90,2在 Rt AEO 中，0E= /AO1 AE7 3，PE= OP- OE= 5- 3 = 2,在 Rt APE 中，AP= Jpe2 AE2 &2 42 275 【點睛】本題是一道有關(guān)圓的綜合題，考查了圓周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三線合一，是初中數(shù)學(xué)的重點和難點，一般以壓軸題形出現(xiàn)，難度較大 10.定義：數(shù)學(xué)活動課上，李老師給出如下定義：如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一 半

30、，那么稱三角形為 智慧三角形” .理解：如圖1,已知是。d上兩點，請在圓上找出滿足條件的點C，使工甌 為智慧三角形”（畫出點C的位置，保留作圖痕跡）；如圖2 ,在正方形ACD中，E是君C的中點，F(xiàn)是GD上一點，且CF = -CD，試 4判斷是否為 智慧三角形”，并說明理由；運用：如圖3 ,在平面直角坐標(biāo)系xQ中，OC的半徑為1 ,點2是直線y = 3上的一點，若 在。O上存在一點P ,使得3。尸2為智慧三角形”，當(dāng)其面積取得最小值時，直接寫出此 時點P的坐標(biāo).【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3） P的坐標(biāo)（ 2巨，-）,（2叵，3333）【解析】試題分析：（1）連結(jié)AO并且延長交圓于

31、 C1,連結(jié)BO并且延長交圓于 C2,即可求解； （2）設(shè)正方形的邊長為 4a,表示出DF=CF以及EC BE的長，然后根據(jù)勾股定理列式表示 出AF2、EF2、AE2,再根據(jù)勾股定理逆定理判定 4AEF是直角三角形，由直角三角形的性 質(zhì)可得4AEF為智慧三角形”；（3）根據(jù) 智慧三角形”的定義可得4OPQ為直角三角形, 根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，由垂線段最短可得斜邊最短為3,根據(jù)勾股定理可求另一條直角邊，再根據(jù)三角形面積可求斜邊的高，即點 P的橫坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理可求點P的縱坐標(biāo)，從而求解.試題解析：（1）如圖1所示：(2) 4AEF是否為

32、智慧三角形理由如下：設(shè)正方形的邊長為4a, .E是DC的中點， . DE=CE=2a,. BC: FC=4: 1,FC=a, BF=4a- a=3a,在 RtADE中，AE2= (4a) 2+ (2a) 2=20a2,在 RtECF中,E盧=(2a) 2+a2=5a2,在 RtMBF 中,AF2= (4a) 2+ (3a) 2=25a2,，AE2+E*=AF2, .AEF是直角三角形， 斜邊AF上的中線等于 AF的一半， .AEF為 智慧三角形”；(3)如圖3所示：由智慧三角形”的定義可得4OPQ為直角三角形，根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時，另一條直角邊最短，則面積取得最小值,由垂線

33、段最短可得斜邊最短為3,由勾股定理可得 pq=6才二人叵，PM=1X26 + 3=-, 3由勾股定理可求得 OM=;_ -%;一2點故點P的坐標(biāo)(-31班(33考點：圓的綜合題.11.如圖，。的直徑AB=8, C為圓周上一點，AC= 4,過點C作。的切線1,過點B 作1的垂線BD,垂足為D, BD與。交于點E.(1)求/ AEC的度數(shù)；(2)求證：四邊形 OBEC是菱形.【答案】(1) 30。； (2)詳見解析.【解析】【分析】(1)易得4AOC是等邊三角形，則 ZAOC= 60。，根據(jù)圓周角定理得到 Z AEC= 30。；OB(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得到 OC，1,則有OC BD,再根據(jù)直徑所對

34、的圓周角為直角得到 /AEB= 90 1則/ EAB= 30 ;可證得AB/ CE,得到四邊形 OBEC為平行四邊形，再由 = OC,即可判斷四邊形 OBEC是菱形.【詳解】(1)解：在 AOC中，AC= 4,-，AO=OC= 4,.AOC是等邊三角形，/ AOC= 60 ；/ AEC= 30 -(2)證明： OCX 1, BD)± 1.OC/ BD./ ABD= / AOC= 60 :.AB為。的直徑，/ AEB= 90 ； AEB為直角三角形，/ EAB= 30 :/ EAB= / AEC.CE/ OB,又 CO/ EB四邊形OBEC為平行四邊形.又 OB= OC= 4.四邊形O

35、BEC是菱形.【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑.也考查了圓周角定理及其推論以 及菱形的判定方法.12.如圖，4ABC中，AC=BC= 10, cosC= 3 ,點P是AC邊上一動點(不與點 A、C重合)，5D,過點D作DE，CB于點E.以PA長為半徑的OP與邊AB的另一個交點為 (1)當(dāng)。P與邊BC相切時，求OP的半徑.(2)連接BP交DE于點F,設(shè)AP的長為x 接寫出x的取值范圍.PF的長為V,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直O(jiān)Q與。P相交于AC邊上的點 G時，求相交(3)在(2)的條件下，當(dāng)以 PE長為直徑的 所得的公共弦的長.【解析】【分析】備用圖5-Vx28x 80

36、 ; (3) 50 1075 .3x 20(1)設(shè)。P與邊BC相切的切點為H,圓的半徑為3 一R,連接 HP,貝U HP± BC, cosC=-,則5sinC= 4 , sinC= HP 5CP4 ,即可求解;5(2)首先證明PD/ BE,則受PDBFPF即:2 x5xJx2 8x 80 y ,即可求解;(3)證明四邊形 PDBE為平行四邊形，則AG=EP BD,即：AB=DB+AD= AG+AD=4，5,即可求解.【詳解】(1)設(shè)。P與邊BC相切的切點為 H,圓的半徑為 R,連接 HP,則 HP± BC, cosC- 3 ,則 sinC=-,55HPsinC=R 4=4,

37、解得:CP 10 R 5R- 40R9(2)在 ABC 中，AC= BC= 10,- 3cosC= 一5設(shè) AP=PD= x, /A=/ABC= 3,過點B作BHI± AC,同理可得：CH= 6, HA=4, AB= 4J5,則：tan/CAB= 2,BP= 82+( x4)2 = VX2_8X80?DA= 25x,貝U BD= 4 75 - "5x, 55如下圖所示，PA= PD,/ PAD= / CAB= / CBA= 3,1tan的2,則cos的 5EB= BDcos 即(4 痣-2.5 、一 x)5.PD/ BE,EBPDBFPF，即:vX28x80 y ,整理得:

38、5xy3x 204x8x80 ;(3)以EP為直徑作圓Q如下圖所示,即兩個圓的半徑相等，則兩圓另外一個交點為D,GD為相交所得的公共弦, 點Q是弧GD的中點, DGXEP,.AG是圓P的直徑，/ GDA= 90 °, .EP/ BD,由（2）知，PD/ BC,，四邊形PDBE為平行四邊形, .AG= E仁 BD,AB= DB+AD= AG+AD= 4 匹,設(shè)圓的半徑為r,在4ADG中,AD= 2rcos 與 75 , DG= 5, AG=2r,2r205=+2r= 4。5,解得：2r=后1,皿 4r則：DG= 50-10 1/5 ,相交所得的公共弦的長為 50-10 75.【點睛】本

39、題考查的是圓知識的綜合運用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知識，其中（3）,要關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫圖，此題用大量的解直角三角形的內(nèi)容，綜合難度很大.13.我們知道，如圖1, AB是OO的弦，點F是AFB的中點，過點F作EF± AB于點E, 易得點E是AB的中點，即AE= EB. OO上一點C （AC> BC）,則折線 ACB稱為。的一 條折弦”.（1）當(dāng)點C在弦AB的上方時（如圖2）,過點F作EF±AC于點E,求證：點E是 折弦 ACB'的中點，即 AE= EC+CB（2）當(dāng)點C在弦AB的下方時（如圖3）,其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立說明理由；

40、若不成立，那么AE、EC CB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出，不必證明.(3)如圖4,已知 RtAABC中，Z C= 90°, Z BAC= 30°, RtABC的外接圓。的半徑為2,過。上一點P作PH，AC于點H,交AB于點M,當(dāng)Z PAB= 45°時，求AH的長.C圖3【答案】(1)見解析；(2)結(jié)論AE= EC+C環(huán)成立，新結(jié)論為：C曰BC+AE見解析；(3) AH 的長為 J3 - 1 或 J3 +1 .【解析】【分析】(1)在AC上截取AG= BC,連接FA, FG, FB, FC,證明FA8 4FBC,根據(jù)全等三角形 的性質(zhì)得到FG= FC,根據(jù)等腰三角

41、形的性質(zhì)得到EG= EC,即可證明.(2)在CA上截取CG= CB,連接FA, FB, FC,證明FC84FCB,根據(jù)全等三角形的性 質(zhì)得到FG= FB,得到FA= FG,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 AE= GE,即可證明.(3)分點P在弦AB上方和點P在弦AB下方兩種情況進(jìn)行討論.【詳解】解：(1)如圖2,在 AC 上截取 AG= BC,連接 FA, FG, FB, FC, 丁點F是AFB的中點，F(xiàn)A= FB，在 FAG和4FBC中，F(xiàn)A FBFAG FBCAG BC, .FAGAFBC (SAS ,FG= FC,.FEL AC,EG= EC,.AE= AG+EG= BC+CE(2)結(jié)論 AE

42、= EC+CM成立，新結(jié)論為： CE= BC+AE理由：如圖3,在CA上截取CG= CB,連接FA, FB, FC, 丁點f是Afb的中點， FA= FB, ?A ?B ,/ FCG= / FCBCG CB在 FCG 和 FCB 中，F(xiàn)CG FCBFC FC,.-.FCCAFCB (SAS ,FG= FB,FA= FG,FE± AC,.AE=GE,.CE= CG+GE= BC+AE(3)在 RtABC 中，AB=2OA=4, /BAC=30°,BC 1 AB 2, AC 2、3,2當(dāng)點P在弦AB上方時，如圖4,在CA上截取CG= CB,連接PA PB, PG, / ACB=

43、 90 ； .AB為OO的直徑，/ APB= 90 ； / PAB= 45 ；/ PBA= 45 = / PAB,PA= PB, / PCG= / PCB,CG CB 在 APCG 和 APCB 中，PCG PCBPC PC,.,.PCGAPCB (SAS ,PG= PB,PA= PG, .PHXAC,.AH=GH,AC= AH+GH+CG= 2AH+BC,23 2AH 2,AH 6 1,當(dāng)點P在弦AB下方時，如圖5, 在 AC 上截取 AG= BC,連接 PA, PB, PC, PG / ACB= 90 ； .AB為。的直徑，/ APB= 90 ； / PAB= 45 ；/ PBA= 45

44、= / PAB,PA= PB,在 PAG和PBC中，AG BCPAG PBCPA PB, .PAGAPBC (SA。,PG= PC, .PHXAC, .CH=GH,AC= AG+GH+CH= BC+2CH2雜 2 2CH , CH .3 1,.AH AC CH 2,33 1,3 1,即：當(dāng)/PAB= 45。時，AH的長為J3 1或J3 1圖5【點睛】考查弧，弦的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性比較強(qiáng)，注意分類討論思想方法在解題中的應(yīng)用14.在 ABC中，ACB 900, BAC 60°, AC=2, P 為 ABC所在平面內(nèi)一點，分別連 PA,PB ,P

45、C(1)如圖1,已知， APB BPC APC ,以A為旋轉(zhuǎn)中心，將 APB順時針旋轉(zhuǎn) 60度，得到 AMN . 請畫出圖形，并求證： C、P、M、N四點在同一條直線上；求PA+PB+P必值.(2)如圖2,如果點P滿足 BPC 90°,設(shè)Q為AB邊中點，求PQ的取值范圍B【答案】(1)詳見解析；2萬；(2)由1 PQ 百 1且PQ 2;【解析】【分析】(1) 欲證明C、P、M、N四點在同一條直線上，只要證明/APC+/ APM=180 ,ZAMN+Z AMP=180 即可； 只要證明PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN在RtA CBN中，利用勾股定理求出 NC即可； (2)如圖2

46、中，由/BPC=90,推出點P在以BC為直徑的圓上(P不與B C重合)，設(shè),3+1, PQ2,由此即可解決問題；【詳解】(1)證明：如圖，BC的中點為O,作直線OQ交。與P和P',可得PQ的最小值為 J3-1, PQ的最大值為立卻 . APBAAMN, APM是等邊三角形，/ APM=Z APM=60 ； / APB=Z BPC=Z APC=120 , °/ APB=Z BPC=Z APC=Z AMN=120 ； ./APC+/ APM=180 ； ZAMN+Z AMP=180 ； C、P、M、N四點在同一條直線上；解：連接BN，易得 MBN是等邊三角形/ ABN=60 ；

47、Z ABC=30 ,°/ NBC=90 ；.AC=2,.AB=BN=4, BC=2、, 3,. PA=PM, PB=MN, PA+PB+PC=PC+PM+MN=C N在 RtA CBN 中，CN= Jbc2_bn 22后，PA+PB+PC=2 7 .(2)如圖2中， / BPC=90,°點P在以BC為直徑的圓上(P不與B、C重合)，設(shè)BC的中點為O,作直線OQ交。與P和P',可得PQ的最小值為73-1, PQ的最大值為J3+1, PC2,V3-1 & PQW3+1 且 pq2.PQ的取值范圍是 3 1 PQ .3 1且PQ 2【點睛】本題考查幾何變換綜合題、等邊三角形的性質(zhì)和判定、全