【教育資料】第一章1.2.2學(xué)習(xí)專用

1、教育資源1.2.2充要條件目標(biāo)定位 1.理解充要條件的含義.2.通過具體命題，掌握判斷充要條件的方法.3.會證明具體問題中的必要性和充分性.自主預(yù)習(xí)充要條件一般地，如果既有p= q,又有qn p就記作pu q|此時,我們說,p是q的充分必要條件，簡稱充要條件.顯然，如果p是q的充要條件, 那么q也是p的充要條件|概括地說，如果pu q,那么p與q互為充要條件.即時自測1 .思考題(1)如何證明充要條件？提示：分清充分性和必要性.p”是q的充要條件”與p的充要條件是q”有什么區(qū)別？提示：這兩種說法的充分性與必要性不同，p是q的充要條件”的充分性是p? q,必要性是q?p,而p的充要條件是q”恰恰

2、相反.2 .設(shè)A, B是兩個集合，則 AnB=A ”是A?B"E)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析 由AAB=A可知，A?B;反過來A?B,則AAB = A,故選C.答案 C3 . x，1”是 “10期+2)<0"的()2A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件解析 由 x> 1? x+ 2>3? logl(x+2)<0, 10gl(x+ 2)<0? x+ 2>1?x> 1,故x> 1”是fOg1(x+ 2)<0”成立的充分不必要條件.因此選

3、B.2答案 B4 .a'=2”是 直線ax+ 2y = 0平行于直線x+ y= 1”的條件.解析 若a=2,則直線x+ y= 0與x+y= 1平行，反過來也成立.答案充要舊堂互現(xiàn)互動交流區(qū)類型一 充要條件的判斷【例1】 下列各題中，哪些p是q的充要條件？(1)p： b=0, q：函數(shù) f(x)= ax2+bx+ c是偶函數(shù)；(2)p： x>0, y>0, q： xy>0;(3)p： a>b, q： a+ c> b+ c；(4)p： x>5, q： x> 10;(5)p： a>b, q： a2>b2解命題(1)和(3)中，p= q,且

4、q= p,即pu q,故p是q的充要條件；命題(2)中，p/ q,但qn p,故p不是q的充要條件；命題(4)中，p力q,但q= p,故p不是q的充要條件；命題(5)中，p/ q,且q亍p,故p不是q的充要條件|規(guī)律方法 判斷p是q的什么條件，最常用的方法是定義法，另外也可以使用等價命題法或集合法.【訓(xùn)練1】(1)a, b中至少有一個不為零的充要條件是()A.ab= 0B.ab>0C.a2+b2=0D.a2+b2>0(2)函數(shù)y=x22x a沒有零點”的充要條件是.解析(1)a2 + b2>0,則a、b不同時為零；a, b中至少有一個不為零，則a2+b2>0.(2)函數(shù)

5、沒有零點，即方程x22xa=0無實根，所以有A= 4+4a<0,解得a<1.反之，若a<-1,則A<0,方程x2 2x a=0無實根，即函數(shù)沒有零點.答案 (1)D (2)a|a<1類型二 充要條件的證明(互動探究)【例2】 求證：方程x2+(2k 1)x+ k2=0的兩個根均大于1的充要條件是k<2.思路探究探究點一證明充分性時，條件和結(jié)論分別是什么？ 提示：條件：k< 2;結(jié)論：方程x2+(2k 1)x+ k2=0的兩根均大于1.xi + x2>2 I(xi>1探究點二一在心0的條件下,卜能否推出t /若不能，該怎樣推證?xi x2&g

6、t;1x2>1提示：(mR卜>1，(xi 1) (x2 1) >0、x2>1.證明充分性：當(dāng)k<2時，A= (2k 1)2 4k2= 1 4k>0.設(shè)方程x2+(2k1)x+k2 = 0的兩個根為x1，x2.則(x1 1)(x21) 二 x1x2 (x1 + x2)+1 = k2+2k1 + 1 = k(k+2)>0.又(x1 1)+(x2 1) = (x1 + x2) 2= (2k 1) 2 = 2k 1>0,x1 1>0, x2 1>0.x1>1 , x2>1.必要性：若方程x2+(2k1)x+k2 = 0有兩個大于1

7、的根，不妨設(shè)兩個根為x1, x2,則/A= (2k1) 2-4k2>Q1【k 5，1 (x1+x2)- 2>0,1 x1x2_ (x1 + x2)+1>0.4 (x1 一 1) 十 ( x2 1) >0, 、(x1 1) (x2 1) >0即彳(2k 1) -2>0,lk2+ (2k 1) + 1>0,解得kv 2.綜上可知，方程x2+(2k1)x+k2=0有兩個大于1的根的充要條件為k<2.規(guī)律方法一般地，證明p成立的充要條件為q”時，在證充分性時應(yīng)以q為巴 知條件"，p_是該步中要證明的 結(jié)論”，即q?p；證明必要性時則是以p為巴知

8、 條件”，q為該步中要證明的 結(jié)論”，即p?q.【訓(xùn)練2】 求關(guān)于x的方程ax2+x+ 1 = 0至少有一個負(fù)實根的充要條件.解當(dāng)a = 0時，解得x= 1,滿足條件；(2)當(dāng)aw0時，顯然方程沒有零根，若方程有兩異號實根，則 a<0;若方程有兩個負(fù)的實根，a>0,一 一，一1則必須滿足1<0?0<aw： A= 1-4a>0,、 一、一 ，一，、，1綜上，若方程至少有一個負(fù)的實根，則 a04.一、，.1反之，若a<4,則方程至少有一個負(fù)的實根.因此，關(guān)于x的方程ax2+x+1=0至少有一個負(fù)實根的充要條件是 a<4.課堂小結(jié)1 .充要條件的判斷有三種方

9、法：定義法、等價命題法、集合法 .2 .充要條件的證明與探求(1)充要條件的證明分充分性和必要性的證明.在證明時要注意兩種敘述方式的區(qū) 別；p是q的充要條件，則由p?q證的是充分性，由q?p證的是必要性；p的充要條件是q,則p?q證的是必要性，由q?p證的是充分性.(2)探求充要條件，可先求出必要條件，再證充分性；如果能保證每一步的變形 轉(zhuǎn)化過程都可逆，也可以直接求出充要條件.1 .對于非零向量a, b, a+b=?！笔莂/b”E )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析 當(dāng)a+b= 0時，得a= b,所以a/ b,但若a / b,不一定有a+ b=0.答

10、案 A2 .函數(shù)f(x) = x2+mx+ 1的圖象關(guān)于直線x= 1對稱的充要條件是()A.m= 2B.m=2C.m= 1D.m= 1解析 當(dāng)m= 2時，f(x) = x2 2x+ 1,其圖象關(guān)于直線x=1對稱，反之也成立，所以f(x) = x2+ mx+ 1的圖象關(guān)于直線x= 1對稱的充要條件是 m= 2.答案 A3 .已知直線 11： x+ ay+ 6=0 和 I2: (a-2)x+3y+ 2a=0,則 l1/ 12 的充要條件是 a?解析 由 1M aXa 2) = 0 得 a = 3 或一1,而a = 3時，兩條直線重合，所以a=1.答案 14 .證明：a, b, c成等差數(shù)列的充要條

11、件是 a+c= 2b.證明 充分性：a+ c= 2b? b a= c- b? a, b, c成等差數(shù)列；必要性：a, b, c成等差數(shù)列？ b a = cb? a+c= 2b.基礎(chǔ)過關(guān)1. x； y均為奇數(shù)”是x+y為偶數(shù)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析 當(dāng) x， y 均為奇數(shù)時，一定可以得到 x y 為偶數(shù)；但當(dāng)x y 為偶數(shù)時，不一定必有x， y 均為奇數(shù)，也可能x答案 A2.設(shè)an是等比數(shù)列，則a1<a2<a3”是A. 充分而不必要條件C.充分必要條件解析an為等比數(shù)列，an= a qy 均為偶數(shù) .數(shù)列 an 是遞增數(shù)列”

12、的()B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件a1<a2<a3， 得 a1<a1q<a1q2， 即 a1>0， q>1教育資源或a1<0, 0<q<1,則數(shù)列an為遞增數(shù)列.反之也成立.答案 C13.設(shè) xC R,則艾>2 是 X2 + x 1>0 的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件211 -2斛析 因為x|2x+x1 >0 = x|x>2，或 x< 1,所以xX>/ - x|2x +x 1>0,故選 A.答案 A4 .設(shè)a, b為向量，則”|

13、a =蚓時是“a/b”的條件.解析 由數(shù)量積的定義可得cos仁土，所以a / b.答案充分必要5 .設(shè)nC N*, 一元二次方程x2-4x+ n= 0有整數(shù)根的充要條件是n =.解析 已知萬程有根，由判別式 A= 16 4n>0,解得n<4,又nCN ,逐個分 析，當(dāng)n=1, 2時，方程沒有整數(shù)根；而當(dāng)n=3時，方程有整數(shù)根1, 3;當(dāng)n =4時，方程有整數(shù)根是2.答案 3或46 .求不等式ax2 + 2x+ 1>0何成立的充要條件.解 當(dāng)a=0時，2x+ 1>0不包成立.2a>0當(dāng) awO時,ax+2x+ 1>0 恒成立？ ，八？ a>1.44a&l

14、t;0所以不等式ax2 + 2x+ 1>0包成立的充要條件是a>1.7 .已知關(guān)于x的方程x2mx+ 2m3=0,求使方程有兩個大于1的實根的充要條件.2Q解 設(shè)方程x2mx+2m 3 = 0的兩根分別為x1，x2 ,由題意知：x1>1,x2>1心q心q? (x11) + (x21) >0, ? x x1+x2>2,' (x1一1) (x21) >01x1x2 一 (x1+x2)+1>0，m24 (2m 3)m>2,? m>6.2m 3 m+ 1>0即使方程有兩個大于1的實根的充要條件為m> 6.8 .已知x, y

15、都是非零實數(shù)，且x>y,求證：的充要條件是xy>0.x y，證明 必要性：由1<1,得】二<0,即匕<0,x y' x y ， xy ，又由 x>y,彳yr y-x<0,所以 xy>0.（2）充分性：由xy>0及x>y,x y 11行為臉即停綜上所述，x<1的充要條件是xy>0.能力提升9 .在用BC中，MBC為鈍角三角形”是AB而<0"的（）B.必要不充分條件A.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析當(dāng)AABC為鈍角三角形時，角A, B, C中的任何一個都有可能是鈍角,不一定有AB

16、 AC<0;但當(dāng)ABAC<0時，A為鈍角，小BC一定是鈍角三角形.答案 B10 .設(shè)m, n為非零向量，則”存在負(fù)數(shù) 人使得m= 是“m n<0”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析 存在負(fù)數(shù)使得m=M,則mn=Mn= n|2<0,因而是充分條件，反 之mn<0,不能推出m, n方向相反，則不是必要條件.答案 A11 .下列不等式： x<1 ; 0<x<1;1<x<0;1<x<1.其中，可以為x2<1的一個充分條件的所有序號為 .解析 由于x2<1,即1&l

17、t;x<1,顯然不能使1<x<1 一定成立，滿足題答案12 .關(guān)于x的不等式|2x-3|>a的解集為R的充要條件是.解析由題意知|2x3|>a恒成立，丁 |2x3|>0,a<0.答案 a<013 .求證：一元二次方程ax2 + bx+ c= 0有一正根和一負(fù)根的充要條件是 ac<0.證明充分性：（由ac<0推證方程有一正根和一負(fù)根）= ac<0, 一元二次方程ax2+bx+ c= 0的判別式A= b2 4ac>0. .,.方程一定有兩不等實根，設(shè)為xi, x2, c則xix2=c<0, .方程的兩根異號.a即方程ax

18、2 + bx+ c= 0有一"正根和一負(fù)根.必要性：（由方程有一正根和一負(fù)根推證ac<0）,方程ax2+bx+ c=0有一正根和一負(fù)根，設(shè)為xi, x2, c則由根與系數(shù)的關(guān)系得xix2=a<0,即ac<0,綜上可知，一元二次方程ax2+bx+ c= 0有一正根和一負(fù)根的充要條件是 ac<0.探究創(chuàng)新14 .設(shè)x, yCR,求證|x+y|= |x| +|y|成立的充要條件是xy>0.證明 充分性：如果xy>0,則有xy= 0和xy>0兩種情況，當(dāng)xy= 0時，不妨設(shè)x= 0,得|x+ 必=”，|x|+|y|=|y|, 等式成立.當(dāng) xy>0,即 x>0, y>0 或 x<0, y&l