中考?jí)狠S題突破-幾何最值問(wèn)答全套匯編(將軍飲馬,造橋選址,胡不歸,阿波羅尼斯圓等)

1、中考?jí)狠S題突破：幾何最值問(wèn)題大全（將軍飲馬、造橋選址、胡不歸、阿波羅尼斯圓等）一、基本圖形最值問(wèn)題在幾何圖形中分兩大類： 定點(diǎn)到定點(diǎn) ：兩點(diǎn)之間，線段最短； 定點(diǎn)到定線 ：點(diǎn)線之間，垂線段最短由此派生： 定點(diǎn)到定點(diǎn) ：三角形兩邊之和大于第三邊； 定線到定線 ：平行線之間，垂線段最短； 定點(diǎn)到定圓 ：點(diǎn)圓之間，點(diǎn)心線截距最短（長(zhǎng)）； 定線到定圓 ：線圓之間，心垂線截距最短； 定圓到定圓 ：圓圓之間，連心線截距最短（長(zhǎng)）。舉例證明： 定點(diǎn)到定圓 ：點(diǎn)圓之間，點(diǎn)心線截距最短（長(zhǎng)）。已知 O 半徑為 r，AO=d ，P 是O 上一點(diǎn)，求 AP 的最大值和最小值。證明：由“兩點(diǎn)之間，線段最短”得AP A

2、O+PO ，AO AP+PO ，得 d-rAP d+r ，AP 最小時(shí)點(diǎn) P在B處，最大時(shí)點(diǎn) P在 C處。即過(guò)圓心和定 點(diǎn)的直線截得的線段 AB 、AC 分別最小、最大值。 （可用“三角形兩邊之和 大于第三邊”，其實(shí)質(zhì)也是由“兩點(diǎn)之間，線段最短”推得）。 上面幾種是解決相關(guān)問(wèn)題的基本圖形，所有的幾何最值問(wèn)題都是轉(zhuǎn)化成上 述基本圖形解決的。二、考試中出現(xiàn)的問(wèn)題都是在基本圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式，如圓與線這些 圖形不是直接給出，而是以符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)的形式確定的；再如過(guò)定 點(diǎn)的直線與動(dòng)點(diǎn)所在路徑不相交而需要進(jìn)行變換的。類型分三種情況：（ 1 ）直接包含基本圖形；（ 2 ）動(dòng)點(diǎn)路徑待確定；（ 3 ）動(dòng)

3、線（定點(diǎn)）位置需變換。（一）直接包含基本圖形例 1. 在 O 中，圓的半徑為 6 ，B=30 °，AC 是 O 的切線，則 CD 的最 小值是 。簡(jiǎn)析：由 B=30 °知弧AD 一定，所以 D 是定點(diǎn)， C 是直線 AC 上的動(dòng)點(diǎn)， 即為求定點(diǎn) D 到定線 AC 的最短路徑，求得當(dāng) CD AC 時(shí)最短為 3。（二）動(dòng)點(diǎn)路徑待確定例 2. ，如圖，在 ABC 中，ACB=90 °，AB=5 ， BC=3 ， P 是 AB 邊上的 動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) B 重合），將 BCP 沿 CP 所在的直線翻折，得到 BCP ，連 接 BA ，則 BA 長(zhǎng)度的最小值是。簡(jiǎn)析： A 是定

4、點(diǎn)， B' 是動(dòng)點(diǎn)，但題中未明確告知B' 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，所以需先確定 B' 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形，一般有直線與圓兩類。此題中B' 的路徑是以 C 為圓心， BC 為半徑的圓弧，從而轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到定圓的最短路徑為 AC-B'C=1 。轉(zhuǎn)，得到 A'B'C ，點(diǎn) E 是 BC 上的中點(diǎn)，點(diǎn) F 為線段 AB 上的動(dòng)點(diǎn)，在 A'B'C 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn) F 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是 F' ，求線段 EF' 長(zhǎng)度的 最大值與最小值的差。簡(jiǎn)析： E 是定點(diǎn)， F' 是動(dòng)點(diǎn)，要確定 F'點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑。先確

5、定線段A'B' 的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓環(huán)，外圓半徑為BC，內(nèi)圓半徑為 AB 邊上的高， F' 是 A'B'上任意一點(diǎn)，因此 F'的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓環(huán)內(nèi)的任意一點(diǎn)，由此轉(zhuǎn)化為點(diǎn)E 到圓環(huán)的最短和最長(zhǎng)路徑。E 到圓環(huán)的最短距離為 EF2=CF 2-CE=4.8-3=1.8 ， E 到圓環(huán)的最長(zhǎng)距離為 EF1=EC+CF 1 =3+6=9 ，其差為 7.2 。（三）動(dòng)線（定點(diǎn)）位置需變換線段變換的方法：（ 1 ）等值變換：翻折、平移；（ 2 ）比例變換：三角、相似?！痉圩儞Q類】典型問(wèn)題：“將軍飲馬”例 4.如圖， AOB=30 °，點(diǎn)M 、N 分別是射

6、線 OA 、OB 上的動(dòng)點(diǎn)， OP 平分AOB ，且 OP=6 ，當(dāng)PMN 的周長(zhǎng)最小值為 。簡(jiǎn)析：動(dòng)線段（或定點(diǎn)）應(yīng)居于動(dòng)點(diǎn)軌跡的兩側(cè)，本題的三條動(dòng)線段 PM 、 MN 、PN 在 OA 、OB 的內(nèi)側(cè)。所以本題的關(guān)鍵是把定線段變換到動(dòng)點(diǎn)軌 跡的兩側(cè)，從而把三條動(dòng)線段 PM 、MN 、PN 轉(zhuǎn)化為連接兩點(diǎn)之間的路徑。 如圖，把點(diǎn) P 分別沿 OA 、OB 翻折得 P1 、P2，PMN 的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為 P1M+MN+P 2N ，這三條線段的和正是連接兩個(gè)定點(diǎn)P1、P2 之間的路徑，從而轉(zhuǎn)化為求 P1 、P2 兩點(diǎn)之間最短路徑，得 PMN 的周長(zhǎng)最小值為線段 P1P2OP 6。例 5. 如圖，在銳

7、角 ABC 中， AB=4 ，BAC=45 °，BAC 的平分線交 BC 于點(diǎn) D ，M 、N 分別是 AD 和 AB 上的動(dòng)點(diǎn)，則 BM+MN 的最小值 是。簡(jiǎn)析：本題的問(wèn)題也在于動(dòng)線段BM 、 MN 居于動(dòng)點(diǎn)軌跡 AD 的同側(cè)，同樣把點(diǎn) N 沿 AD 翻折至 AC 上， BM+MN BM+MN' ，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn) B 到 直線 AC 的最短路徑，即 BN' AC 時(shí)，最小值為 2 2 ?！酒揭谱儞Q類】典型問(wèn)題：“造橋選址”例 6.如圖， m、n 是小河兩岸，河寬 20 米， A、B 是河旁兩個(gè)村莊，要在河上造一座橋，要使A 、B之間的路徑最短應(yīng)該如何選址 （橋須與河岸

8、垂直） ？簡(jiǎn)析：橋長(zhǎng)為定值，可以想像把河岸 m 向下平移與 n 重合，同時(shí)把點(diǎn) A 向 下平移河寬，此時(shí)轉(zhuǎn)化成 n 上的一點(diǎn)到 A、 B 的路徑之和最短，即轉(zhuǎn)化為 定點(diǎn) A' 到定點(diǎn) B 的最短路徑。如下圖：思路是把動(dòng)線 AM 平移至 A'M ， A'N+BN 即轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn) A'與定點(diǎn) B 之 間的最路徑。本題的關(guān)鍵是定長(zhǎng)線段 MN 把動(dòng)線段分隔，此時(shí)須通過(guò)平移 把動(dòng)線段 A'N 、 BN 變?yōu)檫B續(xù)路徑，也可以把點(diǎn) B 向上平移 20 米與點(diǎn) A 連接。例 7. 如圖， CD 是直線 y=x 上的一條定長(zhǎng)的動(dòng)線段，且 CD=2 ，點(diǎn) A （ 4 ， 0

9、），連接 AC 、AD ，設(shè) C點(diǎn)橫坐標(biāo)為 m，求 m 為何值時(shí)， ACD 的周長(zhǎng) 最小，并求出這個(gè)最小值。解析：兩條動(dòng)線段 AC 、AD 居于動(dòng)點(diǎn)所在直線的兩側(cè)，不符合基本圖形中 定形（點(diǎn)線圓） 應(yīng)在動(dòng)點(diǎn)軌跡的兩側(cè)。 首先把 AC 沿直線 CD 翻折至另一側(cè)， 如下圖：AD 共線時(shí) A''D+AD 最短，即為線段 AA'' 的長(zhǎng)【三角變換類】典型問(wèn)題：“胡不歸”例 8. 如圖， A 地在公路 BC 旁的沙漠里， A 到 BC 的距離 AH 23， AB 219 ，在公路 BC 上行進(jìn)的速度是在沙漠里行駛速度的 2倍。某人在 B 地工作， A 地家中父親病危，他

10、急著沿直線 BA 趕路，誰(shuí)知最終沒(méi)能見(jiàn)到父 親最后一面，其父離世之時(shí)思念兒子，連連問(wèn)：“胡不歸，胡不歸！” （怎么還不回來(lái)），這真是一個(gè)悲傷的故事，也是因?yàn)椴欢當(dāng)?shù)學(xué)而導(dǎo)致的。 那么，從 B 至 A 怎樣行進(jìn)才能最快到達(dá)？簡(jiǎn)析：BP 段行駛速度是 AP 段的 2 倍，要求時(shí)間最短即求 BP/2+AP 最小， 從而考慮 BP/2 如何轉(zhuǎn)化， 可以構(gòu)造含 30 °角利用三角函數(shù)關(guān)系把 BP/2 轉(zhuǎn) 化為另一條線段。如下圖，作 CBD=30 °，PQ BD ，得 PQ=1/2BP ，由 “垂線段最短”知當(dāng) A、 P、Q 共線時(shí) AP+PQ AQ' 最小。【相似變換類】典型問(wèn)

11、題：“阿氏圓”“阿氏圓”：知平面上兩點(diǎn) A 、B，則所有滿足 PA/PB=k 且不等于 1 的點(diǎn)P 的軌跡是一個(gè)圓， 這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)， 故稱阿氏圓，如下圖所示，其中 PO：BO AO ：POPA：PBk。例 9. 已知 A(-4 ，-4) 、B(0, 4) 、 C(0, -6) 、 D(0, -1) ，AB 與 x 軸交于點(diǎn) E ， 以 點(diǎn) E 為 圓 心 ， ED 長(zhǎng) 為 半 徑 作 圓 ， 點(diǎn) M 為 E 上 一 動(dòng) 點(diǎn) ， 求 1/2AM+CM 的最小值。簡(jiǎn)析：本題的主要問(wèn)題在于如何轉(zhuǎn)化 1/2AM ，注意到由條件知在 M 的運(yùn) 動(dòng)過(guò)程中， EM ：AE 1 ：2 保持不變，從而想到構(gòu)造相似三角形，使之與 AEM 的相似比為 1 ：2 ，這樣便可實(shí)現(xiàn) 1/2AM 的轉(zhuǎn)化，如下圖取 EN ：EM 1 ： 2 ，即可得 EMN EAM ，再得 MN=1/2AM ，顯然， MN+CM 的 最小值就是定點(diǎn) N 、C 之間的最短路徑。之后便是常規(guī)方法先求 N 點(diǎn)坐標(biāo)，再求 CN 的長(zhǎng)【解法大一統(tǒng)】萬(wàn)法歸宗：路徑成最短，折線到直線。（所求路徑在一般情況下是若干折線的組合，這些折線在同一直線上時(shí)即 為最短路徑）基本