因式分解拓展題及解答必考題型

1、因式分解拓展題解板塊一： 換元法例 1 分解因式：(x2 4x 8)2 3x(x2 4x 8) 2x2【解析】將 x2 4x 8 u 看成一個(gè)字母，可利用十字相乘得原式u2 3xu 2x2 (u x)(u 2x) (x2 4x 8 x)(x2 4x 8 2x)例 2 分解因式：(x2 5x 2)( x2 5x 3) 12【解析】方法1：將x2 5x看作一個(gè)整體，設(shè)x2 5x t ,則原式= (t 2)(t 3)12 t2 5t 6 (t1)(t 6) (x 2)(x 3)(x2 5x1)方法2：將x2 5x 2看作一個(gè)整體，設(shè)x2 5x 2 t,則原式=t(t 1) 12t2t 12 (t3)

2、(t4) (x 2)(x 3)( x2 5x 1)方法3：將x2 5x 3看作一個(gè)整體，過(guò)程略. 如果學(xué)生的能力到一定的程度，甚至連換元都不用，直接把x2 5x看作一個(gè)整體，將原式展開(kāi)，分組分解即可，則原式(x2 5x)2 5(x2 5x) 6 (x2 5x 1)( x2 5x 6) (x 2)(x 3) (x2 5x 1).【鞏固】分解因式：(x 1)(x 3)(x5)(x 7)15【鞏固】分解因式：(x2 x 1)( x2x 2) 12例 3 證明：四個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積加1 是整數(shù)的平方【解析】 設(shè) 這四個(gè)連續(xù)整數(shù)為：x 1 、 x 2、 x 3、 x 4222222原式 (x2 5x 5)

3、 1(x25x 5)11(x25x 5)2 11 (x2 5x 5)2【鞏固】若x, y是整數(shù)，求證：x yx2yx3y x 4yy4是一*個(gè)完全平方數(shù)令 x2 5xy 4y2 u.上式 u(u 2y2)y4 (uy2)2(x25xy5y2)2即 x y x 2yx 3y x 4yy4(x25xy 5y2 )2例 4 分解因式(2a 5)(a2 9)(2 a 7) 91【解析】原 式 (2a 5)(a 3)( a 3)(2 a 7) 91 (2a2 a 15)(2 a2 a 21) 91設(shè)2a2 a 15 x ，原式 x(x 6) 91 x2 6x 91 (x 13)(x 7)(2a2 a 2

4、8)(2a2 a 8)【鞏固】分 解因式(x2 3x 2)(3 8x 4x2) 90【解析】原 式 (x 1)(x 2)(2 x 1)(2x 3) 90 (2x2 5x 3)(2x2 5x 2) 90原式 (y 3)(y 2) 90y2 5y 84 (y 12)( y 7)(2x25x 12)(2 x 7)(x 1)例 5 分解因式：4(3x2 x 1)(x2 2x 3) (4x2 x 4)2咋 一看，很不好下手，仔細(xì)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)：(3x2 x 1) (x2 2x 3) 4x2x 4，故可設(shè)3x2 x 1 A, x2 2x 3 B ，則4x2 x 4 A B .故原式 =4AB (A B)2A2

5、B2 2AB (A B)2222_2(3x x 1) (x 2x 3)(2x 3x 2).【鞏固】分解因式：(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2【解析】由于題中以整體形式出現(xiàn)的式子有兩個(gè)，共 4個(gè)地方，故采取換元法后會(huì) 大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，不妨設(shè) a b x, ab y ,【解析】則原式=(x 2y)(x 2) (1 y)2 x2 2xy y2 2y 2x例6分解因式：(x 1)4 (x 3)4 272【解析】 設(shè) y x 1 x 3 x 2,則原式=(y 1)4 (y 1)4 272 2(y4 6y2 1) 272 2【鞏固】分解因式：a4 44 (a 4)4【解析】為方便運(yùn)算，更

6、加對(duì)稱(chēng)起見(jiàn)，我們令 x a 2板塊二：因式定理因式定理：如果x a時(shí)，多項(xiàng)式anxn an41 . &x a。的值為0 ,那么x a是該多項(xiàng)式的一個(gè)因式.有理根：有理根c p的分子p是常數(shù)項(xiàng)a。的因數(shù)，分母q是首項(xiàng)系數(shù)an的因數(shù). q22x 3x 2 -32 Z -x 1 2x x 5x 2c 3 c 22x 2x23x 5x3x2 3x2x 22x 20例7分解因式：2x3 x2 5x 2【鞏固】a。2的因數(shù)是1,2, % 2的因數(shù)是1,2.因此，原式的有理根只可能是1, 2(分母為1),1.2因?yàn)?f(1) 21526, f( 1)2152 0,于是1是f(x)的一個(gè)根，從而x 1是f(x

7、)的因式，這里我們可以利用豎式除法，此時(shí)一般將被除式按未知數(shù)的降募排列，沒(méi)有的補(bǔ)0:可得原式(2x2 3x 2)(x 1) (x 2)(2x 1)(x 1)點(diǎn)評(píng)：觀(guān)察，如果多項(xiàng)式f(x)的奇數(shù)次項(xiàng)與偶數(shù)次項(xiàng)的系數(shù)和互為相反數(shù)，則說(shuō) 明 f(1) 0；如果多項(xiàng)式的奇數(shù)次項(xiàng)與偶數(shù)次項(xiàng)的系數(shù)和相等，則說(shuō)明 f( 1) 0.【鞏固】分解因式：x6 2x5 3x4 4x3 3x2 2x 1解析：本題有理根只可能為 1. 1當(dāng)然不可能為根(因?yàn)槎囗?xiàng)式的系數(shù)全是正的),經(jīng)檢驗(yàn)1是根，所以原式有因式x 1,原式 (x 1)(x5 x4 2x3 2x& x 1)容易3證1也是x5 x4 2x3 2x2 x 1的

8、根，54324222x x 2x 2x x 1 (x 1)(x 2x 1) (x 1)(x1),6c5c4,3c22/22x 2x 3x 4x 3x 2x 1 (x 1) (x 1)【鞏固】分解因式：x3 9x2y 26xy2 24y3解析：x3 9x2y 26xy2 24y3 (x 2y)(x 3y)(x 4y)例 8 分解因式：x3 (a b c)x2 (ab bc ca)x abc【解析】 常數(shù)項(xiàng) abc的因數(shù)為 a, b, c, ab, bc , ca, abc把x a代入原式，得所以a是原式的根，x a是原式的因式，并且【鞏固】分 解因式：(l m)x3(3l 2m n)x2 (2l

9、 m 3n)x 2(m n)【解析】 如 果多項(xiàng)式的系數(shù)的和等于0，那么 1 一定是它的根；如果多項(xiàng)式的偶次項(xiàng)系數(shù)的和減去奇次項(xiàng)系數(shù)的和等于0，那么 1 一定是它的根現(xiàn)在正是這樣：所以 x 1是原式的因式，并且板塊三： 待定系數(shù)法如果兩個(gè)多項(xiàng)式恒等，則左右兩邊同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相等.即，如果an xnan1xn1 an2xn2 La1 x1a0bnxnbn1xn1 bn2xn2 Lb1x1b0那么 anbn, an 1bni, ， abi,aob0.例 9 用待定系數(shù)法分解因式：x5 x 1【解析】 原 式的有理根只可能為1 ，但是這2 個(gè)數(shù)都不能使原式的值為0，所以原式?jīng)]有有理根，因而也沒(méi)有( 有

10、理系數(shù)的) 一次因式故x5x 1 (x2 ax1)(x3bx2 cx 1)或x5x 1 (x2 ax1)(x3bx2cx 1)ab0a1故 c ab 1 0，解得b 1，所以x5 x 1 (x2 x 1)(x3 x2 1)ac b 1 0c0ac1事實(shí)上，分解式是惟一的，所以不用再考慮其它情況.【鞏固】x4 x2 1 是否能分解成兩個(gè)整系數(shù)的二次因式的乘積?解析： 我們知道x4 x2 1 (x2 x 1)(x2x 1) .x4 x2 1 不能分解成兩個(gè)整系數(shù)的二次因式的乘積如 果x4 x2 1 能 夠 分 解 ， 那 么 一 定 分 解 為 (x2 ax 1)(x2 bx 1) 或22(x a

11、x 1)(x bx 1)比較x3與x2的系數(shù)可得ab0ab 21(1)(2)1 ， 沒(méi)有整數(shù)a 能滿(mǎn)足這兩個(gè)方(1) 得 b a ， 代入 (2) 得a22 1 ， 即 a2 3或 a2程所以，x4 x2 1 不能分解成兩個(gè)整系數(shù)的二次因式的積( 從而也不能分解成兩個(gè)有理系數(shù)的二次因式的積) 【鞏固】 x6 x3 1 能否分解為兩個(gè)整系數(shù)的三次因式的積?解析： 設(shè) x6 x3 1 (x3 ax2 bx 1)(x3 cx2 dx 1) ，ac0比較x5, x3及x的系數(shù)，得ad bc 1bd0由第一個(gè)方程與第三個(gè)方程可得ca ， d b , 再把它們代入第二個(gè)方程中，得 ab ab 1 矛盾 !

12、所以，x6 x3 1不可能分解為兩個(gè)整系數(shù)的三次因式的積例 10分解因式：x4 x3 2x2 x 3原 式的有理根只可能為1 ，3 ，但是這四個(gè)數(shù)都不能使原式的值為0 ，所以原式?jīng)]有有理根，因而也沒(méi)有( 有理系數(shù)的) 一次因式我們?cè)O(shè)想x4 x3 2x2 x 3可以分為兩個(gè)整系數(shù)的二次因式的乘積由于原式是首1這一點(diǎn)，( 首項(xiàng)系數(shù)為1) ，兩個(gè)二次因式也應(yīng)當(dāng)是首1 的于是，設(shè)x4 x3 2x2 x 3 (x2 ax b)(x2 cx d) 其中整系數(shù)a、b、g d有待我們?nèi)ゴ_定.比較式兩邊及常數(shù)項(xiàng)，得這樣的方程組，一般說(shuō)來(lái)是不容易解的不過(guò)，別忘了x3, x2, x的系數(shù)ac1b d ac 2bc

13、ad 1bd 3(2)(3)(4)(5)b、 d 是整數(shù) ! 根據(jù)從 (5) 可以得出bd 13或db13，當(dāng)然也可能是db 31或bd31在這個(gè)例子中由于因式的次序無(wú)關(guān)緊要，b1b1我們可以認(rèn)為只有b 1 或 b 1 這兩種情況d3d3將 b 1 ， d 3，代入 (4) ，得 c 3a 1將與相減得2a 2,于是a 1,再由得c 2這一組數(shù)(a 1, b 1, c 2, d 3)不僅適合、，而且適合. 因此x4 x3 2x2 x 3 (x2 x 1)(x2 2x 3)將b 1 , d 3,代人，得 c 3a 1將與 相加得2a 0. 于是 a 0，再由 得 c 1.這一組數(shù)(a0, b 1

14、,c1,d3),雖然適合、，卻不適合，因而 x4 x3 2x2 x 3 (x2 1)(x2 x 3) .事實(shí)上，分解式是惟一的，找出一組滿(mǎn)足方程組的數(shù)，就可以寫(xiě)出分解式，考慮有沒(méi)有其他的解純屬多余，毫無(wú)必要板塊四：輪換式與對(duì)稱(chēng)式對(duì)稱(chēng)式：x、y 的多項(xiàng)式 x y, xy,x2y2,x3y3 ,x2yxy2,在字母x與y互換時(shí)，保持不變.這樣的多項(xiàng)式稱(chēng)為x、y的對(duì)稱(chēng)式.類(lèi)似地，關(guān)于 x、y、z 的多項(xiàng)式 x y z, x2 y2 z2 , xy yz zx, x3 y3 z3, x2y x2z y2z y2x z2x z2y , xyz,在字母x、y、z中任意兩字互換時(shí)，保持不變.這樣的多項(xiàng)式稱(chēng)為

15、x、yz的對(duì)稱(chēng)式.輪 換 式 ： 關(guān) 于x、y、z 的 多 項(xiàng) 式 x y z ，x2y2z2 ，xy yz zx，x3y3z3 ，222222x y y z z x , xy yz zx , xyz 在將字母x、y、z輪換(即將x換成y, y換成z, z換成x)時(shí)，保持不變.這樣的多項(xiàng)式稱(chēng)為x、y、z的輪換式.顯然，關(guān)于x、y、z的對(duì)稱(chēng)式一定是x、y、z的輪 換式但是，關(guān)于x、y, z的輪換式不一定是對(duì)稱(chēng)式.例如，x2y y2z z2x就不是對(duì)稱(chēng)式.次數(shù)低于3 的輪換式同時(shí)也是對(duì)稱(chēng)式兩個(gè)輪換式(對(duì)稱(chēng)式)的和、 差、 積、 商 (假定被除式能被除式整除)仍然是輪換式(對(duì)稱(chēng)式 ) 例 11：分解

16、因式：x2(y z) y2 (z x) z2(x y)解析：x2(y z) y2(z x) z2(x y)是關(guān)于x、y、z的輪換式.如果把x2(y z) y2(z x) z2(x y)看作關(guān)于x的多項(xiàng)式，那么在x y時(shí)，它的值為y2(y z) y2(z y) z2(y y) 0 .因此， xy 是x2 (yz)y2(z x)z2(x y) 的因式由于x2(yz)y2(zx)z2 (x y) 是 x、 y、 z 的輪換式，可知y z與z x也是它的因式.從而它們的積(x y)(y z)(z x) (1)是x2(y z) y2(z x) z2(x y) 的因式由于、都是x、y、z的三次多項(xiàng)式，所以

17、兩者至多相差一個(gè)常數(shù)因數(shù)k ，即有x2(y z) y2(z .x) z2(x y) k(x y)(y z)(z x) 現(xiàn)在我們來(lái)確定常數(shù)k的值.為此，比較的兩邊x2y的系數(shù)：左邊系數(shù)為 1，右邊系數(shù)為k 因此，k 1于是x2(y z) y2(z x) z2(x y) (x y)(y z)(z x)思路 2:利用 y z = (y x) (z x).例 12 分解因式：xy(x2 y2) yz(y2 z2) zx(z2 x2)【解析】此式是關(guān)于x, y, z的四次齊次輪換式，注意到 x y時(shí)，原式0,故x y是原式的一個(gè)因式.同理，y z, z x均是原式的因式，而(x y)(y z)(z x)

18、是三次輪換式，故還應(yīng)有一個(gè)一次輪換式，設(shè)其為k(x y z)，故原式k(x y z)(x y)(y z)(z x),展開(kāi)并比較系數(shù)可知，k 1,故原式(x y z)(x y)(y z)(z x) .思路 2:利用 x2 y2= (x2 z2)+(z 2 y2).家庭作業(yè)練習(xí) 1 分解因式：4(x 5)(x 6)(x 10)( x 12) 3x2原式4(x217x60)(x2 16x 60) 3x24 (x216x 60) x (x216x 60) 3x2練習(xí)2 要使 x 1 x 3 x 4 x 8 m 為完全平方式，則常數(shù)m 的值為 【解析】x1 x3 x 4 x 8 m(x2 5x 4)(x

19、2 5x 24) m (x2 5x)2 20(x2 5x) 96 m ，則 m 196練習(xí)3 分解因式：(x2 6x 8)(x2 14x 48) 12【解析】原式 (x2)(x 4)(x6)(x 8)12(x210x 16)(x210x24) 12設(shè) t x2 10x 16 ，則原式 t(t8) 12 (t2)(t 6)(x210x 18)(x2 10x 22)練習(xí)4分解因式：(x2xyy2)2 4xy(x2y2)【解析】設(shè) x2 y2 a ， xy b ，則原式(a b)2 4ab (a b)2 (x2 y2 xy)2 .練習(xí)5分解因式：2x3x25x 2練習(xí)6分解因式：x36x211x 6

20、練習(xí)7 用待定系數(shù)法分解：x5 x4 1【解析】原式的有理根只可能為1 ,但是這2個(gè)數(shù)都不能使原式的值為0 ,所以原式?jīng)]有有理根，因而也沒(méi)有(有理系數(shù)的)一次因式.5423254232敗 x x 1 (xax1)(x bx cx1)或 x x1(xax1)(xbx cx 1)x5 x41(x2ax 1)(x3bx2 cx1)x5(ab)x4(abc 1)x3 (acb 1)x2(a c)x 1a b 1a 1故 c ab 1 0 解得 b 0 ,所以 x5 x4 1 (x2 x 1)(x3 x 1)ac b 1 0c 1a c 0事實(shí)上，分解式是惟一的，所以不用再考慮其它情況.練習(xí) 8.分解因式：a3(b c) b3(c a) c3(a b)【鞏固】a