常微分方程建模訓練

1、常微分方程的建模訓練各位同學：歡迎大家開始高等數(shù)學課程的第二階段的學習。本次輔導材料是關于建立微分方程的模型，主要目的有2 個。 一是開闊大家的視野，二是練習如何將一個實際問題用數(shù)學語言描述出來，也就是平時講的建模，這是一個理工科學生的最重要的基本功之一。希望大家努力掌握之。個人收集整理勿做商業(yè)用途建立微分方程的途徑主要有：1 ）根據(jù)問題的性質(zhì)，利用相應學科已經(jīng)知道的客觀規(guī)律，比如研究物體的運動，在已知外力的情況下，可運用著名的牛頓第二定律；研究熱力學問題，可以用熱力學定律，研究電路問題就可以用電路的基爾霍夫定律等。個人收集整理勿做商業(yè)用途2）對于一些沒有明顯規(guī)律可用時，可以考慮應用微元法（上

2、學期學習積分時已經(jīng)學習過），這時，需要考慮的是在自變量x,x dx的微段dx中，函數(shù)的增量的微分表達式。個人收集整理勿做商業(yè)用途本次材料包括的題目不少，你可能沒有太多的時間做。沒有關系，可以邊學邊做，或有空時做，拳不離手，曲不離口，功夫是逐漸煉成的。要注意的是，對一個確定的問題，僅僅列出微分方程是不夠的，還要有一組初始條件或邊界條件，才能使微分方程的通解具體化，稱為一個對應與問題本身的特解！如何列出這樣的條件， 也需要訓練你的觀察能力，因為很多題目中，這些條件常隱含在題目的敘述中。個人收集整理勿做商業(yè)用途本次練習不要求你去求解這些方程，但隨著我們課堂的進度，當你學會微分方程的求解后，你再去求解

3、它們。1 / 6好，開始吧!1 .有一類物質(zhì)具有放射性，根據(jù)觀察，放射性元素的質(zhì)量隨時間推移而逐漸減少，這種現(xiàn)象稱為衰變。由實驗測定，每一時刻放射性元素鐳的衰變率（即質(zhì)量減少的速率）與該時刻的鐳的質(zhì)量成正比，比例系數(shù)0。求鐳的衰變規(guī)律。個人收集整理勿做商業(yè)用途又由經(jīng)驗判斷，鐳經(jīng)過1600年后，只剩下原始量的一半，求鐳的質(zhì)量R與時間t的函數(shù)關系。2 .物理上把已知物體質(zhì)量和外力的條件下，求物體的運動規(guī)律的問題稱為動力學問題。物體的運動可用它的位移量 s（t）來表示。個人收集整理勿做商業(yè)用途已知物體質(zhì)量為 m的物體在外力F的作用下沿外力的方向作直線運動。試根據(jù)下列提供的外力特點，求物體的運動規(guī)律：

4、個人收集整理勿做商業(yè)用途1）外力為地球重力；2）外力為與其速度的平方成反比的阻力；3）外力為與其位移成正比，但方向相反的彈性恢復力；4）外力為獨立的時間周期性外力Asin t ；5）外力為上述阻力和周期性外力的合力。請你觀察這些方程各有什么特點？結合課程學習，請仔細琢磨對應的解法會有何不同？3 . 一門大炮以初速度 Vo,以初始射角（仰角）發(fā)射一發(fā)炮彈，不計空氣阻力，求炮彈的彈道方程。 24 .求曲線族y cx （其中c為任意常數(shù)）的正交軌線族的方程式。（兩族曲線正交指兩曲線在交點處的切線相互垂直）5 .（盯梢問題）甲乙兩人，乙對甲盯梢，即乙與甲保持一定距離a ,盯著甲而行，若甲沿直線前進，問

5、乙的運動路線如何？假設甲開始時的位置不在乙的行走直線上。個人收集整理勿做商業(yè)用途6 .（追擊問題）兔子從原點出發(fā)沿 y軸方向以速度a逃跑，同時一只狐貍從（c,0）出發(fā)，以 速度b追捕兔子，求狐貍的追捕路線，并討論狐貍最終能捉著兔子的條件。個人收集整理勿做商業(yè)用途7 .質(zhì)量為1克的指點受力作用作直線運動，此力和時間成正比，和質(zhì)點運動的速度成反比。在10秒時，速度等于50cm/秒，力為4達因。問從運動開始經(jīng)過 1分鐘后的速度為多少?個人收集整理勿做商業(yè)用途8 .根據(jù)水利學的定律，水從距自由面的深度為hcm的孔流出，它的流速為 v J2gh,其中g為重力加速度?，F(xiàn)有盛滿水而高度為 1米的半球形容器，

6、水從它的底部的一個面積為1平方厘米的孔流出，孔口收縮系數(shù)為0.6 （該收縮系數(shù)指流出來的水柱截面積與孔口的面積之比）。求流盡水所需要的時間。個人收集整理勿做商業(yè)用途求該曲線方程。9 . 一曲線通過點（2, 3）,它在兩坐標軸肩的任意切線線段均被切點所平分。10 .求一曲線方程，使得曲線上任意一點處的切線恒垂直于此點與原點的聯(lián)線。11 . 一曲線通過（2, 0）點，且在其切點與縱坐標軸肩的切線段有定長2,求此曲線方程。12 .曲線y f（x） 0,且通過原點和（1, 1）點，它圍成一以0, x為底的曲邊梯形，其 面積與 "*）的口 1次哥成正比，求此曲線方程。個人收集整理 勿做商業(yè)用途

7、13 .求曲線族，使其在 x a, x b間的一段弧長k倍于此弧與x a, x b及x軸所圍的面 積。14 .求一曲線族，使其上任何點 P處的切線在y軸上的截距等于原點到 P的距離。15 .求一曲線，使曲線的切線上自切點至與x軸的交點的一段距離為常數(shù) a。16 .求一曲線，使曲線的法線上自曲線上的點至與x軸的交點的一段距離為常數(shù) a。17 .求一曲線族，它在任何點的矢徑（指原點到該點的有向線段）與在該點的切線所夾的角 為矢徑與極軸間的夾角的n倍。（提示：設曲線的極坐標方程為r r （）,則drtan r/）個人收集整理 勿做商業(yè)用途 d18 . 一汽艇在以10km/小時的速度在靜水上運動時停止

8、了發(fā)動機，經(jīng)過 20秒后，艇的速度 減至6km/小時。試確定發(fā)動機停止 2分鐘后艇的速度。 個人收集整理勿做商業(yè)用途19 .假定物體在空氣中的冷卻速度正比于該物體的溫度與它周圍空氣的溫度之差。有一物體加熱到To度時移入室內(nèi)，如果室問保持常值 a度，求溫度隨時間變化的關系。 個人收集整理勿 做商業(yè)用途20 .（續(xù)上題）假設是問為 20 C, 一物體由100 C冷卻到60 C需要經(jīng)過20分鐘時間。問 共需要經(jīng)過多少時間方可使該物體的溫度從開始時的100 C降低到30 C?個人收集整理勿做商業(yè)用途21 .根據(jù)物理學中熱力學的波意爾定律，理想氣體的密度與所受壓力成正比。假設在海平面 上每一平方厘米大氣

9、壓力等于1千克，離海平面高度500米時，每一平方厘米大氣壓力等于0.92千克。求大氣壓力與高度的關系。個人收集整理勿做商業(yè)用途22 .將質(zhì)量為m的物體在空氣中以速度 V0垂直上拋，空氣阻力為 kv2 （k為常數(shù)），求在上 升過程中速度與時間的關系。又問該物體何時返回到拋射點？個人收集整理 勿做商業(yè)用途3 / 623 .在上題中，若空氣阻力該為kv,繼續(xù)上題的問答。24 .質(zhì)量為m的指點沿直線運動，受力為 F a bv,其中a,b為正的常數(shù)，v為質(zhì)點運動 速度。若質(zhì)點從靜止出發(fā)，求它的速度與時間的關系。個人收集整理勿做商業(yè)用途25 .有一放置在鉛垂平面內(nèi)的剛性曲線，如果曲線以常角速度繞該平面內(nèi)一

10、鉛垂直線旋轉時，在曲線任一點處放置的質(zhì)點都能處于平衡狀態(tài)。求此曲線的方程。個人收集整理勿做商業(yè)用途26 .設一物體質(zhì)量 m ,以初速度V0從一斜面上推下，若斜面的傾角為，摩榛系數(shù)為，試求物體在下面上移動的距離和時間的關系。個人收集整理勿做商業(yè)用途 x 27 .求y" x的經(jīng)過點（0, 1）切在此點與直線 y 1相切的積分曲線。228 .求曲率半徑為常數(shù)的曲線。29 .設曲線（在x軸上方）在它的每一點處的曲率半徑等于該點處法線在曲線與x軸間的長度。證明：若曲線是凸的，則它是懸鏈線；若曲線是凹的，則它是半圓周。個人收集整理勿做商業(yè)用途（該題請在講了懸鏈線方程后做）30 .設彈簧的上端固定

11、，有兩個相同的重物（每個質(zhì)量為 m）掛于彈簧的下端，使彈簧伸長 了 2a。今突然取走其中的一個，使彈簧有靜止開始振動。求所掛重物的運動規(guī)律。個人收集整理勿做商業(yè)用途31 .有一單擺長為l ,質(zhì)量為m。若其擺動角很小，求其運動方程，并確定每振動一次的時 間（周期）。又若擺動角較大，又將如何？（物理學上稱的單擺，指擺桿的質(zhì)量不計的擺，故質(zhì)量都集中在擺錘處。）32 . 一拉緊的彈簧所受的拉力與他的長度伸長量成正比，當長度增加1cm時，彈簧拉力為1kg,今有2kg的物體掛在彈簧的下端而保持平衡。假若將它稍下拉，然后松手，求由此產(chǎn)生的振動的周期。 個人收集整理 勿做商業(yè)用途33 . 一重4kg的物體掛在

12、彈簧下端， 它使彈簧的長度曾長了 1cm,假定彈簧的上端有一轉動 機產(chǎn)生鉛垂振動 y 2sin30t,且開始時，物體處于靜止狀態(tài)。求此物體的運動規(guī)律。個人收集整理勿做商業(yè)用途34 .長為6米的鏈條自桌自上無摩擦地向下滑動，假定在運動開始時，鏈條自桌上垂下部分 已有1米，問需要多少時間鏈條才全部劃過桌子？個人收集整理勿做商業(yè)用途35 . 一鏈條掛在一個無摩擦的釘子上，假定運動起始時， 鏈條一邊垂下8米，另一邊垂下10米。問整個鏈條劃過釘子需要多少時間？個人收集整理勿做商業(yè)用途36 .設曲線L位于第一象限，通過(1.5, 1.5),其上任一點P處的切線總與y軸相交，交點 A。已知|PA | | O

13、A |,求曲線方程。個人收集整理勿做商業(yè)用途37 .在上半平面求一條凸的曲線， 其上任一點P(x,y)處的曲率等于此曲線在該點的法線 PQ 長度的侄數(shù)(Q為法線與x軸的交點)，切曲線在(1,1)點出的切線與 x軸平行。個人收集 整理勿做商業(yè)用途38 .設曲線L的極坐標方程為r r(),M(r,)為1上的任一點，設M。(2,0)是L上的一 定點。若極徑OM,OM0與曲線L所圍成的曲邊扇形的面積值等于 L上M(r, )和M0(2,0) 兩點間的弧長的一半。求曲線的方程。個人收集整理勿做商業(yè)用途39 .在某個人群中推廣一種新技術是通過其中掌握了這項新技術的人進行的。該人群的總人數(shù)為N ,在開始時已經(jīng)

14、掌握新技術的人數(shù)為x0 ,在任意時刻t已經(jīng)掌握新技術的人數(shù)為x(t),由于人數(shù)較多，可以將 x(t)視為連續(xù)可微變量。如果 x(t)的變化率與已掌握新技術 的人數(shù)和尚未掌握新技術的人數(shù)之積成正比，比例系數(shù)k 0。求x(t)的變化規(guī)律。個人收集整理勿做商業(yè)用途40 .從船上向大海沉方一科學測量儀器。按測量要求，需確定儀器下沉深度 y (從海面算起)與下沉速度v之間的關系。設儀器在重力作用下垂直下沉，在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用。若儀器質(zhì)量為 m ,體積為B ,海水的比重為 ，且儀器所受阻力與下沉速度成正 比，比例系數(shù)k 0,試建立y與v所滿足的微分方程，并求函數(shù)關系式。個人收集整理勿做商業(yè)

15、用途41 . 一顆子彈以速度 Vo 200m/s打入一塊厚為10cm的板子，穿透板時的速度為 80m/s。設 板對子彈的阻力與子彈速度的平方成正比。求子彈穿過板所用的時間。個人收集整理勿做商業(yè)用途42 .有一個30 X 30 X 12立方米的車間，空氣中含有1.12%的二氧化碳，現(xiàn)用一臺通風能力為每分鐘1500立方米的鼓風機通入含有0, 04%的二氧化碳的新鮮空氣，同時用另一臺同樣通風能力的鼓風機把混合后的空氣抽出。問鼓風機開動10分鐘后，車間內(nèi)的二氧化碳的百分比降到多少？ 個人收集整理勿做商業(yè)用途43 .有一圓錐形容器，尖頂在下，底在上，頂角為 2 (045 ),高為H。今在頂部截去高為Ho的小圓錐，使形成一小孔，先用木塞子將孔塞住，并在容器里灌滿水，然后把 塞子拔去，讓水流出。設水流出的速率為v412gh(01),h為該時水面與孔的高度差。問經(jīng)過多少時間，水將流盡？個人收集整理勿做商業(yè)用途44. 沿水平方向作直線勻速飛行的麻雀的正上方處有一只老鷹，鷲和鷹一起朝麻雀飛去捕食，的 2 倍，問禿鷲的飛行速度是麻雀的多少倍？50m 處有一只禿鷲，在麻雀的正下方100m并同時到達捕捉目標。設鷹的飛行速度是麻雀個人收集整理勿做商業(yè)用途45 .狗與其主人在岸邊隔岸相對，河水