2018年全國高考新課標(biāo)2卷理科數(shù)學(xué)考試(解析版)

1、2018年全國高考新課標(biāo)2卷理科數(shù)學(xué)考試（解析版）作者:日期:2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新課標(biāo)2卷理科數(shù)學(xué)注意事項：1. 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2. 作答時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3. 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。-、選擇題：本題共12小題,每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.l+2iFr2?43433434A 一 T 一 弓B* - 5 + 5ic - 5 ' 5iD* - 5 + 5i解析：選D2. 已知集合A=(x,y) 2+y23,xZ,yZ ,則A中元素的個

2、數(shù)為()A. 9B. 8C. 5D 4解析：選A問題為確定圓面內(nèi)整點個數(shù)3. 函數(shù)f (x)=E2的圖像大致為()解析：選Bf(x)為奇函數(shù)，排除 A,x>0,f (x)>0,排除 D,取 x=2,f (2) =e2-e24力，故選B4. 已知向量 a, b 滿足 Ial=1, ab 二-1,則 a (2ab)=()A. 4B. 3C. 2解析：選 B a (2a-b)二2a2-a b二2+1 二3D.5.雙曲線= I (a>0, b>0)的離心率為龍，則其漸近線方程為(C. y=±遲X9A. y=±jxB. y二±x= C2 二 3

3、65; b=a C 5 歹專,BC=I, AC二 5,B. 30C3解析：選 A CoSo2cos右-I= - 25解析：選A e-6-在ABC 中，COS則 AB二()D.y=±A. 42ABAO+BC2-2AB BC COSC=3225AB=42D.7. 為計算S=I- 2 + 3 4 + T,設(shè)計了右側(cè)的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入（）A. i=i+l B. i二i+2C. i二i+3 D. i二i+4解析：選B8. 我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù) 可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中，隨

4、機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的 概率是（）12解析：選CB.-t-14不超過30的素數(shù)有2, 3, 5, 7,11, 13, 17, 19, 23, 29共10個，從中選2個其和為30的3為7+23, 11+19, 13+17,共3種情形，所求概率為P=FF109. 在長方體ABCD-ABcIDI中，AB=BC=I, AAi=W 則異面直線AD】與DBl所成角的余弦值為（D.解析：選C建立空間坐標(biāo)系，利用向量夾角公式可得。10. 若f （x） =COSX-SinX -a,a是減函數(shù)，則a的最大值是（）B.2CA.4解析：選A f (x) = ycos (x÷-),依據(jù)f (X)=

5、COSX與f (x)= y2cos (x+)的圖象關(guān)系知a的最大值為-P11. 已知 f(x)是定義域為(-8,+ 8)的奇函數(shù),滿足 f(l-)= f(l+x)若 f(l)=2,則 f(l )+f(2)+f(3) + +f(50)二()A. -50B. 0C. 2D. 50啟、 住工L A上LRT半；/解析：選C由f(l-)二f(l+x)得f (x+2)=-f(X),所以f(x)是以4為周期的奇函數(shù)，且 f (-l)=-f (1)=-2, f (0)=0, f (1)=2, f =f (0) =0, f (3) =f (-1) =-2, f (4) =f (0) =0 ； f(l)+f(2)

6、+f (3) +f (50) =f(l)+f (2) =2線上，P F&為等腰三角形,ZFlFP=I20,則C的離心率為（)2111A- 3B- 2c 3D- 412.已知Fr .是橢圓C：l2X-1 vau rnzr, 勺 忘斥、,八疋 UEZiLd火斥、, a2 L解析：選D AP的方程為y鼻（X書 AP F1F.,為等腰三角形. FP = FlFj二2訂二." 過 P 作 PH丄X 軸，則ZPF,H=6Oo, F.,H二c, PH 二©C, .P（2c, 3c）,代入 AP 方程得 4cp二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13. 曲線y=21n（

7、x+l）在點（0,0）處的切線方程為解析：y=2xx+2y-5014. 若x,y滿足約束條件 -2y+30 ,則Z二x+y的最大值為.-50解析:915. 已知 Sina+cos B 二 1, CoSa+sin B 二0,則Sin（C（ + B）二.解析：-1兩式平方相加可得716. 已知圓錐的頂點為S,母線SA, SB所成角的余弦值為耳SA與圓錐底面所成角為45。,若ASAB的面積為515,則該圓錐的側(cè)面積為解析：設(shè)圓錐底面圓半徑為r,依題SA二石，又SA, SB所成角的正弦值為×2r×=515.*. r2=40, S= ×r ×-2rzz4O2三、解

8、答題：共70分。解答應(yīng)寫岀文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生 都必須作答。第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17. （12 分）記S為等差數(shù)列a 的前n項和,已知a =-7, S =-15.nnI3（1）求aj的通項公式；（2）求S.,并求Sn的最小值.解：（1）設(shè)a的公差為d,由題意得3 a +3d=-15,由a二-7得d=2.所以a的通項公式為a =2n9.n11nn（2）由（1）得S=2-8n=（n-4）2-16. 所以當(dāng)n二4時，S取得最小值，最小值為16.nn18. （12 分）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施

9、投資額y （單位：億元）的折線圖.為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了 y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1,2,，17）建立模型：y二-30.4+13. 5t；根據(jù)2010年至2016 年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1,2,-,7）建立模型：y二99+17.5t./1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值;(2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.(1)利用模型,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y二-30.4+13. 5 X 19二226. 1 (億元).利用模型,該

10、地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y二99+17.5X9二256. 5 (億元)(2)利用模型得到的預(yù)測值更可靠.理由如下：(i )從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機(jī)散布在直線y二-30.4+13. 5t上 下這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境慕礎(chǔ)設(shè)施投資額的變 化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點 位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y二99+17. 5t可以較

11、好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投 資額的變化趨勢，因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠.(ii)從計算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型得到的預(yù)測值226.1 億元的增幅明顯偏低,而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理.說明利用模型得到的預(yù)測值更 可靠.M上絵出了 2種理由,考啖答出曳申任意一種我曳他合理理由物可得今19. (12 分)設(shè)拋物線C: y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線1與C交于A, B兩點,IABl=8.(1) 求1的方程；(2) 求過點A, B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.解：(1)由題意得F(1,0), 1的方程為y=k(-l

12、) (k>0).嘆 ux,y丿,ovx2,y ,f=R(X-I)y 二 4x得 kx- (2k2+4) x+k2二0.4 -1OK.1OU,嘆 X-X2-2k2+4k"所以 ABI= x+x2÷2=-2=8,解得 k二T (舍去)，k二 1.因此1的方程為y=-l.(2)由(1)得AB的中點坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2二-(x-3),即y二-x+5.ry - +5 IrO 0嘆口1卒兇口丁兇、生心、/V k0, y0?,Iy 一X十丄廠I $嚴(yán)宀 16因此所求圓的方程為(-3)2+ (y-2)2=16 或(X-II)2+ (y÷6)2二

13、 144. 第6頁共9夏如圖，在三棱錐 P-ABC 中，AB=BC=22, PA二PB二PC二AC二4, 0 為 AC 的中點. (1)證明:Po丄平面ABC；,所以MBC為等腰直角三角形,連結(jié)0B.因為AB=BC=且 OB丄AC, OB=AC=2.由 OP2+OB2二PB?知 OP 丄0B.由OP丄0B, OP丄AC知OP丄平而ABC.(2)如圖，以0為坐標(biāo)原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.由已知得 0 (0,0,0)tB(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,23),AP 二(0,0,2y) 取平面PAC的法向量一OB二(2,0,0).設(shè) M(a,2-a,0) (0

14、<a2),則一AM=(a,4a, 0).設(shè)平面PAM的法向量為皿,y,z).則£：£；o,可取n說(a-4),誦a,-a),所以CoS血心2寸3¾X+a?由已知得Icos<OB, n> I=*.231 (a-4) I y4-T Y-1解得 a二-4 (舍去)，a二2 寸 3 (a-4) 2+3a2+a2 乙'所以二(-學(xué),響又一PC二(0,2,萌3),所以Co靈PC, 所以PC與平面PAN所成角的正弦值為乎.21. (12 分)已知函數(shù)f (x) =e×a2(1) 若 a二 1,證明：當(dāng) x20 時，f (x) 1;(2) 若f

15、(x)在(0,+o°)只有一個零點，求乳L)T (I)當(dāng) a=l 時，f (x) 1 等價于(x2+l)e-l0.設(shè)函數(shù) g(x) (2+l)e-l,則 g, (X)=-(X-I)2e-.當(dāng)XHl時，gz (x)<0,所以*g(x)在(0,+o°)單調(diào)遞減.而 g(0) =0,故當(dāng) x20 時，g(x) 0,即 f(x)21.(2)設(shè)函數(shù) h(x)=lax 2-.f (x)在(0,+o°)只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,+°o)只有一個零點.(D當(dāng)aW時,h(x)>O, h(x)沒有零點；(ii)當(dāng) a>0 時,h' (x)

16、 =ax(x2) e-.當(dāng) x(0,2)時，hz (x)<0;當(dāng) x(2,+)時,h, (x)>0.所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+)單調(diào)遞增.故h(2H石是h(x)在IO,+。的最小值.P2 若h(2)>0,即a<, h(x)在(0,+8)沒有零點;e2 若h(2) =0,即a=, h(x)在(0,+o°)只有一個零點;e2 若h(2)<0,即a，由于h(0)二1,所以h(x)在(0,2)有一個零點,由(1)知,當(dāng) x>0 時,e×=2,所以 h(4a)=l16as©a) 2>1I6a3 1K1'評故

17、h(x)在(2,4a)有一個零點，因此h(x)在(0,+o°)有兩個零點.綜上，f(x)在(0,+)只有一個零點時，a二(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22. 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)x=2COS f x=l+tcos 在直角坐標(biāo)系Xoy中，曲線C的參數(shù)方程為<.n(0為參數(shù))，直線1的參數(shù)方程為<.y=4sn y=2+tsn a(t 為#m(1) 求C和1的直角坐標(biāo)方程；(2) 若曲線C截直線1所得線段的中點坐標(biāo)為仃,2),求1的斜率2 V2 【解析】(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為當(dāng)COS a 0時，1的直角坐標(biāo)方程為y=tan a x+2tan a ,當(dāng)COS a二0時，1的直角坐標(biāo)方程為x=l.(2)將1的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程,整理得關(guān)于t的方程(1 +3cos2a )t2+4(2cosa +sina )t-8二0 因為曲線C截直線1所得線段的中點(1,2)在C內(nèi)，所以有兩個解，設(shè)為J, t?,則t÷t=O.又由得2cos a +sin a =O,于是