高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：10.1分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理

1、第十章 排列、組合和二項式定理網(wǎng)絡(luò)體系總覽考點目標(biāo)定位1.掌握分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題.2.理解排列與組合的意義，掌握排列數(shù)與組合數(shù)的計算公式，掌握組合數(shù)的兩個性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的應(yīng)用問題.3.掌握二項式定理和二項展開式的性質(zhì)，并能用它們計算和證明一些簡單的問題.復(fù)習(xí)方略指南排列與組合是高中數(shù)學(xué)中，從內(nèi)容到方法都比較獨特的一部分.其重點是在熟練應(yīng)用公式的基礎(chǔ)上，運用兩個基本原理，解決計數(shù)應(yīng)用題.二項式定理的重點是二項展開式及通項公式的了解和應(yīng)用.本章內(nèi)容高考所占比重不大，經(jīng)常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，但對思維能力要求較高，在復(fù)習(xí)中，要注意通

2、過典型例題，掌握分析問題的方法，總結(jié)解題規(guī)律.10.1 分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理知識梳理分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理是計數(shù)問題的基本原理，它貫穿于全章學(xué)習(xí)的始終，體現(xiàn)了解決問題時將其分解的兩種常用方法，即把問題分類解決和分步解決，是本章學(xué)習(xí)的重點.特別提示正確區(qū)分和使用兩個原理是學(xué)好本章的關(guān)鍵，其核心是“完成一件事”是“分類”完成，還是“分步”完成.點擊雙基1.十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，共有_種行車路線.A.24 B.16 C.12 D.10解析：起點為C種可能性，終點為C種可能性，因此，行車路線共有C×C=12種.答案：C2.（2002年全國）從正方體的6個面中選取3個面

3、，其中有2個面不相鄰的選法共有A.8種B.12種C.16種D.20種解析：有2個面不相鄰即有一組對面，所以選法為C·C=12種.答案：B3.某城市的電話號碼，由六位升為七位（首位數(shù)字均不為零），則該城市可增加的電話部數(shù)是A.9×8×7×6×5×4×3B.8×96C.9×106D.81×105解析：電話號碼是六位數(shù)字時，該城市可安裝電話9×105部，同理升為七位時為9×106.可增加的電話部數(shù)是9×1069×105=81×105.答案：D4.72的

4、正約數(shù)（包括1和72）共有_個.解析：72=23×32.2m·3n（0m3，0n2，m，nN）都是72的正約數(shù).m的取法有4種，n的取法有3種，由分步計數(shù)原理共3×4個.答案：125.（2005年春季北京，13）從1，0，1，2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有_個，其中不同的偶函數(shù)共有_個.（用數(shù)字作答）解析：一個二次函數(shù)對應(yīng)著a、b、c（a0）的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步計數(shù)原理，知共有二次函數(shù)3×3×2=18個.若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b=0.同上

5、共有3×2=6個.答案：18 6典例剖析【例1】 電視臺在“歡樂今宵”節(jié)目中拿出兩個信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運觀眾，若先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，有多少種不同的結(jié)果？解：分兩類：（1）幸運之星在甲箱中抽，再在兩箱中各定一名幸運伙伴，有30×29×20=17400種結(jié)果；（2）幸運之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400種結(jié)果.因此共有17400+11400=28800種不同結(jié)果.評述：在綜合運用兩個原理時，既要合理分類，又要合理分

6、步，一般情況是先分類再分步.思考討論本題為什么要先分類？由于幸運之星在哪個信箱產(chǎn)生對幸運伙伴的產(chǎn)生有影響，分步計數(shù)原理中步與步間要獨立.【例2】 從集合1，2，3，10中，選出由5個數(shù)組成的子集，使得這5個數(shù)中的任何兩個數(shù)的和不等于11，這樣的子集共有多少個?解：和為11的數(shù)共有5組：1與10，2與9，3與8，4與7，5與6，子集中的元素不能取自同一組中的兩數(shù)，即子集中的元素取自5個組中的一個數(shù).而每個數(shù)的取法有2種，所以子集的個數(shù)為2×2×2×2×2=25=32.評述：解本題的關(guān)鍵是找出和為11的5組數(shù)，然后再用分步計數(shù)原理求解.深化拓展上例中選出5個

7、數(shù)組成子集改為選出4個數(shù)呢?答案：C·24=80個.【例3】 （2003年新課程卷）某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如下圖）.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有_種.（以數(shù)字作答）解法一：從題意來看6部分種4種顏色的花，又從圖形看知必有2組同顏色的花，從同顏色的花入手分類求.（1）與同色，則也同色或也同色，所以共有N1=4×3×2×2×1=48種；（2）與同色，則或同色，所以共有N2=4×3×2×2×1=48種；（3）與且與同色，則共有

8、N3=4×3×2×1=24種.所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120種.解法二：記顏色為A、B、C、D四色，先安排1、2、3有A種不同的栽法，不妨設(shè)1、2、3已分別栽種A、B、C，則4、5、6栽種方法共5種，由以下樹狀圖清晰可見.根據(jù)分步計數(shù)原理，不同栽種方法有N=A×5=120.答案：120評述：解法一是常規(guī)解法，解法二安排4、5、6時又用了分類和列舉的方法.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.（2004年全國，文5）從長度分別為1、2、3、4的四條線段中，任取三條的不同取法共有n種.在這些取法中，以取出的三條線段為邊可組成的三角形的個數(shù)為m，則等于

9、A.0B.C.D.解析：n=C=4，在“1、2、3、4”這四條線段中，由三角形的性質(zhì)“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”知可組成三角形的有“2、3、4”，m=1.= .答案：B2.（2004年黃岡檢測題）某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為A.504B.210C.336D.120解析：三個新節(jié)目一個一個插入節(jié)目單中，分別有7、8、9種方法.插法種數(shù)為7×8×9=504或A÷A=504.答案：A3.從1到10的正整數(shù)中，任意抽取兩個相加，所得和為奇數(shù)的不同情形有_種.解析：當(dāng)且僅

10、當(dāng)偶數(shù)加上奇數(shù)后和為奇數(shù)，從而不同情形有5×5=25種.答案：254.從圖中的12個點中任取3個點作為一組，其中可構(gòu)成三角形的組數(shù)是A.208B.204C.200D.196解析：在12個點中任取3個點的組合數(shù)為C，在同一直線上的3點的組數(shù)為20，則可構(gòu)成三角形的組數(shù)為C20=200.答案：C5.4棵柳樹和4棵楊樹栽成一行，柳樹、楊樹逐一相間的栽法有_種.解析：2A·A=1152種.答案：11526.（2001年上海）某餐廳供應(yīng)客飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2菜2素共4種不同的品種.現(xiàn)在餐廳準(zhǔn)備了5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還

11、需要不同的素菜品種_種.（結(jié)果用數(shù)值表示）解析：設(shè)素菜n種，則C·C200n（n1）40，所以n的最小值為7.答案：7培養(yǎng)能力7.（2003年全國）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色.現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有_種.（以數(shù)字作答）解析：依次染、.故有C·C·C·C·C=72種.答案：728.（理）設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子.現(xiàn)將這五個球投放入這五個盒子內(nèi)，要求每個盒子內(nèi)投放一球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，則這樣的投放方法有多少種?

12、分析：五個球分別投放到五個盒子內(nèi)，恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，則其他三個球必不能投放到與球的編號相同的盒子內(nèi)，此時，這三個球與對應(yīng)的三個盒子，就成了受限的特殊元素與特殊位置.解：先在五個球中任選兩個球投放到與球編號相同的盒子內(nèi)，有C種；剩下的三個球，不失一般性，不妨設(shè)編號為3，4，5，投放3號球的方法數(shù)為C，則投放4，5號球的方法只有一種，根據(jù)分步計數(shù)原理共有C·C=20種.評述：本題投放球有兩種方法，一種是投入到與編號相同的盒子內(nèi)，另一種是投入到與編號不同的盒子內(nèi)，故應(yīng)分步完成.（文）在所有兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個?分析：在09這10個數(shù)字中，按照題

13、目要求組成的兩位數(shù)中，個位數(shù)字不能為0和1，十位數(shù)字不能為0和9.也就是說組成兩位數(shù)的數(shù)字可按個位分類或按十位分類來計算.解法一：按個位數(shù)字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個.則共有1+2+3+4+7+8=36（個）.解法二：按十位數(shù)字是1，2，3，4，5，6，7，8分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個.則共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（個）.評述：在具體分類或分步時，常遇到困難，要多練習(xí)，多積累經(jīng)驗，掌握思維方法，逐步做到恰當(dāng)分類，合理分步.9.

14、五名學(xué)生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？解：（1）5名學(xué)生中任一名均可報其中的任一項，因此每個學(xué)生都有4種報名方法，5名學(xué)生都報了項目才能算完成這一事件.故報名方法種數(shù)為4×4×4×4×4=45種.（2）每個項目只有一個冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得其中的一項獲軍，因此每個項目獲冠軍的可能性有5種.故有n=5×××=54種.探究創(chuàng)新10.三邊長均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形的個數(shù)是多少?解：設(shè)較小的兩邊長為x、y且xy，則 xy11，x+y>

15、;11，x、yN*.當(dāng)x=1時，y=11；當(dāng)x=2時，y=10，11；當(dāng)x=3時，y=9，10，11；當(dāng)x=4時，y=8，9，10，11；當(dāng)x=5時，y=7，8，9，10，11；當(dāng)x=6時，y=6，7，8，9，10，11；當(dāng)x=7時，y=7，8，9，10，11；當(dāng)x=11時，y=11.所以不同三角形的個數(shù)為1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36.評述：本題關(guān)鍵是列出約束條件，然后尋找x=1，2，11時，y的取值個數(shù)的規(guī)律，再用分類計數(shù)原理求解.思悟小結(jié)1.分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理是解決排列、組合問題的理論基礎(chǔ).這兩個原理的本質(zhì)區(qū)別在于分類與分步，分類用分類計數(shù)原理，分步用分步計數(shù)原

16、理.2.元素能重復(fù)的問題往往用計數(shù)原理.教師下載中心教學(xué)點睛弄清兩個原理的區(qū)別與了解，是正確使用這兩個原理的前提和條件.這兩個原理都是指完成一件事而言的.其區(qū)別在于：（1）分類計數(shù)原理是“分類”，分步計數(shù)原理是“分步”；（2）分類計數(shù)原理中每類辦法中的每一種方法都能獨立完成一件事，分步計數(shù)原理中每步中每種方法都只能做這件事的一步，不能獨立完成這件事.拓展題例【例1】 關(guān)于正整數(shù)2160，求：（1）它有多少個不同的正因數(shù)？（2）它的所有正因數(shù)的和是多少？解：（1）N=2160=24×33×5，2160的正因數(shù)為P=2×3×5，其中=0，1，2，3，4，=0，1，2，3，=0，1.2160的正因數(shù)共有5×4×2=40個.（2）式子（20+21+22+23+24）×（30+31+32+33）×（50+51）