化二次型為標準型的方法

1、化二次型為標準型的方法二、二次型及其矩陣表示在解析幾何中，我們看到，當坐標原點與中心重合時，一個有心二次曲線的一般方程ax2 +2bxy+ cy2 = f.（1）為了便于研究這個二次曲線的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當?shù)慕嵌取?，作轉(zhuǎn)軸（反時針方x = x cosO-y sin。向轉(zhuǎn)軸）（2）V = x sinC + v coSo把方程（1）化成標準方程，在二次曲面的研究中也有類似的情況.（1）的左端是一個二次齊次多項式。從代數(shù)的觀點看，所謂化標準方程就是用變量的線 性替換（2）化簡一個二次齊次多項式，使它只含平方項。二次齊次多項式不但在幾何中出現(xiàn)， 而且數(shù)學(xué)的其他分支以及物理、力學(xué)屮也常會碰到?，F(xiàn)

2、在就來介紹它的一些最基本的性質(zhì)。設(shè)P是一數(shù)域，一個系數(shù)在數(shù)域P上的X“X2, .,Xn的二次齊次多項式f （X,xA, ,Xn） = a.eX.2 +2a“XX, +. + 2a.x.xn +. + 2a. x?xn +. + an xn2 J xn ii Ii i *in i n匕.n 二 nnil n稱為數(shù)域P上的一個n元二次型，或者在不致引起混淆時簡稱二次型。設(shè)xpx2,.jxn； y,y2, : yn是兩組文字，系數(shù)在數(shù)域P中的一組關(guān)系式Xi=C|yi+Ci2y2+Clnynx2=c2iyi+c22y2+-c2ny nx3=c3iyi32y2-c3nyn（4）/n=cniy2*cn2y

3、2+-cnnyn稱為由X|,X2,Xn到力必，,yn的一個線性替換，。如果|cJ#。，那么線性替換（4）就 稱為非退化的。在討論二次型時，矩陣是一個有力的工具，因此把二次型與線性替換用矩陣來表示。另,ivj.由于 XjXj=XjXi，所以f （ XpX2,.,Xn） = 3llXi +23l2X!X2 +. +2ainX!Xn +322X2 + + 232nX2Xn +. + SnnXnn n=Z»,jXjXjj-1它的系數(shù)排成一個nF矩陣ail a!2<>w ainA a2l a22*e a2n A=. <anl an2/ * anm>它就稱為二次型的矩陣。

4、顯然它是對稱矩陣。令乂=知<xn>于是二次型可寫成f(XpX2, -,Xn) = XAX非退化線性替換可以表示成X=CY三、化二次型為標準形的方法之一：配方法定理：數(shù)域P上任意二次型都可以經(jīng)過非退化的線性替換變成平方和的形式，即標準形。證明：下而的證明實際就是一個具體的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。我們 對變量的個數(shù)做數(shù)學(xué)歸納法。對于n=l,而二次型就是f(x,) = anxf已經(jīng)是平方和的形式了?，F(xiàn)假定對n-l元二次n n型,定理的結(jié)論成立。再假設(shè) f(X,X2Xn) = ££aijXiXj (ajj=ciji) i-1 j-1分三種情況來討論：

5、1) au(i=l, 2,，n)中是少有一個不為零，例如aH*Oo這時f(xx2,.,xn) = aHxA +SaUxixj +nEanx.x>+EEr a.xj j-2i-2i-2 j=2nn n+2ZH|Xj + ZZ %x,Xjj-2i-2 j=22 n nan X|+Na (&jXj -a； ； 2>jXj''j-i-2 j=2JIj 272 n nX|+EaH ajjXj +EE %x/j,i - 27i-2 j=2這里EE bijXjXj=.a <+££ aui-2 j=2是一個X",X的二次型。令X IIV

6、j-27i-2 j=2y 產(chǎn) xi+EanVj xi = yi-Xana«jxj j-2j-2v y2 =X2即=y2丫 n =Xn這是一個非退化線性替換，它使f(xg,.,Xn) = ,aM+±文bg。1-2 J=2有歸納法假定，對寺君棗出尸)有非退化線性替換z2=c22y2+c23y3+-c2nyn« z3=c32y2+C33y3+.c3nyn 能使它變成平方和 d,z； +d 近+.以。Zn =Cn2y2+Cn3y3+.Cnny n于是非退化的線性替換z = *Z2=C22y2+C23y3+n C2nyn< Z3=C32y2+C33y3+.C3nYn.

7、zn=c 門2丫2山 n3y3c nnyn就使 f(XpX2,Xn)變成 f(XX2,.,Xn) = d2Z； +dZ；+，dnZ；由歸納法，即證。2) 所有舄都等于0,但至少一 a9(j>l),不是一般性，設(shè)a12A0o令X = Zj + Z2<2 廠它是非退化線性替換，且使f(XpX.,.,Xn) = 2ai2XiX7+.Xn = Zn n n=2aP(Z| +Z D (Z-z D+ 二2a”zS+這時上式右端是Z|,Z”.,Zn的二次型，且Z的系數(shù)不為0,屬于第一種情況，定理成立。3) au =ai2 = .ain = 0 由于對稱性，右 S2i =比2 = .a2n =0這

8、時f(XpX2,.,Xn)二旋心是門1元二次型。根據(jù)歸納假設(shè)，它能用非退化線性替*1 0 0*rl-1 2、因此D=0 1 00 1 -1<0 0 -3;<00 1 >令X=CY,得/W,Xj,也）二對+府3片五、化二次型為標準形方法之三：正交變換法（實二次型）利用歐式空間的理論，我們得到這樣的結(jié)論：對于任意一個n級是對稱矩陣A,都存在一個n級是正交矩陣T,使TtAT=T*AT成對角形。n n定理 任意一個實二次型 f(x“X2,Xn) = ££aijXjXj(a'a”)j-1都可經(jīng)過正交的線性替換變成平方和f （XpX2,.Xn）=d2ZUd3Z

9、j+.dnZ；其屮平方項系數(shù)dd,.,dn就使矩陣A的特征多形式全部的根。因此只要求出特征根，二次型標準形也就求出來了。正交變換更具實用性。女口：典型例 題：作直角變換，把下述二次曲面方程化成標準方程，并指出它是什么二次曲而？x1 +2y2 +3z2 一解：此方程左端的二項式部分為：/（x,y,z）+2尸+3N4xy4yz下把它正交替換成標準型：*1 -2 2-1它的矩陣 A= -2 2 -2 |2E-A|= 2202-22=(A-2)(2-5)22-3（2 + 1） ,A的全部特征值是2, 5,1 .對于特征值2,求出（2EA） X=0的一個基礎(chǔ)解系:3£3；對于特征值5,求出（5

10、E.A） X=0的一個基礎(chǔ)解系:2J >a2 = -2把。2單位化，得二<2>32一 ；對于特征值1,求出（ E.A） X=0的一個基礎(chǔ)解系:2<3 >%=2,把。3單位化，得二3133(20 0二，則T是正交矩陣，且T"AT= 05133。0,石2 1則 ra, y,z)=2x"+5y,-zP所以原二次型在新的直角坐標系中的方程為：2x+5產(chǎn)一廣二1由此看出，這是單葉 雙曲而。六、化二次型為標準形方法之四：雅可比方法(一)相關(guān)定義1、雙線性函數(shù)定義V是數(shù)域P上一個線性空間，f(a,B)是V上一個二元函數(shù)，即對V中任意兩個向量Q、8, 根據(jù)f都

11、唯一地對應(yīng)于P中一個數(shù)f(a,B)呦果f(a,B)有下列性質(zhì)：1) f(a, k”i + k2A )=kif(a,/7i) + k2f(6Z,/72)2) f (k,A +k2a2/?) =kif(a, /?)4畑(比 fl)其中a,/,%,昆4用是V屮任意向量，心屜是卩中任意數(shù)，則稱f(«,的一個雙線性函數(shù)。例如：歐式空間V的內(nèi)積是V上雙線性函數(shù)。2、對成雙線性函數(shù)的定義f(a, 6)線性空間V上的一個雙線性函數(shù)，如果對V中任意兩個向量a, 6都有f (。，B) =f(6, a),則稱f(a, B)為對稱雙線性函數(shù)。3、度量矩陣定義設(shè)f(o , B)是數(shù)域P上n維線性空間V上的一個

12、雙線性函數(shù)。上,%是V的一組'f點). f(£|,%)基，則矩陣入二：叫做f(a, 6)在習(xí)下的度量矩陣。、f(%，勺.f(£n, %,結(jié)論：雙線性函數(shù)是對稱的，當且僅當它在任一組基下的度量矩陣是對稱矩陣。(二)化二次型為標準型的雅可比方法設(shè)V是數(shù)域P上一個n維線性空間，取定V的一組基切，先，令n、凸 二 m IX= (Xy= (Yp-Myn),那么給定一個F上的n元二次型xAy (其屮A是n階對稱矩陣),則由A可以定義一'f(弓，勺.f(gn)A二 J .:個V上對稱雙線性函數(shù)f(a, p )= xSy,其中勺 反之亦然。在固足的基£2，上下，二

13、次型X】、Ax和對稱雙線性函數(shù)f( a, p) =xTAy是互相唯一確定的(都是由A確定的)o這種方法的屮心問題是：對在V的基玲虬，.,下游二次型xAx確定的對稱雙線性函數(shù)f(a,B)=xAy,滿足條件f(7/, j)=0,對 i#j(i,j=l,2,n)我們知道，設(shè)是V的另一組基，而B=(bij) nxn =(f( i. j)是6)關(guān)于這個基的矩陣，又設(shè)C=(%)n“是由基習(xí)，勺，與到基如， n的過渡矩陣， 即n 1 = £%勺,i=l,.,n j i那么 B=C*AC,(1)即一個雙線性函數(shù)關(guān)于V的兩個基的兩個矩陣式合同的。由于任一對稱矩陣必能合同于對角矩陣。設(shè)可逆矩陣C使C*

14、AC成對角陣，.0、B=“(2)再設(shè)C是基時2,與到基如，n的過渡矩陣，由(1)式知，f(a,B)關(guān)于基,， n的矩陣是對角矩陣9)式，即f (如 o =° ,對 iHj(iJ=l,2,.,n)這表明，對于每一個對稱雙線性函數(shù)f(a,B),都存在一個適當?shù)幕?，：億，使它可以寫 成如下形式HPf(a, 6)=Z Bu二bZU +b”Z,ll, +. +bnnZnUn,其屮a二立，“二文叩/，從而它所確定的二次型ZTBZ可以寫成標準形i-1 i-1ZtBz = buZ +b22z2 * "nnZn且二次型xAx化為zBz所作的非退化線性替換為x=C乙其屮C是由基弓，馬，到基如

15、，n的過渡矩陣，它使CrAC =Bo于是，化二次型xAx為標準形的問題就可以歸結(jié)為上述關(guān)于對稱雙線性函數(shù)的“中心問題”，為此，需要尋找滿足條件(2)得V的一個基億。在Rn中，從一個基y,出發(fā)，利用施密特正交化方法，可以構(gòu)造一個與之等價的正交基，"該方法的實質(zhì)就是設(shè)功=C£,% 二勺 2 切 +%&,% = CM+M+. + %,然后用待定系數(shù)法求使得(7j)=0 (其中i勺，i,j=l,2,n)的系數(shù)。為此我們先解決下問題：1)設(shè)V是數(shù)域P上一個n維線性空間，f(a, p)=xTAy使V上對稱雙線性函數(shù)，其屮nn與點，： 是V的一組基，a=B=£任，i=l

16、x=(Xp.,xn) ,y=(y“.,y。'A是n階對稱矩陣，那么從基勺弓，勺出發(fā)，是否能構(gòu)造如下形式的基h., ”=C£,%二。口司722八藝使得f (%, j)=0,對 i 勺(iJ=1,2,.,n)解：將研二Ci, + c猝+ %與代入f(%,?)得f ( i, i) =f ( Mi = &盧 i +c.2 + .+ c 薩)=%f) + c?jf (的卄+ 6f (鞏弓)，所以,若對任意的i及jvi有f(% £j)=0,則對jvi,也有f（ i. j）=。，又因雙線性函數(shù)f（a,B）是對稱的，則對j>i,有f （印 7j） = f （%. ,）

17、=0,即，,n是所求的基。于是，問題歸結(jié)為求待定系數(shù)C|j,C2i,i=ci/|*cg盧2 + +%£（3）滿足條件f（罔）= f（£j j）=0,j=l,2,i1（4）顯然，若滿足f（i£j） =O,WJ%的數(shù)量倍C i也滿足f（ci,與）=0,故為了確定，我們再要求/滿足條件f（77j,£j）=O = l.這樣，可以利用條件（4） （5）唯一確定了，將式代入和，得到關(guān)于外的線性方程組chf（££） +C2if （BT2）+ +中（砧）二。c.f （”i） + Sif （”） + +。仃（"i）=。%f （切）+C2if（

18、% 克）+ +（%*） = 0CHf （§ £） + %f（£j &） + . + cuf £. £.） = 1這方程組的系數(shù)行列式為«(£,勾f(J、（6）A i= :-:O、f(«).f(£i, M因此，當A,。0時,方程組(6)由唯一解，從而可求得向量/。于是，當A=(aij)nxn=(f(£|*) ail ain的順序主子式 A,=aii, A2=aH a*2, Anha'% A21 A22:anl an2' ' ' anm都不等于。時，可以由方程

19、組(6)求出向量j,i=l,2,，n2)由1)可知，在Aj=O, i=l, 2, n的情形下，由方程組(6)可求出上三角矩陣<CU .M>C=(Cij)nxn= :, :,<0.Cnn>從而由(3)式求得, i=l, 2, n,它們滿足bii = f( Mj)=o ,對 i”j, i,j=12.,n使得雙線性函數(shù)f(a , B )關(guān)于基, :劣的矩陣為，膈.0、B= C1 AC = :.：,是對角矩陣，由此可見，二次型xAx可經(jīng)非退化線性替換x=C乙化成標準形z1 Bz = bnZf + b22Z2 + + bnnZ n其中 X=(X,.,Xn)T,Z=(Z,.,Zn)

20、'.下面計算bii = f(% %)i=l, 2,.» n,由(5)可得庇二f (時 i) = f ( i.C*| + c*2 + + 5= % = f 解)再由克拉默法則，由方程組(6)可解得% 二+。22,2（其屮令 Ao = I） oZi因此，如二少三，j=i, 2,，nd綜上所述，我們可得以下結(jié)論:設(shè)二次型£Z>jXiXj （其屮二氣）中，順序主子式與，都不等于零，iiji 則該二次型必可化為下面的標準形：土 z?+ +%»z其中A0=l.這個化二次型為標準形的方法稱為雅可比方法。典型例題：用雅可比方法化二次型為標準型，并寫出非退化的線性替換。f （玉，工？，當）=+Xg + + 3%易 + 4%土解：由于矩陣人=,它的順序主子式A|=2, A3 = 4都44不等于零，故可用雅可比方法。8）關(guān)于基2冷點）3（M） =-f （G或2，勺的矩陣為A.則1（£|,功）f （司,郊）A= “勺上）f （&, £?）J （費）此勺媽）,7C3S