2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練20相似三角形問題(解析版)

1、專題20相似三角形問題專題知礁概述一、比例1. 成比例線段（簡稱比例線段）：對于四條線段a、b、c、d,如果英中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即-=-（或3： b=c: d）,那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。如果作 b d為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即-=-或4： b=b： C,那么線段b叫做線段8, C的比例中項(xiàng)。b C2. 黃金分割：用一點(diǎn)P將一條線段AB分割成大小兩條線段，若小段與大段的長度之比等于大段與全長之 比，則可得出這一比值等于0618o這種分割稱為黃金分割，分割點(diǎn)P叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，較長 線段叫做較短線段與全線段的比例中項(xiàng)。3. 平行線分

2、線段成比例左理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。4. 兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。5. 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。二、相似、相似三角形及其基本的理論1. 相似：相同形狀的圖形叫相似圖形。相似圖形強(qiáng)調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、大小無關(guān)。2. 相似三角形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相 似比。3. 三角形相似的判泄方法（1）左義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。（2）平行法：平行于三角形一邊的直線和英他兩邊（或兩邊延長線）相交，構(gòu)成的三角形與原三角形相似。（

3、3）兩個(gè)三角形相似的判泄泄理判左左理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡述為兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。判左左理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)相等，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角 形相似，可簡述為兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。判定泄理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡 述為三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。4. 直角三角形相似判左定理： 以上各種判左方法均適用 左理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那 么這兩個(gè)直角三角

4、形相似。 垂直法：直角三角形被斜邊上的髙分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。5. 相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例（2）相似三角形對應(yīng)髙的比、對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比（3）相似三角形周長的比等于相似比（4）相似三角形而積的比等于相似比的平方。例Mf與對點(diǎn)練習(xí)【例題1】（2020河北）在如圖所示的網(wǎng)格中，以點(diǎn)0為位似中心，四邊形月況P的位似圖形是（）5【答案】A【分析】由以點(diǎn)。為位似中心，確左出點(diǎn)Q對應(yīng)點(diǎn)M設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小方格的邊長為1,則Oo=屆 OM= 25, OD= z2, OB= 10 OA= z13, OR= 5, 00=2屁 OP=2T,

5、tf=35, ON=2f13,由竽=2, C/G得點(diǎn)0對應(yīng)點(diǎn)0,點(diǎn)萬對應(yīng)點(diǎn)只 點(diǎn)力對應(yīng)點(diǎn)川即可得岀結(jié)果.【解析】.以點(diǎn)0為位似中心，.點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)M設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小方格的邊長為1,貝I （X= 22 + I2 = 5, OM= 42 + 2- =25, OD=屆 OB= 32 + I2 = 1O,創(chuàng)=32 + 22 = 13, OR=22 + I2 = 5, 00=2屆 OP= 62 + 22 =21O, tf= 62 + 32 =35. GV= 62 + 42 =213,OM 257 OC = W =2,點(diǎn)Q對應(yīng)點(diǎn)Q點(diǎn)萬對應(yīng)點(diǎn)只點(diǎn)E對應(yīng)點(diǎn)川以點(diǎn)O為位似中心，四邊形如?的位似圖形是四邊形.VG【對

6、點(diǎn)練習(xí)】（2019廣西北海）如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，磁的三個(gè)頂點(diǎn)分別為月（-1, 1）, 5（-4, 1）, C （ - 2, 3）.（1）畫出月證關(guān)于點(diǎn)0成中心對稱的（2）以點(diǎn)月為位似中心，將放大為原來的2倍得到 AB2C2.在第二象限內(nèi)畫出也G：（3）直接寫岀以點(diǎn)兒，G為頂點(diǎn)，以/1山為的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)。的坐標(biāo).【答案】見解析?！窘馕觥浚?）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)特征寫出小B、C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)兒、民、G的坐標(biāo)，然后描點(diǎn) 即可.如圖，凡BG為所作.（2）延長曲到E使AB：=2AB,延長M到G使AG=2AC,連接5G，則扭G滿足條件.第四個(gè)頂點(diǎn)0的 坐標(biāo)為Cl,3）或（5,3）（

7、3）另一條平行四邊形的性質(zhì)，把G點(diǎn)向左或右平移3個(gè)單位得到。點(diǎn)坐標(biāo).第四個(gè)頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1，3）或（5,3）【例題2】（2019 廣西賀州）如圖，在個(gè):中，疋分別是為肚邊上的點(diǎn)，DE/BC.若A【答案】B【解析】本題考査了相似三角形的判定與性質(zhì)：證明三角形相似得出對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵.由平行線 得出宓S初G得出對應(yīng)邊成比例申即可得出纟汕!AB BC： DE" BC、：ADEs'ABU AD = DE,'AB BC 即 2-3 BC解得：Bc=6【對點(diǎn)練習(xí)】（2019年內(nèi)蒙古赤峰市）如圖，D、廳分別是邊的 M上的點(diǎn)，ZADE=Z ACB,若初=2, J5=6, J

8、C=4,則肚的長是（）A. 1B2C3D4【答案】C【解析】:乙ADE=乙ACB、Z4=Z：ADEs'ACB、 AD =AE 2 _ AE , AC 貳盲V解得，J£=3 【點(diǎn)撥】證明 ADESHACB、根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.【例題3】（2020山東泰安模擬）如圖，矩形麗e中，AB= 3施,BC=12,疋為初中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)、,將月/沿療折疊后，點(diǎn)月恰好落到G7上的點(diǎn)G處，則折痕礦的長是【】Ll5 【解析】本題考査了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是能夠作出適當(dāng)?shù)?輔助線，連接広 構(gòu)造相似三角形，最終利用相似的性質(zhì)求岀結(jié)果.

9、連接比 利用矩形的性質(zhì)，求出屜 加的長度，證明腮平分乙DCF,再證ZFEe=90° ,最后證啟EDG利用相似的性質(zhì)即可求岀礦的長度 如圖，連接FGY四邊形.45為矩形， ZJ=ZZ?= 90° , BC=AD=12. DC=AB=TZ為中點(diǎn)，：.AE=DErAD= >2由翻折知，遁豹宓：.AE=GE=>.乙AEF=乙GEF、ZEGF=ZEAF=90' =ZZ?. GE=DE.: EC 平仝 ZDCG.：乙DCE=乙GCE、GEC=W - ZGCE. ZDEC=90° -乙DCE、:乙GEe=乙 DEG：.ZFEC= AFEG-ZGEC=丄 X

10、180。=90° , 2. ZfFC= ZP= 90° ,又 T DCE= GCE.:'FECs'EDC、 FE EC''DE =DC-，? EC DE2+DC2 _ 62 + (36)2 = FE 3W,*63 'Y=215【對點(diǎn)練習(xí)】2019黑龍江省龍東地區(qū)）一張直角三角形紙片初G ZJ=90° , AB=IO, Jr=6,點(diǎn)。為證邊上的任一點(diǎn)，沿過點(diǎn)Q的直線折疊，使直角頂點(diǎn)C落在斜邊A5上的點(diǎn)疋處，當(dāng)萬是直角三角形時(shí)，則d的長為.24 【答案】3或?！窘馕觥吭贏BDE中，ZB是銳角，有兩種可能，ZDEB或ZEDB是直角

11、，由此畫出示意圖，逐步求解即可 如下圖，ZDEB 是直角時(shí)，VZJ6F=90o , AB=1Q, AC=6,：.BC= lO2-62 二& 設(shè) CD=X,則 BD=8-,由折疊知 CD=ED=x. V ZACB= ZDEB=90° , ZkBEDsABCA, ：. = 9 即 A = _L_t 解得 x=3;B DB IO 8 x如卜圖，ZEDB是宜角時(shí)，EDAC,BEDBAC. a = ,即 9 =亠解得CB DB 88-x7綜卜.，CD的長為3或斗.【點(diǎn)撥】在ABDE中，ZB是銳角，有兩種可能，ZDEB或ZEDB是直角，由此畫岀示意圖，逐步求解即可.【例題4】(2020杭

12、州)如圖，在遊中，點(diǎn)Z E、尸分別在Bu川7邊上，DE/AC, EF/AB.(1)求證：'BDEs'EFC.若肚=求線段處的長: 若啓的而積是20,求遊的而積.【解析】見解析?！痉治觥?1)由平行線的性質(zhì)得WDEB=ZFCE,乙DBE=乙FEC、即可得出結(jié)論：BE AF 1(2)由平行線的性質(zhì)得出龍=-即可得岀結(jié)果：先求岀籌=?易3EF2曲 由相似三角形的而枳比等于相似比的平方即可得出結(jié)果【解答】(1)證明:9DE/AC9乙 DEB= AFCE.： EF AB、：.ZDBE=乙 FEG：'BDEs'EFC:(2)解：EF/AB.BE AF l"EC F

13、C 2'： EC=BOBE=2- BE、 BE _ 112-BE _ 2解得：BE= 4；FC 2"AC _ 3t： EF" AB、：'EFCsHBAC、=<¾ =上)嗨SbABC AC3999* Su=職=4 X 20 = 4 5 【對點(diǎn)練習(xí)】(2019四川省涼山州)如圖，ZABD=ZBeD=9丫 ,宓平分ZADC,過點(diǎn)萬作BM/CD交肋于M.連接蝕交勵(lì)于V(1) 求證：B0=AI>Cl(2) 若 CD=6. Ap=8,求 MV的長.【答案】見解析。【解析】證明：（1）通過證明ZLs反D可得瞿冥，可得結(jié)論:BD CD% 平分ZADC.

14、:乙ADB=乙CDB、且ABD= BCD=W ,MABgbBCD AD _ BDBD _ CD：BgABCD（2）由平行線的性質(zhì)可證ZMBD=乙BDU即可證Ayf=MD=MB=A,由勵(lì)1="Q和勾股怎理可求M的長, 通過M明厶址砂ZCZ可二MN二2 , |!卩町求.KV的長.BM/ CDCD CN 3I ZMBD= ZBDC：.ZADB= ZMBD.且ZABD= 90“：.BM=MD. ZMAB=ZyfBA：.BM=SlD=AM=A：BgAi>CD、且 CP=6. A=8.5ZT=48,：.BC=BIJ- ClJ = I2：.MC=MBBC=23心2?9JBM/CD： WIsB

15、S CDIHH'且込祈.g7D【點(diǎn)撥】本題考査相似三角形的判左和性質(zhì)，勾股左理，直角三角形的性質(zhì)，求比的長度是本題的關(guān)鍵.一.選擇題1. （2020重慶）如圖，/!證與耐位似，點(diǎn)0為位似中心已知Qh OD=IZ 2,則ZkMC與則的面積比為（）A 1： 2B 1： 3C 1： 4D 1： 5【答案】C【解析】根據(jù)位似圖形的概念求岀磁與耐的相似比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可.：卜ABC與妙是位似圖形，OAX OD=V. 2,.9.ABC fjZ7r的位似比是1： 2：、ABC Mdef的相似比為1： 2,：、ABCq、DEF的而枳比為1： 4。2. （2020浙江紹興）如圖，三角板在燈

16、光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2： 5,且三角板的一邊長為8他則投影三角板的對應(yīng)邊長為（A. 20ozz?B. 10czC. SCinD32cm【答案】A【分析】根據(jù)對應(yīng)邊的比等于相似比列式進(jìn)行汁算即可得解.【解答】解：設(shè)投影三角尺的對應(yīng)邊長為批m三角尺與投影三角尺相似，& X 2： 5»解得X= 20.3. （2020遂寧）如圖，在平行四邊形月反P中，Z遊的平分線交月Q于點(diǎn)E交弘于點(diǎn)尸，交G?的延長線BE于點(diǎn)G若AF=fIFD.則右的值為（）【答案】C【分析】由/1Q2Q尸，可以假設(shè)DF= k、則AF=2k. AD= 3k.證明AB=AF=2k、DF=DG= k

17、.再利用平行線 分線段成比例左理即可解決問題.【解析】由月尸 =2加 可以假設(shè)DF= k、貝IJ AF= 2k. AD=Zk.四邊形磁9是平行四邊形，：.AD/BC. AB/CD. AB=CD.：.ZAFB= ZFBC= ZDFG. ZABF=ZG,T宓平分ZABC.:乙 ABF=ZCBG、：.ZABF= ZAFB=乙 DFG= Z G、：.AB=CD=2k. DF=DG=匕：.CG=CIyrDG=Zk. AB/DG.: HABEs'CGE、 BE AB _2k _ 2,EG CG 3k 34. （2020*遂寧）如圖，在正方形個(gè)加中，點(diǎn)疋是邊氏的中點(diǎn)，連接 血、DE,分別交劭、M于點(diǎn)

18、尸、Q,過點(diǎn)尸作廳丄拡交仿的延長線于斤 下列結(jié)論： ZAElZEAGZEDB=90° , AP=FP,®AE=學(xué)EQ 若四邊形少頁的面積為4,則該正方形EQ的而積為36, CEEF=E0DE其中正確的結(jié)論有（）DA5個(gè)B4個(gè)C. 3個(gè)D2個(gè)【答案】B【分析】正確.證明AEOB=AEOC= ,再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題. 正確利用四點(diǎn)共圓證明ZAFP=ZABp=43。即可. 正確.設(shè)BE=EC=a,求出血6W即可解決問題. 錯(cuò)誤，通過訃算正方形個(gè)8的而積為48. 正確.利用相似三角形的性質(zhì)證明即可.【解析】如圖，連接OET四邊形如?是正方形，：.ACLBD. OA=

19、OC=OB=OD.：.ZBOC= 90° ,JBE=EGZEOB= ZEOC=45° ,:乙 EOB=乙 ED臥乙 OED、乙EOc=ZEAaZAE0,: ZAE陜ZEAOZEDo=ZEAC+ZAESZOE彷乙EDB=90° ,故正確，連接M： PFLAE,： ZAPF=ZABF=90° ,4 P, B,尸四點(diǎn)共圓,： ZAFP= ZABP=AM ,：.ZPAF=ZPFA=45",:PA=PF,故正確,設(shè) BE=Ee= * 則 AE= 5a, OA=OC=OB=OD= AE S 10AO 一 l2 一 2即AE= -AO,故正確,根據(jù)對稱性可知

20、，竝9妙* SgF gS 幾邊形 CW= 2,： OB=OD, BE=EU:CD=20E OE/CD.EQOE1 rx = x> r = , OEQCy CDQ>DQCD2* Sa4W= 4 SA 販=8 9 Sta= 12«* S !力彤AKD= iX8 >故錯(cuò)誤>： ZEPF=乙DCE=90° , "EF= ZDEU:EPFsECD'.EF PE''ED EC' EQ=PE.:.CEEF=EODE故正確，故選:B.DE 15. （2020濰坊）如圖，點(diǎn)疋是匸如?的邊上的一點(diǎn)，JL-=連接亦并延長交切的延長

21、線于點(diǎn)尸,若DE=3、DQ4,貝ABCD的周長為（）A. 21B. 28C. 34D 42【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得初G再由平行線得相似三角形，根據(jù)相似三角形求得M，AE,進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的周長公式求得結(jié)果.【解析】四邊形.皿P是平行四邊形，J.ABCF, AB=CD.：ABEsDFE、DE FD 1 _AE AB 29VZZf=3, Zyr=4,* AE= 6, AB= 8,：.AD=AE+DE=6+3 = 9.平行四邊形肋切的周長為:（8+9） ×2=34.故選：C.6. （2020天水）如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用標(biāo)桿亦測量建筑物的髙度，已知標(biāo)桿BE高.5m,

22、測得AB=1.2jn. BC= 12. Sm,則建筑物仞的髙是（）DA BA. 17.5/2?B. 17zC 16.5mD 18?【答案】A【分析】根據(jù)題意和圖形，利用三角形相似，可以計(jì)算出切的長，從而可以解答本題.【解析】DCjAG：.EB/DC.：、ABEsACD.AB_ BE_AC 一 CD ：BE= 5z> AB= 1. 2z, Bc= 12. 8zz 14 DC解得，Z?C=I7. 5,即建筑物e的髙是17. 5亦7. （2019海南省）如圖，在RtHABC中，Zr=90° , AB=5, BC=A.點(diǎn)尸是邊月Q上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作AB交BC予點(diǎn)、Q、D為線段的中點(diǎn)，當(dāng)

23、助平分/磁時(shí)，廿的長度為（）B扛旦B.垃C.空D. 32A. 13131313【答案】B.【解析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判左左理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)勾股定理求出EG根據(jù)角平分線的圮義、平行線的性質(zhì)得到Z-QBD=Z.BDQ.得到如3,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.VZr=90° , /15=5, BC= 4,JC-AB2-bc2-3,9： PQ/AB.:乙 ABD=乙 BDQ、又乙 ABD=ZQBD:乙 QBD=乙 BDQ、：.QB=QD：QP=2QB、PQ/AB.：、CPQS'CAB、.CP = CQ=PQ MCP _4QB

24、 _2QB,'CA CB AB'345解得，CP丄O1 ：.AP=CA- CK d13二、填空題28. (2020郴州)在平而直角坐標(biāo)系中，將/!防以點(diǎn)0為位似中心，-為位似比作位似變換,3已知A (2, 3),則點(diǎn)凡的坐標(biāo)是4【解析】(亍2).【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)進(jìn)而得出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即可.2【解析】I將4*6血以點(diǎn)0為位似中心，-為位似比作位似變換，得到 Ag A (2 3),32 2點(diǎn)人的坐標(biāo)是:(X2, ×3)>3 34即兒(-2).39. (2020-樂山)把兩個(gè)含30°角的宜角三角板按如圖所示拼接在一起，點(diǎn)廳為的中點(diǎn), 于點(diǎn)F則等=3

25、【解析】【分析】連接防 解直角三角形，用初表示肪 根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，用肋表示 再證明eM得如-亦 由相似三角形的性質(zhì)得片，進(jìn)而得R便可 CFAC【解析】連接 VZ6MP=30o , ZACD=90° ,尸是肋的中點(diǎn),：.Ae= YAD. CE= AD=AE.：.ZACE=ZCAE=30Q9： ZBAC= 30" , ZABC=90",：.AB/CE.：ABFs'cEF、竺_竺_辺_ 3 CFCE 莎"2 2AF 310. （2020-綏化）在平而直角坐標(biāo)系中 磁和月蟲G的相似比等于士并且是關(guān)于原點(diǎn)0的位似圖形,2若點(diǎn)勺的坐標(biāo)為（2, 4）,則

26、其對應(yīng)點(diǎn)凡的坐標(biāo)是.【解析】（4, 8）或（-4, -8）.【分析】利用關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，把艮點(diǎn)橫縱坐標(biāo)分別乘以2或2得到英對應(yīng)點(diǎn)凡的坐標(biāo).【解析'MABC和厶AM 的相似比等于士并且是關(guān)于原點(diǎn)0的位似圖形，2而點(diǎn)乂的坐標(biāo)為（2, 4）,.點(diǎn)夾對應(yīng)點(diǎn)凡的坐標(biāo)為（2X2, 2X4）或（-2X2,2X4）,即（4, 8）或（4,8三、解答題11. （2020*泰安）小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平而上，抽象岀如圖（2）的平面圖 形，ZACB與ZQ恰好為對頂角，ZABC=ZCDE=90° ,連接恥月5=別，點(diǎn)F是線段爐上一點(diǎn).探究發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點(diǎn)尸為線段少的

27、中點(diǎn)時(shí)，連接莎（如圖（2）,小明經(jīng)過探究，得到結(jié)論：BDLDF.你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？ .（填“是”或"否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：BDLDF,則點(diǎn)尸為線段Q的中點(diǎn).請判斷此結(jié)論是否成立.若成 立，請寫出證明過程：若不成立，請說明理由.問題解決：（3）若AB=6, CE=Q,求肋的長.圖B備用團(tuán)AS（2）【答案】見解析?！痉治觥浚?）證明ZFDe+ZBDC=Wf可得結(jié)論.（2）結(jié)論成立：利用等角的余角相等證明ZE=ZEDF,推出廳再證明FD=FC即可解決問題.（3）如圖3中取比的中點(diǎn)G連接弘 則GQ丄助.利用（1）中即可以及相似三角形的性質(zhì)解決問題即可.【解

28、析】（1）如圖（2）中，B（2）VZjfZV=90o , EF=CF'ADF=CF,：.ZFCD=AFDGTZMC= 90° ,. ZAZACB=9Q" YBA=BD,：.ZA=ZADB.T ZACB=乙FCD=乙FDU：.ZADBAFDC= ,： ZFDB=90° ,： BDLDF.故答案為是.（2）結(jié)論成立:理由：BDIDF, EDLAD.：乙BDOr乙CDF=9X , ZEDF+ZCDF=9T ,:乙 BDC=乙 EDF,JAB=BD,：.ZA=乙BDG：.ZA=ZEDF.V ZA+ZACff=90i 9 Zf÷Z56P=90o , ZAC

29、B=ZECD,：.ZA=ZE,: ZE=ZEDF'：EF=FD,： Z扶乙EeD=9丫 , ZEDF+ZFDc=9L ,乙 FCD= ZFDC,：.Fn=FC9： EF=Fu點(diǎn)尸是M的中點(diǎn)(3)如圖3中，取兀的中點(diǎn)G,連接GQ.則丄助.9 ： Bn=AB= 6,在 Rt磁中，BG= lDG2 + BD2 =2 + 62IS：.CB=在 RtAABC中，AC= AB2 +BC2 = 62 + 32 =35>V ZACB= AECD. ZaBC=ZEDC'： HABc "DC、AC BC：.=,EC CD.3f5 _ 3 = »9 CD：.CD=攀：.A=

30、ACCn=3S +12. （2020達(dá)州）如圖，在梯形月反P中，？15切，Z萬=90° , AB= 6cm, CD=fIcm.尸為線段證上的一動(dòng) 點(diǎn)，且和萬、Q不重合，連接用，過點(diǎn)尸作丹丄刃交射線防于點(diǎn)E聰聰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對這個(gè)問 題進(jìn)行了研究：（1）通過推理，他發(fā)現(xiàn)請你幫他完成證明.（2）利用幾何畫板，他改變證的長度，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)只得到不同位置時(shí)，CE、莎的長度的對應(yīng)值：當(dāng) BC=6cm時(shí)，得表1：BP/ cm 1234OCE/ Cm0.831.331.501.330. 83當(dāng) BC=ZCm時(shí)，得表2：BP/ cm 1234567CE/cm 1. 172. OO 2.502.672

31、.502.001. 17這說明，點(diǎn)F在線段龐上運(yùn)動(dòng)時(shí)，要保證點(diǎn)廳總在線段CD 龐的長度應(yīng)有一泄的限制. 填空：根據(jù)函數(shù)的立義，我們可以確左，在毋和比的長度這兩個(gè)變量中，BP的長度為自變量,EC的長度為因變量： 設(shè)BC=喚 當(dāng)點(diǎn)F在線段龐上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)疋總在線段G?上，求加的取值范用.【解析】見解析。【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似證明即可.（2）根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可.設(shè)腫=XCm CE=ycm.利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值即可 解決問題.【解答】（I）證明:AB/CD.Z5-ZC=90o ,VZ5=90o ,Z5=ZC=90 ,JAPLPE,：.

32、ZAPB= 90° ,:乙EPC+乙PEC=9 , ZAPB=乙PEC、：'ABPS'PCE（2）解：根據(jù)函數(shù)的左義，我們可以確總在腫和防的長度這兩個(gè)變量中，莎的長度為自變量，M的 長度為因變量，故答案為：BP. EC.設(shè) BP= XCm、 CE= ycm.： ' ABpS、PCE、AB _ BPPC CE,6Xmx y'.尸-p+ Im= -1（片卜）：+分,J K2'=尹時(shí)，y有最大值，乙24T點(diǎn)疋在線段Q上，CD=tIcm.n2 224/. 2n43.0<z43.BDEC13. （2020棗莊）在遊中ZACB= 90。,少是中線，A

33、C=Ba 一個(gè)以點(diǎn)0為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),使角的兩邊分別與月G氏的延長線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E F, DF與AC交于點(diǎn)如DE與BC交于點(diǎn)、$（1）如圖 1,若 CE=CF,求證：DE=DF:（2）如圖2,在ZEDF繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，試證明少=仔廳恒成立:（3）若CD=2、CD並、求Zw的長.【解析】見解析?！痉治觥浚?）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到ZAeHBd5“ ,證明AQg雄 根拯全等三角形的對應(yīng)邊相等證明結(jié)論：（2）證明ASsAQCE根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，整理即可證明結(jié)論：（3）作DGkBa根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出加 由（2）的結(jié)論求出 證明已2必G根據(jù)相

34、似三角形的性質(zhì)求岀AG,根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案.【解答】（1）證明：V ZACB= 90" , AC=BC. 8是中線，：.ZACD=ZBCD=45" , ZACF=ZBCEFy ,：.ZDCF=ADCE=133",Xa 7 =OX3 7 iXOG 7 =NJ37 ：.SG = 4 彩IO (Z)申'SV=SJa7 ：.T壬加丁伙7助<7寫R(£)U)=G)：,聖=空OD JD i3Ja7GJJ79:iGJ7=J7 i3JG7 =JJG7 AiL>7=7 V'=JaJ7+JJJ7:t SV=3QJ7 ：.=JaJ77-4

35、Ogci=2z 出規(guī)(S)Pa=Mr :(SK9)2vt*vvDa = ja 切7 =JG73D = JJ)4 r ISJG 時(shí) Q7號運(yùn)-NG2r2由勾股泄理得,DN= DG2 + ZG2 =攀.圖214. （2020±海）已知：如圖，在菱形救P中，點(diǎn)忒尸分別在邊麗、初上，BE= DF,防的延長線交場的 延長線于點(diǎn)G, b的延長線交胡的延長線于點(diǎn)&（1）求證：4BECsHBCH;（2）如果亦=月®也求證：AG=DF.【解析】見解析?！痉治觥浚↖）想辦法證明ZBCE=ZH即可解決問題（2）利用平行線分線段成比例定理結(jié)合已知條件解決問題即可.【解答】（1）證明：四邊形

36、救P是菱形，：.CD=CB> 乙 D=乙 B. CD/AB.J DF=BE,：'CDFgCBE ( SAS乙 DCF=乙 BCE、 CD/BH.:乙 H=乙 DCF、：.ZBCE=乙 H.V ZB="：'BECsbBCH.(2)證明：YBF=ABAEBE AE ：.=,AB EB9 AG/BC9AE AGBE AG： DF=BE, BC=AB.：.BE=AG= DF.即 AG=DF.15. (2020-甘孜州)如圖，M是00的直徑，C為00上一點(diǎn)，肋和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D.(1) 求證：ZCAD=ZCAB；4D 2(2) 若一=一，AC=2岳求G?的長.AB 3DC【答案】