初等數(shù)論練習(xí)題

1、初等數(shù)論練習(xí)題信陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院2022年12月初等數(shù)論練習(xí)題一一、填空題1、d(2420)=(2420)=?2、設(shè)a,n是大于1的整數(shù),假設(shè)an-1是質(zhì)數(shù),那么a=3、模9的絕對(duì)最小完全剩余系是 o4、同余方程9x+12m0(mod 37)的解是5、不定方程18x-23y=100的通解是.6、分母是正整數(shù)m的既約真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)為 .7、18100被172除的余數(shù)是 o1039、假設(shè)p是素?cái)?shù),那么同余方程x p 1 1(mod p)的解數(shù)為.二、計(jì)算題1、解同余方程：3x2 11x 20 0 (mod 105).2、判斷同余方程x2m42(mod 107)是否有解？3、求(127156+34) 2

2、8除以111的最小非負(fù)余數(shù).三、證實(shí)題1、p是質(zhì)數(shù),(a,p) =1,證實(shí)：(1)當(dāng) a 為奇數(shù)時(shí),ap-1+(p-1)a= 0 (mod p)；(2)當(dāng) a 為偶數(shù)時(shí),ap-1-(p-1) a=0 (mod p).2n2、設(shè)a為正奇數(shù),n為正整數(shù),試證am1(mod 2n+2).k3、設(shè) p 是一個(gè)素?cái)?shù),且 1&k&p-1.證實(shí)：Cp 1(-1 ) (mod p).4、設(shè)p是不等于3和7的奇質(zhì)數(shù),證實(shí)：p6m1(mod 84)初等數(shù)論練習(xí)題二一、填空題1、d(1000)=;(r(1000)=o2、2022!的標(biāo)準(zhǔn)分解式中,質(zhì)數(shù)11的次數(shù)是 o3、費(fèi)爾馬(Fermat)數(shù)是指F

3、n=22n+1,這種數(shù)中最小的合數(shù)Fn中的n=.4、同余方程13xm5(mod 31)的解是.5、分母不大于m的既約真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)為 .6、設(shè)7 I (80n-1),那么最小的正整數(shù)n=.7、使41x+15y=C無(wú)非負(fù)整數(shù)解的最大正整數(shù)C=.8、竺 =.1019、假設(shè)p是質(zhì)數(shù),n p 1 ,那么同余方程x n 1 (mod p)的解數(shù)為.二、計(jì)算題20221、試求20222022 被19除所得的余數(shù).2、解同余方程 3x14 4x10 6x 18 0 (mod 5).3、a=5,m=21,求使ax 1 (mod m)成立的最小自然數(shù) x.三、證實(shí)題1、試證13|(54m+46n+2000).(提

4、示:可取模13進(jìn)行計(jì)算性證實(shí)).2、證實(shí)Wilson定理的逆定理：假設(shè)n > 1,并且(n 1)!1 (mod n),那么n是素?cái)?shù).3、證實(shí)：設(shè)ps表示全部由1組成的s位十進(jìn)制數(shù),假設(shè)ps是素?cái)?shù),那么s也是一個(gè)素?cái)?shù)4、證實(shí)：假設(shè) 2P 1 是奇素?cái)?shù),那么(p!)2 ( 1)p 0 (mod 2p 1).5、設(shè)p是大于5的質(zhì)數(shù),證實(shí)：p4三1(mod 240).初等數(shù)論練習(xí)題三、單項(xiàng)選擇題1、假設(shè)n>1,(n)=n-1是n為質(zhì)數(shù)的()條件.A.必要但非充分條件 B, 充分但非必要條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件2、設(shè)n是正整數(shù),以下各組a, b使b為既約分?jǐn)?shù)的一組數(shù)是().

5、aA.a=n+1,b=2n-1 B.a=2n-1,b=5n+2C.a=n+1,b=3n+1D.a=3n+1,b=5n+23、使方程6x+5y=C無(wú)非負(fù)整數(shù)解的最大整數(shù) C是().A.19B.24C.25D.304、不是同余方程28x三21(mod 35)的解為().A.x三2(mod 35) B. x 三7(mod 35) C. x 三 17(mod 35) D. x 三29(mod 35)5、設(shè) a 是整數(shù),(1)am0(mod9)(2)a三2022(mod9)(3)a的十進(jìn)位表示的各位數(shù)碼字之和可被9整除(4)劃去a的十進(jìn)位表示中所有的數(shù)碼字9,所得的新數(shù)被9整除以上各條件中,成為91a的

6、充要條件的共有().A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)二、填空題1、(T (2022)=;(2022)=o2、數(shù)Ci2J0的標(biāo)準(zhǔn)分解式中,質(zhì)因數(shù)7的指數(shù)是 o3、每個(gè)數(shù)都有一個(gè)最小質(zhì)因數(shù).所有不大于10000的合數(shù)的最小質(zhì)因數(shù)中,最大者是4、同余方程24xm6(mod34)的解是.5、整數(shù)n>1,且(n-1)!+1m0(mod n),那么n為(填：素?cái)?shù)或合數(shù)).6、3103被11除所得余數(shù)是.760 =7-97三、計(jì)算題1、判定(i)2x3 x23x10 (mod 5)是否有三個(gè)解；(ii)x62x54x230 (mod 5)是否有六個(gè)解？2、設(shè)n是正整數(shù),求C2n,C 2n,c1的

7、最大公約數(shù).3、a=18,m=77,求使ax 1 (mod m)成立的最小自然數(shù) x.四、證實(shí)題1、假設(shè)質(zhì)數(shù)p>5,且2p+1是質(zhì)數(shù),證實(shí)：4p+1必是合數(shù).2、設(shè)p、q是兩個(gè)大于3的質(zhì)數(shù),證實(shí)：p2=q2(mod 24).3、假設(shè) x,yC R+, (1)證實(shí)：xy >xy ;(2)試討論xy與xy的大小關(guān)系.注：我們知道,x y > x+y , x+y < x+y.此題把加法換成乘法又如何呢?4、證實(shí)：存在一個(gè)有理數(shù)其中d< 100,能使(提示:由( 73,100) =1,利用裴蜀恒等式來(lái)證實(shí))初等數(shù)論練習(xí)題四、單項(xiàng)選擇題1、假設(shè) Fn= =2A. 21是合數(shù)

8、,那么最小的B. 3n 是().C. 4D. 52、記號(hào) ba II a 表示 ba | a,但 ba+1 |a.以下各式中錯(cuò)誤的一個(gè)是().A. 218 II 20!B. 105 | 50!C. 119 II 100! D. 1316 | 200!3、對(duì)于任意整數(shù)n,最大公因數(shù)(2n+1,6n-1)的所有可能值是()A. 1 B. 4C. 1 或 2D. 1 , 2 或 44、設(shè)a是整數(shù),下面同余式有可能成立的是().A. a2 m 2 (mod 4)B. a2 m 5 (mod 7) C. a2 m 5 (mod 11)D. a2 m 6 (mod 13)5、如果amb(mod m), c

9、是任意整數(shù),那么以下錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()A. ac= bc(mod mc) B. m|a-b C. (a,m)=(b,m) D. a=b+mt,tCZ、填空題1、d(10010)=; 4(10010)=2、對(duì)于任意一個(gè)自然數(shù)n,為使自N起的n個(gè)相繼自然數(shù)都是合數(shù),可取N=<3、為使3n-1與5n+7的最大公因數(shù)到達(dá)最大的可能值,那么整數(shù)n應(yīng)滿足條件.4、在5的倍數(shù)中,選擇盡可能小的正整數(shù)來(lái)構(gòu)成模 12的一個(gè)簡(jiǎn)化系,那么這組數(shù)是<5、同余方程26x+1m33 (mod 74)的解是.6、不定方程5x+9y=86的正整數(shù)解是.7、5489三、計(jì)算題1、設(shè)n的十進(jìn)制表示是13xy45z ,假

10、設(shè)792 n,求x, y, z.2、求3406的末二位數(shù) 3、求(214928+40)35被73除所得余數(shù)四、證實(shí)題1、設(shè)ai, a2, , am是模m的完全剩余系,證實(shí)：(1)當(dāng) m 為奇數(shù)時(shí),ai+ a2+ + am =0 (mod m)；(2)當(dāng) m 為偶數(shù)時(shí),ai+ a2+ + am m m (mod m).2(m)2、證實(shí)：假設(shè)m>2, ai, a2, , a (m)是模m的任一簡(jiǎn)化剩余系,那么ai 0(mod m).i 13、設(shè)m > 0是偶數(shù),ai, a2, , am與bi, b2, , bm都是模m的完全剩余系,證實(shí)：ai bi, a2 b2, , am bm不是模

11、m的完全剩余系.4、證實(shí)：(i) 2730 I xi3-x;(2) 24 I x(x+2)(25x2-i)；(3) 504 I x9-x3;(4)設(shè)質(zhì)數(shù)p>3,證實(shí)：6p I xp-x初等數(shù)論練習(xí)題五一、單項(xiàng)選擇題1、設(shè)x、y分別通過(guò)模m、n的完全剩余系,假設(shè)通過(guò)模mn的完全剩余系A(chǔ).m、 n 者B是質(zhì)數(shù),那么 my nxB. mwn, 那么 my nxC. m, n =1,貝U my nxD. m, n =1,貝U mx ny2、1X3X5X-X 2022X 2022的標(biāo)準(zhǔn)分解式中11的幕指數(shù)是.A.100B.101C.99D.1023、n為正整數(shù),假設(shè)2n-1為質(zhì)數(shù),那么口是.A.質(zhì)

12、數(shù)B.合數(shù)C.3D.2kk為正整數(shù)4、從100到500的自然數(shù)中,能被11整除的數(shù)的個(gè)數(shù)是.A.33B.34C.35D.365、模100的最小非負(fù)簡(jiǎn)化剩余系中元素的個(gè)數(shù)是.A.100B.10C.40D.4二、填空題1、同余方程ax+bm0modm有解的充分必要條件是 .2、高斯稱反轉(zhuǎn)定律是數(shù)論的酵母,反轉(zhuǎn)定律是指 o3、20222022被3除所得的余數(shù)為 .4、設(shè)n是大于2的整數(shù),那么-1嘰.5、單位圓上的有理點(diǎn)的坐標(biāo)是 o6、假設(shè)3258X a恰好是一個(gè)正整數(shù)的平方,那么 a的最小值為.7、5897三、計(jì)算題1、求 32022X 72022X 132022 的個(gè)位數(shù)字2、求滿足mn= m+

13、n的互質(zhì)的正整數(shù)m和n的值1003、甲物每斤5元,乙物每斤3元,內(nèi)物每三斤1元,現(xiàn)在用100元買這三樣?xùn)|西共斤,問(wèn)各買幾斤？四、證實(shí)題1、2022是質(zhì)數(shù),WJ有2022|99 92022個(gè)2、設(shè)p是4n+1型的質(zhì)數(shù),證實(shí)假設(shè)a是p的平方剩余,那么p-a也是p的平方剩余.3、p,q是兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù),且ap-1三1 (mod q),#1三1 (mod p), 證實(shí)：apq=a (mod pq).4、證實(shí)：假設(shè) m,n都是正整數(shù),那么 (mn)= (m,n)(m,n)初等數(shù)論練習(xí)題六一、填空題1、為了驗(yàn)明2022是質(zhì)數(shù),只需逐個(gè)驗(yàn)算質(zhì)數(shù)2, 3, 5,邛都不能整除2022,此時(shí),質(zhì)數(shù)p至少是 02、

14、最大公因數(shù)(4n+3,5n+2)的可能值是3、設(shè) 3al 40!,而 3a+1|40!,即 3alI 40!,貝U a =4、形如3n+1的自然數(shù)中,構(gòu)成模8的一個(gè)完全剩余系的最小的那些數(shù)是 .5、不定方程x2+y2=z2,2|x, (x,y)=1, x,y,z>0的整數(shù)解是且僅是 .6、21x9 (mod 43)的解是.二、計(jì)算題1、將2T寫成三個(gè)既約分?jǐn)?shù)之和,它們的分母分別是3, 5和71052、假設(shè)3是質(zhì)數(shù)p的平方剩余,問(wèn)p是什么形式的質(zhì)數(shù)？3、判斷不定方程x2+23y=17是否有解？三、證實(shí)題1、試證對(duì)任何實(shí)數(shù)x,包有x+x+1=2x. 22、證實(shí)：(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),3 I (

15、2n+1);(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),3| (2n+1)03、證實(shí)：(1)當(dāng)3 1n (n為正整數(shù))時(shí),7 I (2n-1);(2)無(wú)論n為任何正整數(shù),7| (2n+1)04、設(shè) m>0, n>0,且 m為奇數(shù),證實(shí)：(2?1, 20+1) =1.初等數(shù)論練習(xí)題七、單項(xiàng)選擇題1、設(shè)a和b是正整數(shù),那么巴旦,巴旦=.a bA. 1B. aC. bD. a,b2、176至545的正整數(shù)中,13的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是.A. 27 B. 28C. 29D. 303、200!中末尾相繼的0的個(gè)數(shù)是.A. 49 B. 50C. 51D. 524、從以下滿足規(guī)定要求的整數(shù)中,能選取出模20的簡(jiǎn)化剩余系的是D.

16、 5的倍數(shù)A . 2的倍數(shù) B . 3的倍數(shù) C. 4的倍數(shù)5、設(shè)n是正整數(shù),以下選項(xiàng)為既約分?jǐn)?shù)的是21n4n 12n1n 1A.B.C.D.14n32n 15n23n 1、填空題1、314162被163除的余數(shù)是 o2、同余方程3x三5mod13的解是3、空18474、-冗:o5、為使n-1與3n的最大公因數(shù)到達(dá)最大的可能值,那么整數(shù) n應(yīng)滿足條件6、如果一個(gè)正整數(shù)具有21個(gè)正因數(shù),問(wèn)這個(gè)正整數(shù)最小是 o7、同余方程x3+x2-x-1 =0mod 3的解是三、計(jì)算題1、求不定方程x 2y 3z = 41的所有正整數(shù)解.2、有一隊(duì)士兵,假設(shè)三人一組,那么余 1人；假設(shè)五人一組,那么缺2人；假設(shè)

17、十一人一組,那么余3人.這隊(duì)士兵不超過(guò)170人,問(wèn)這隊(duì)士兵有幾人?3、判斷同余方程x286(mod 443)是否有解四、證實(shí)題1、設(shè)(a, m) = 1, d0是使ad 1 (mod m)成立的最小正整數(shù),那么(i ) do (m);(ii)對(duì)于任意的 i, j, 0 i, j do 1, i j,有 ai aj (mod m).2、證實(shí)：設(shè)a, b, c, m是正整數(shù),m > 1, (b, m) = 1,并且 ba 1 (mod m), bc 1 (mod m),記 d = (a, c),那么 bd 1 (mod m).3、設(shè)p是素?cái)?shù),p bn 1, n N ,那么下面的兩個(gè)結(jié)論中至少

18、有一個(gè)成立:(i ) p bd 1對(duì)于n的某個(gè)因數(shù)d < n成立；(11) p 1 ( mod n ).假設(shè)2|n, p > 2,那么(ii)中的mod n可以改為 mod 2n.一、單項(xiàng)選擇題1、假設(shè) n > 1,那么(n 1)!A,必要但非充分條件初等數(shù)論練習(xí)題八1 (mod n)是n為素?cái)?shù)的().B.充分但非必要條件 C.充要條件D.既非充分又非必要條件2、小于545的正整數(shù)中,15的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是().A.34B.35C.36D.373、500!的標(biāo)準(zhǔn)分解式中7的幕指數(shù)是(A.79B.80C.81D.824、以下各組數(shù)中,成為模10的簡(jiǎn)化剩余系的是().D. 1,1,

19、3,3A.1,9,-3,-1B.1,-1,7,9C.5,7,11,135、設(shè)n是正整數(shù),以下選項(xiàng)為既約分?jǐn)?shù)的是().A. 3nB.-C.n-D.-5n 22n 15n 23n 1二、填空題1、(T (120) =2、7355的個(gè)位數(shù)字是 o3、同余方程3x三5(mod14)的解是17、4、( )二o235、-J2 =o6、如果一個(gè)正整數(shù)具有6個(gè)正因數(shù),問(wèn)這個(gè)正整數(shù)最小是 o7、同余方程x3+x2-x-1 =0(mod 5)的解是三、計(jì)算題1、563是素?cái)?shù),判定方程x2 429 (mod 563)是否有解2、求出模23的所有的二次剩余和二次非剩余3、試求出所有正整數(shù)n ,使得1n +2n+ 3n

20、+4n能被5整除四、證實(shí)題1、證實(shí)：假設(shè)質(zhì)數(shù)p>2,那么2P-1的質(zhì)因數(shù)一定是2pk+1形2、設(shè)(m,n) =1,證實(shí)：m +n (m) =1 (mod mn)p pa b3、設(shè)a,b =1,a+bw 0,p 為一個(gè)奇質(zhì)數(shù),證實(shí)： a b,a b初等數(shù)論練習(xí)題九一、單項(xiàng)選擇題1、以下Legendre符號(hào)等于-1的30被-1是A. B. C. -D.111111112、100至500的正整數(shù)中,能被17整除的個(gè)數(shù)是.A. 23B. 24C. 25D. 263、設(shè) 3 |500!,但 3 1 | 500!,那么 a =.A. 245B.246C.247D. 2484、以下數(shù)組中,成為模7的完

21、全剩余系的是.A. 14, 4, 0, 5, 15, 18, 19 B. 7, 10,14,19, 25, 32, 40C. 4, 2, 8, 13, 32, 35, 135 D. 3, 3, 4, 4, 5, 5, 05、設(shè)n是正整數(shù),那么以下各式中一定成立的是.A.(n+1,3n+1)=1 B. (2n-1,2n+1) =1 C. (2n,n+1) =1 D. (2n+1,n1) =1、填空題1、25736被50除的余數(shù)是2、同余方程3x三5mod16的解是3、不定方程9x12y=15的通解是,3234、=o415、實(shí)數(shù)的小數(shù)局部記為x,那么與= 46、為使3n與4n+1的最大公因數(shù)到達(dá)最

22、大的可能值,那么整數(shù)n應(yīng)滿足條件 7、如果一個(gè)正整數(shù)具有35個(gè)正因數(shù),問(wèn)這個(gè)正整數(shù)最小是 o三、計(jì)算題1、解不定方程 9x+ 24y- 5z=1000.2、設(shè)A = xi, x2, , xm是模m的一個(gè)完全系,以x表示x的小數(shù)局部,假設(shè)a, m = 1,求axib3、設(shè)整數(shù)n 2,求:即在數(shù)列1,2, , n中,與n互素的整數(shù)之和1 i n (i,n) 14、設(shè)m > 1, (a, m) = 1, xi, x2, , x (m)是模m的簡(jiǎn)化剩余系,求：2.其中處表示x的小數(shù)局部.四、證實(shí)題1、證實(shí)：設(shè)a是有理數(shù),b是使ba為整數(shù)的最小正整數(shù),假設(shè)c和ca都是整數(shù),那么 b I co (提示：利用帶余數(shù)除法解決.)2、設(shè)p是素?cái)?shù),證實(shí)：(i ) 對(duì)于一切整數(shù) x, xp 1 1 (x 1) (x 2) (x p 1) (mod p);(ii) (p 1)!1 (mod p).3、證實(shí)：假設(shè)2|n, p是奇質(zhì)數(shù),plan-1,那么自 1.p4、證實(shí)：假設(shè)p=4m+1是一質(zhì)數(shù),那么(m) 1.pp 125、設(shè) p 是奇質(zhì)數(shù),p 1 (mod 4),那么：(2 )!)1 (mod p).初等數(shù)論練習(xí)題十、單項(xiàng)選擇題1、設(shè)p是大于1的整數(shù),如果所有不大于 Jp的質(zhì)數(shù)都不能整除p,那么p一定是A.素?cái)?shù)B.合數(shù)C.