第二章晶體的結(jié)合

1、第二章晶體的結(jié)合1. 試述離子鍵、共價(jià)鍵、金屬鍵、范德瓦爾斯和氫鍵的基本特征。解：（1）離子鍵：無(wú)方向性，鍵能相當(dāng)強(qiáng)；（2）共價(jià)鍵：飽和性和方向性，其鍵能也非常強(qiáng)；（3）金屬鍵：有一定的方向性和飽和性，其價(jià)電子不定域于2個(gè)原子實(shí)之間，而是在整個(gè)晶體中巡游，處于非定域狀態(tài)，為所有原子所“共有”；（4）范德瓦爾斯鍵：依靠瞬時(shí)偶極距或固有偶極距而形成，其結(jié)合力一般與r7成反比函數(shù)關(guān)系，該鍵結(jié)合能較弱；（5）氫鍵：依靠氫原子與2個(gè)電負(fù)性較大而原子半徑較小的原子（如O, F, N等）相結(jié)合形成的。該鍵也既有方向性，也有飽和性，并且是一種較弱的鍵，其結(jié)合能約為50kJ/mol。2. 有人說(shuō)“晶體的內(nèi)能就是

2、晶體的結(jié)合能”，對(duì)嗎？解：這句話不對(duì)，晶體的結(jié)合能是指當(dāng)晶體處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的總能量（動(dòng)能和勢(shì)能）與 組成這晶體的N個(gè)原子在自由時(shí)的總能量之差，即Eb En Eo。（其中Eb為結(jié)合能，En為組成這晶體的N個(gè)原子在自由時(shí)的總能量，E0為晶體的總能量）。而晶體的內(nèi)能是指晶體處于某一狀態(tài)時(shí)（不一定是穩(wěn)定平衡狀態(tài)）的，其所有組成粒子的動(dòng)能和勢(shì)能的總和。3當(dāng)2個(gè)原子由相距很遠(yuǎn)而逐漸接近時(shí)，二原子間的力與勢(shì)能是如何逐漸變化的？解：當(dāng)2個(gè)原子由相距很遠(yuǎn)而逐漸接近時(shí)，2個(gè)原子間引力和斥力都開始增大，但首先引力大于斥力，總的作用為引力，f（r） 0，而相互作用勢(shì)能 u（r）逐漸減小；當(dāng)2個(gè)原子慢慢接近到平衡距離r

3、°時(shí)，此時(shí)，引力等于斥力，總的作用為零，f（r） 0，而相互作用勢(shì)能u（r）達(dá)到最小值；當(dāng) 2個(gè)原子間距離繼續(xù)減小時(shí)，由于斥力急劇增大，此時(shí)，斥力開始大于引力，總的作用為斥力，f（r） 0,而相互作用勢(shì)能u（r）也開始急劇增大。4. 為什么金屬比離子晶體、共價(jià)晶體易于進(jìn)行機(jī)械加工并且導(dǎo)電、導(dǎo)熱性良好？解：由于金屬晶體中的價(jià)電子不像離子晶體、共價(jià)晶體那樣定域于 2個(gè)原子實(shí)之間，而是在整個(gè)晶體中巡游，處于非定域狀態(tài)，為所有原子所“共有”，因而金屬晶體的延展性、導(dǎo)電性和導(dǎo)熱性都較好。5. 有一晶體，在平衡時(shí)的體積為 V0，原子之間總的相互作用能為U。，如果原子間相互作用能由下式給出：U(r

4、)mrr試證明彈性模量可由U0 mn/(9V0)給出。解：根據(jù)彈性模量的定義可知K%嘰上式中利用了 PdU的關(guān)系式。dV設(shè)系統(tǒng)包含N個(gè)原子，則系統(tǒng)的內(nèi)能可以寫成號(hào) u(r)又因?yàn)榭砂袾個(gè)原子組成的晶體的體積表示成最近鄰原子間距V Nv Nr3r的函數(shù)，即(3)上式中為與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)的因子(如面心立方結(jié)構(gòu),.2/2 )。又因?yàn)?dV)1Nr2(dU)R°3N(4)(洋)%drdVddr13N r2y(2 ro考慮平衡條件d2U1(dVy)Vo(dV)將(6)式代入(ro2mmro2mmro2nnro3mmro3nnro(5)2nnro1)式得:Vo6.上題表示的相互作用能公式中,3 1

5、o 1o m離解能為4eV,試計(jì)算解：在平衡位置時(shí)有mm romn9Vo2u(r)nn ro19Vo2，那么mn気Uo(5)式可化為mmronnrromr。眾(Uo)(6)Uomn /(9Vo)2, n 10 ,且兩原子構(gòu)成穩(wěn)定分子時(shí)間距為之值。2 ro1oroEk(1)du(r)dr23r°10TT0r°(2)將離解能Ek4eV和r01010m03A代入（1）和（2）式可得:4.51019eV - m,5.9 109610eV - m。7.設(shè)某晶體每對(duì)原子的勢(shì)能具A B-9的形式，平衡時(shí)r rr02.8 10 10m，結(jié)合能為U 8 10 19J，試計(jì)算A和B以及晶體的有

6、效彈性模量。解：由題意有以下方程成立:A-9 r°r09A10 roBro把ro，U的具體數(shù)值代入上述方程組,即得:A(2.8 10 10)99A10、1o2.8 10 10B1019(2.810 ) (2.810、210 )由此可得： A 1.0578 10105 Jm9 , B2.52 1028J該晶體的有效彈性模量為:0（北dV2)V。又（上式中N表示晶體中所含的原子個(gè)數(shù),表示與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)的因子）19 Nr。(為)r01(90A119 Nr° r°2B) = _1_r03= 9 N113.2797 1011Nv N8.KCI晶體的體彈性模量為 1.74 X

7、 1010Pa,若要使晶體中相鄰離子間距縮小0.5%，問(wèn)需要施加多大的力。解：設(shè)KCI晶體內(nèi)包含N個(gè)原胞，綜合考慮到庫(kù)侖吸引能和重疊排斥能，則系統(tǒng)的內(nèi) 能可以寫成此外，由于KCl每個(gè)原胞體積為2r3，則晶體的總體積為2Nr(2)其中（1 ）和（2）式中的r都指KCl晶體中相鄰 Q和C之間的距離。 根據(jù)體彈性模量的定義有：V空dV Vo(3)Vo設(shè)平衡時(shí)晶體內(nèi)相鄰離子間的距離為ro，則平衡體積V。 2Nr03，那么平衡時(shí)的體彈性模量為KVd2UdV2。又根據(jù)KCl晶體內(nèi)能表達(dá)式Vo1）式及平衡條件（影）V。0，可得電ronBn 1ro1 n 1 ro 。n將（1）和（2）式代入（3 ）式，并利用

8、平衡條件可得3 ro2ddr3ddr3r roro g丄 g 旦_j_d2r ro18 dr r2 ro drr rn r ro 18ro dr2上式中的前一項(xiàng)由于平衡條件而等于o，后一項(xiàng)求微商后利用平衡條件化簡(jiǎn)得由此知A18Kro4n 1118ro2An(n 1)B(n 1)A18r。4當(dāng)使晶體中相鄰離子間距縮小o.5%時(shí)，即使相鄰離子間距變?yōu)閞1ro（1 o.5%） o.95r。，此時(shí)需施加的外力為duA nBdrrr12n 11A1)r3，故(2)在面心立方點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積+（'2r）4、23Tr，(3)在體心立方點(diǎn)陣，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積2 r）3(4)在金

9、剛石點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積1/438（.3r）18Kr；(11)0.952(n 1)(0.95n110查書中表2.2及表2.5可知，n 9.0, r03.14 10 m代入上式可得F 2.17 10 9N9. 由N個(gè)原子(離子)所組成的晶體的體積可寫成 V Nv N r3。式中v為每個(gè)原子(離 子)平均所占據(jù)的體積；r為粒子間的最短距離；為與結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。試求下列各種結(jié)構(gòu)的值：（1）簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣;（2）面心立方點(diǎn)陣;（3）體心立方點(diǎn)陣;（4）金剛石點(diǎn)陣；（5）NaCl點(diǎn)陣；解：(1)在簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積(5)在NaCI點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積133-)

10、3 r3 ； 故82個(gè)原子勢(shì)為：8.39；10. 對(duì)于由N個(gè)惰性氣體原子組成的一維單原子鏈，設(shè)平均每u（x）u0 G12 p。求：（1）原子間的平均距離 X。；（2）每個(gè)原子的平均晶格能；（3 ）壓縮系數(shù)k。解：（1）在平衡時(shí)，有下式成立du(x)"12122 6 6dxU0137xx0X。X。(1)由上式可得x0（2）設(shè)該N個(gè)惰性氣體原子組成的一維單原子鏈的總的相互作用勢(shì)能為U （x），那么有U(x)Uo()12X1j2( )6X1j(2)設(shè)X為2個(gè)原子間的最短距離,則有xiiajX，那么（2 ）式可化為U(X)Nuo212 6A(X)B(7)(3)其中（3）式中A112aj(11

11、2121312)2.00048，16aj(12636)4.07809。那么每個(gè)原子的平均晶格能為U（x。）U02122.00048()4.07809()U0（3）根據(jù)壓縮系數(shù)的定義可知,1 dVkV dP1dV1dV21ZdNx2()N dX dX(4)將（3）式代入（4）式得:N22x14x8011.若NaCI晶體的馬德隆常數(shù) M =1.75 ,晶格常數(shù)a=5.64 A ,幕指數(shù)穩(wěn)定極限時(shí)，求：（1）離子間距增加多少？（2）負(fù)壓強(qiáng)的理論值是多大？解：（1）設(shè)該NaCI晶體的含有N個(gè)離子，則其相互作用勢(shì)能為n=9。晶體拉伸而達(dá)到N Mq2U(r)240r(1)上式中的r指NaCI晶體中相鄰兩離

12、子間的距離。又設(shè)NaCI晶體處于平衡狀態(tài)時(shí)，相鄰兩離子間的距離為由平衡條件可知dU(r)drr r0N Mq22 40r2nBFT3-r(2)r ro由（2）式可得B嚴(yán)討。當(dāng)晶體拉伸而達(dá)到穩(wěn)定極限時(shí)，此時(shí)相鄰離子間的引力達(dá)到最大值，即有2d U(r)dr2ri2Mq230rn(n 1)B(3)ri將B 衛(wèi)r0n1代入（3）式可得4因而離子間距增加了(2)由（1）11ro5.64203.45 Arr1 r03.4502.820.63 A問(wèn)可求出晶體拉伸穩(wěn)定時(shí)負(fù)壓強(qiáng)的理論值為dUdr rri21 Mq n 1n 104 014.07809 6 7 67OuoNX Nu0 2.00048 12 13

13、 1212 4 3.14 8.8541.75 (1.9 10 )210 12 (3.45 10 10)2192109 11.75 (1.9 10 19)2 (2.82 10 )4 3.14 8.854 10 12 (3.45 1010)9 191.91 10 Pa12.已知有N個(gè)離子組成的NaCI晶體，其結(jié)合能為:U(r)號(hào)占2 4 °rpn)。且當(dāng)晶體處于平衡時(shí),這兩者對(duì)相互作用勢(shì)能的貢獻(xiàn)相同。r若排斥項(xiàng)由ce 來(lái)代替，r求出n和的關(guān)系。解：由平衡條件可知dU(r)drr02e4 oro2也）0 r。由（1）式可求得(2)1 °n百 -2 e又由題意有ce將（2）式代入（

14、3）式可得:r°In In C n In r014°n 肓2en |4 onIn In CIn 廠n 1e2的均勻流體滲滿而不13.假定在某個(gè)離子晶體中，某離子間的空間能夠被一種介電常數(shù)為至于影響離子間的排斥作用，但庫(kù)侖相互作用減少為原來(lái)的1/ 。計(jì)算這種情況下 NaCI的點(diǎn)陣常數(shù)和結(jié)合能。解：由題意可知，當(dāng)NaCI晶體被介電常數(shù)為的均勻流體滲滿時(shí)， 其相互作用勢(shì)能為：N Mq2U(r)2 40 r(1)由平衡條件可知有dU(r)drr02N / Mq( 24 0 r。吧）0r。(2)由（2 ）式可求得NaCI晶體處于平衡狀態(tài)時(shí),4 0 nBMq2相鄰兩個(gè)離子間的距離為1n

15、 1那么NaCI的點(diǎn)陣常數(shù)為a2ro2 4 o nB0Mq2結(jié)合能為EbU（r。）嚴(yán)2(41(nB)廿(Mq2 (4 02(nB)市14.考察一條直線，其上載有q交錯(cuò)的2N個(gè)離子，最近鄰之間的排斥能為AoRn（1）試證明在平衡時(shí),U(Ro)2Nq21n2“1、(1 -)4 0R0n（2）令晶體被壓縮，使 Ro）。試證明在晶體被壓縮過(guò)程中，外力做功的主項(xiàng)對(duì)- 1 2每離子平均為2C 。其中,(n 1)q2l n240 f解：（1）線型離子晶體的結(jié)合能為2U(R) N 七An aj其中（1）式中的M（寸），Rn)(1)即為線型離子晶體的馬德隆常數(shù)，等于2ln2 ；Anaj當(dāng)晶體處于平衡時(shí)，有平衡條件:dU(R)dRR）N(打(2)量為由（2）式可得A曲4 onRon1(3)將（3）式代入（1）,并將M(2)使 RoRo(1)，當(dāng)URo(1) U(Ro)上式中根據(jù)平衡條件有d 2U(R)dR2R RoddR離子晶體被壓縮2ln2也代入（1）可得:U（R。）很小時(shí),dU(R)dRdU(R)dRR Rol 2NR02Nq2"2(1Ro0，另有nRn 10 Ro丄)nRo附近把U （R）展開為泰勒