第五公設(shè)與平行公理的等價(jià)證明

1、第6章幾何公理法簡介6.3 第五公設(shè)問題6.3.1普雷菲定理1795年普雷菲提出一條跟歐氏第五公設(shè)等價(jià)的命題，它的直觀明顯性比第五公設(shè)好些，通稱歐幾里得幾何平行公理：通過直線外一點(diǎn)有唯一直線與該線平行.先證第五公設(shè)蘊(yùn)涵平行公理.設(shè)u為平面上一已知直線，M是不在u上的任一已知點(diǎn)，求證有唯一直線通過 M而與u不相交.作MN _u于點(diǎn)N，用u'表示在M與MN垂直的直線，貝U u'不可能與u相交，否則 u,u',MN將構(gòu)成一三角形，與外角定理矛盾.平行線的存在性證明了.再設(shè)u'是通過M與u'相異的任一直線，那么 u''必然在直線 MN的某一側(cè)跟

2、MN組成銳角應(yīng)用眼前的假設(shè)第 五公設(shè)于兩直線u, u''及截線MN，可知u''必與u在這一側(cè)相交.再證平行公理蘊(yùn)涵第五公設(shè).設(shè)直線a,b被直線c所截，在c一側(cè)的內(nèi)角之和:< 2d （ d 表直角），從而另一側(cè)內(nèi)角和：i：2 2d .通過a跟c的交點(diǎn)引直線a',使其與c所成的角：一，：/滿足：2 打=2d, ： 1：2 =2d .于是：打=2d -、2二-1,所以a'b ,因?yàn)槿鬭'跟b相交，要得出與外角定理相矛盾的結(jié)果.由假設(shè)通過a,c的交點(diǎn)只有一直線與 b平行，所以與a'相異的直線a必與b相交.還要 證明a和b相交于：-2

3、和S所在的一側(cè)，這可從 2d - =時(shí)以及外角定理立即得出.6.3.2 薩開里的試證1733年意大利數(shù)學(xué)家薩開里出版了名為免除一切污點(diǎn)的歐幾里得，這里“歐幾里得” 指原本在這里他對(duì)第五公設(shè)的試證工作發(fā)展得相當(dāng)遠(yuǎn)，得到一系列結(jié)果如果在關(guān)鍵的時(shí)刻他再推進(jìn)一步， 高斯、波里埃和羅巴切夫斯基的發(fā)現(xiàn)就可提前一世紀(jì).他的后繼人也沒做這樣的工作似乎他的工作被人遺忘了后來意大利有名的數(shù)學(xué)家倍爾脫拉米（18351900年）才指出，一般歸之于勒戎得、羅巴切夫斯基、波里埃的一些定理，薩開里已 發(fā)現(xiàn)過了.他討論一種四角形被稱為“薩開里四角形”，兩下底角是直角，兩側(cè)邊相等：AC =BD, . A =/B =d.定理1在

4、四邊形CABD中，若._A = . B = d 且 AC = BD，貝VC D.證明 我們只需取下底 AB的中垂線KL為對(duì)稱軸折疊即得.由此推出 .KLC =/KLD =d,CL 二 LD即是說：薩開里四角形兩底中點(diǎn)的聯(lián)線是兩底的中垂線.定理2 設(shè)四邊形 ABCD中.A = B = d，且AC ： BD，則.C D 證明 延長AC至C 使 AC丄BD，則按定理1有C ZCDB D又在 DCC 應(yīng)用外角定理得.C . C I所以C C ZD薩開里關(guān)于他的四角形 CABD曾做過三種假設(shè)： 銳角假設(shè)：.Cd，于是推出CD AB，并且三角形的內(nèi)角和小于二直角. 直角假設(shè)：.C=d，于是推出CD =AB

5、，并且三角形的內(nèi)角和等于二直角。. 鈍角假設(shè)：.C =/D d，于是推出CD ： AB，并且三角形的內(nèi)角和大于二直 角.由于推理步驟相似，我們只就銳角假設(shè)討論.定理3在銳角假設(shè)下有CD AB .證明既然假設(shè).C ： d =/A,又由定理1. K=d于是鑒于定理1和藹從四角形AKLC得CL AK.故有 CD 二 2CL 2AK 二 AB，即 CD AB 定理4 在銳角假設(shè)下，三角形的內(nèi)角和小于兩直角.證明 由于一個(gè)三角形可分解成兩個(gè)直角三角形，我們只須就直角三角形加以證明設(shè)在ABC中，.A=d.如圖作BD _ AB并取BD = AC，則CABD為薩開里四角形于是 由銳角假設(shè)和定理 3, CD A

6、B.現(xiàn)在就 ABC和 DBC看，有兩邊相等而第三邊不等， 所以，從而有> -：>- d （作圖）所以A' 2d薩開里證明過，只要在一個(gè)薩開里四角形中，上底角是直角，那么第五公設(shè)就成立. 他象所有數(shù)學(xué)家一樣相信直角假設(shè)成立面另外兩個(gè)假設(shè)必須拋棄他首先把鈍角假設(shè)導(dǎo)致矛 盾，所以只要將銳角假設(shè)也導(dǎo)致矛盾，那么第五公設(shè)就證明了. 他從銳角假設(shè)出發(fā)得出一系列屬于羅巴切夫斯基幾何的命題，盡管這些命題與我們的直觀不相符，卻找不到一個(gè)邏輯矛盾。但在一連串正確推理以后，他發(fā)現(xiàn)倘若銳角假設(shè)成立，那么無限地接近的兩直線在無窮 遠(yuǎn)點(diǎn)應(yīng)有共同的垂線，他認(rèn)為這是"與直線的本質(zhì)抵觸的.”于是他

7、認(rèn)為第五證明了.明白地，他本人也感到銳角假設(shè)的邏輯矛盾并未找到，他重新回到證明它“自相矛盾”的問題.為此，他用兩種方法計(jì)算一條線段的長度，得到兩個(gè)結(jié)果，他認(rèn)為找到矛盾了實(shí)際是他計(jì)算中有錯(cuò)誤.6.3.3勒戎得的試證勒戎得不僅在分析和力學(xué)方面有出名的工作，在幾何方面也很有成就.1794年他的著作幾何原理對(duì)后來的教科書有很大的影響.他試證第五公設(shè)時(shí)討論了三種互相排斥的假疋：I. 三角形的內(nèi)角和大于兩直角，II .三角形的內(nèi)角和等于兩直角，III .三角形的內(nèi)角和小于兩直角.他用正確的推理把第一個(gè)假定推向矛盾，若能把第三個(gè)假定也引向矛盾，那就證明了三角形內(nèi)角和等于兩直角.同時(shí)也就證明了第五公設(shè).可惜在

8、把第三個(gè)假定引向矛盾時(shí)，他自己不覺察用上一個(gè)與第五公設(shè)等價(jià)的命題.定理I如果每個(gè)三角形的內(nèi)角和等于二直角，則第五公設(shè)成立.證明 設(shè)每個(gè)三角形的內(nèi)角和為二直角，又設(shè)a為一直線， A為其外一點(diǎn)。求證通過 A只有一直線與a不相交.作AB _ a于B，并過A作直線a _ AB，我們知道a 與 a不相交.設(shè)b是通過A的任意直線，而一：是b與線段AB所成的銳角.我們來證明直線b與直線a相交在銳角所在的一側(cè).為此，在直線a上銳角所在的一側(cè)作點(diǎn) B1使BBi =AB .再在同一側(cè)作 B2使BiBABi .一般，作點(diǎn) Bn使BnBn = AB.我們來觀察三角形ABBi,ABiB2,ABnjBn.因?yàn)榧僭O(shè)每個(gè)三角

9、形的內(nèi)角和為 二，所以在等腰 ABBi中，頂 點(diǎn)為A和Bi的內(nèi)角都等于 二4.由此推出：ABiB2中頂點(diǎn)為B2的內(nèi)角等于 二8 . 一般，在ABn4Bn中頂點(diǎn)為Bn的內(nèi)角等于"2n i .因之BAB =二2_二2.既然設(shè)1為銳角，就有二二2 一 ；，其中； 0 .取n充分大，使2" i；于是有 1 - BAB n這樣，直線b夾在 BABn的邊AB和ABn中間，因此它與直線a應(yīng)相交于點(diǎn)B與Bn之 間即是說，通過 A只有直線a 與a不相交證完.現(xiàn)在讓我們回過來討論三角形的內(nèi)角和問題，并引進(jìn)兩符號(hào).設(shè)ABC為一三角形，則S(ABC) = A B C, D ABC RS ABC分別

10、稱為這三角形的角和和角虧(虧值)定理II在每個(gè)三角形 厶中，因之證明 設(shè) ABC的內(nèi)角為：，,并設(shè)定理的反面成立：a + P + Y環(huán)延長邊AB，并在其上作n-1個(gè)三角形BBiCi,BiB2C2,，BnBnCn，使與 ABC 都合同以表示角二-：- -，貝y.-二一- ：:：.易見三角形CBCjCBC?,，Cn/Bn/Cn4都合同，因之-Cn_2CnJ - e由于 A B C和厶CBC!有兩邊分別相等而夾角不等，因之有c e 寫出折線ACC!C2CnBn的長度大于封閉線段 AB.，得b n -1 e a nc或n c-e :：ab-e因a b-e c-e 0,可見若定理II的反面成立，那么不論

11、正整數(shù)n為何值總有n c-e :： a b -e與阿基米德公理抵觸因此定理 II得到反證.注意：在此證法中用過阿基米德公理，曾無限延長一直線，因之在非阿基米德空間或 空間不是無窮的，定理II就未必成立.定理III只要有一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于二直角，那么每個(gè)三角形的內(nèi)角和等于二直角. 先證幾個(gè)引理.引理1設(shè) ABC被截線BP分為兩個(gè)三角形，則它的角虧等于兩個(gè)部分三角形的角虧之 和.事實(shí)上,D ABP 一 二-1、iD BPC -二 - -2,因之D ABP D BPC =2 ；段亠 Pi2、12=2二 _- r 亠,-'2：亠 ' i-二 _-1 】*2 卜 口-D ABC .引

12、理2設(shè)Bi,Ci是AABC邊AB, AC上的點(diǎn)，貝U厶ABG的角虧不會(huì)超過 ABC的角虧.事實(shí)上，由定理II，三角形的角虧是大于或等于零的，于是由引理1得D ABC = D ABC1 D BC1C工 D AB1C1 D B1C1B D BC1C ,所以D AB1C1 乞 D ABC .引理3 設(shè)在兩個(gè)直角三角形 ABC和ABC 中，直角邊 AC和BC分別大于直角邊 AC 和B C，并設(shè)ABC的內(nèi)角和為兩直角，貝U - A B C的內(nèi)角和也等于兩直角.移動(dòng) A B C 使 C重合于C且A ,B 分別落在AC, BC上A , B處由引理2,D ABC - D A B "C D ABC由假

13、設(shè)D ABC =0，又由定理II, D A B C _ 0 可見D A BC =0即S ABC 二：.引理4 設(shè)有一個(gè)直角三角形內(nèi)角和為二直角，則每個(gè)直角三角形的內(nèi)角和都是二直角.我們來討論兩個(gè)直角三角形ABC和A B C 已知 ABC的內(nèi)角和為二直角，要證A B C 內(nèi)角和也是二直角.如果前者兩條直角邊分別大于后者的直角邊，則結(jié)論由引理3立刻得到.如果 ABC至少有一條直角邊短于-ABC 的直角邊，則為了證明引理4,我們可作出一個(gè)新的直角三角形使其內(nèi)角和象lABC樣等于兩直角，而它的直角邊有充分大的長度.這只要在 ABC旁添加一個(gè)全等的BAC，使斜邊重合而所得的四邊形對(duì)邊相等.因 ABC和

14、ABC的內(nèi)角和都等于兩直角， 顯而易見四邊形的內(nèi)角都是直角.于是移動(dòng)就可用相等的矩形鋪滿平面.容易知道圖上用粗線表示的是矩形，用對(duì)角線分它成兩個(gè)全等的直角三角形，它們的 內(nèi)角和都等于兩直角這樣的直角三角形的直角邊，顯然可以做到有適當(dāng)?shù)拈L度.既然可以作出一個(gè)直角三角形，其內(nèi)角和為二直角，而其直角邊都大于二ABC 的直角邊，應(yīng)用引理3,可知隨意取的直角三角形 ABC 的內(nèi)角和等于兩直角.我們已可證明定理III 了：只要有一個(gè)三角形它的內(nèi)角和等于兩直角，則每個(gè)三角形的 內(nèi)角和都是二直角.設(shè)有 ABC和 ABC，已知S ABC 1；=專，求證S A作出兩個(gè)三角形所有的高，其中至少各有一個(gè)頂點(diǎn)的高它的垂

15、足落在對(duì)邊上而不在邊 的延長線上分別取適當(dāng)?shù)挠浱?hào)，無妨設(shè)這樣的頂點(diǎn)在. ABC是A，而在 A B C是A.記所說的高為 AP和A P 按引理2,D ABP < D ABC ;由假設(shè)，D ABC =0;而定理 II, D ABP - 0;所以得 D ABP = 0 ,即 S ABP 二二既有了一個(gè)直角 ABP其內(nèi)角和為二，按引理4有S A BP' i=M,S A PC'=乩相加得S A B C 二二.確立了定理I-III，人們自然想方設(shè)法證明這樣一個(gè)命題：有一個(gè)三角形存在，它的 內(nèi)角和等于二直角.因?yàn)槿绻@樣一個(gè)三角形找到了， 按定理III ,每個(gè)三角形的內(nèi)角和都是 二直角

16、，再應(yīng)用定理I，就證出第五公設(shè)了.下面是這命題的一個(gè)錯(cuò)誤的證明，請(qǐng)注意錯(cuò)在何處.設(shè)有任一銳角 O，取其一邊上一點(diǎn) B向另一邊作垂線 BA 由定理II, OAB的內(nèi)角和不會(huì)超過二直角，即 D OAB _0 我們要證明的是 D OAB =0 假如相反地D OAB二； 0，在邊OA上取點(diǎn)A1使有AAOA，聯(lián)BA1 ,并在A1作直線OA的垂線此垂線與直線 OB的交點(diǎn)用B1表示.由引理1,D OA1B1 = D OAB D BAA1 D BA1B1 .OAB 跟 AAB 合同，因此 D BAA1 二 D OAB 二，而D OA1B1 _2 ；.再在已知角的邊 OA上取點(diǎn)A2使A1A2 = OA1，在A2引OA的垂線，用B2表示它與直線0B的交點(diǎn)仿上得D OA2B2 - 4 ； 繼續(xù)如此，我們作出 OAnBn滿足D OAnBn 一2.取充分大的n使2n ； 二，就得出D OAnBn二但三角形的角虧不可能大于 : 所以反證了 D OAB =0,SOAB二二由上所說，第五公設(shè)也就證明了.利用第五公設(shè)是不行的