數(shù)學建模之最優(yōu)化的產(chǎn)出水平

1、最優(yōu)化的產(chǎn)出水平 模型（1）：假設某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，在生產(chǎn)過程中，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量是不相關(guān)的，但兩種產(chǎn)品在生產(chǎn)技術(shù)上又是相關(guān)的，即總成本C是產(chǎn)出量 和 的函數(shù)：C = C( , ). 另外，在經(jīng)濟學中總認為產(chǎn)出量與銷售量是一致的，所以總收益R也是 和 的函數(shù)：R = R( , ). 要求確定每種產(chǎn)品的產(chǎn)量，使得廠商獲得最大的利潤. 模型（2）：假設某廠商經(jīng)營兩個工廠，它們都生產(chǎn)同一種產(chǎn)品且在同一市場上銷售.由于兩廠的經(jīng)營情況不同，生產(chǎn)的成本有所不同，需要確定每個工廠的產(chǎn)量，使得廠商獲利最大. 1q1q1q1q2q2q2q2q相關(guān)知識點 1.多元函數(shù)的極值 2.極值的必要條件和充分條件 解題方法

2、已知成本函數(shù)和需求函數(shù)，根據(jù)總利潤與總收益和總成本的關(guān)系，得到利潤函數(shù)，再利用多元函數(shù)極值的必要條件和充分條件求出利潤的極大值，根據(jù)問題的實際意義知此極大值也即所求的最大值. 解題過程，則廠第一步：求模型（1）的解假設某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別是1q2q),(21qqCC ),(21qqRR 和. 若生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的總成本為 而銷售這兩種產(chǎn)品的總收益為 商的利潤函數(shù)是 解題過程第二步：由極值存在的必要條件 1112220,0LRCqqqLRCqqq有2211qCqRqCqR（1） 解題過程現(xiàn)記 第三步：2211,qRMRqRMR，稱為邊際收益，并記 2211,qCMCqCMC，稱為邊

3、際成本（總成本函數(shù)的導數(shù)或偏導數(shù)稱為邊際成本，總收益的導數(shù)或偏導數(shù)稱為邊際收益）. 解題過程第四步：于是 （1）式即 1122,.MRMCMRMC （2）這說明，工廠為了獲得最大利潤，每種產(chǎn)品都應達到這樣的產(chǎn)出水平，使得邊際收益恰好等于邊際成本. 解題過程第五步：模型(1) 設某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，總成本函數(shù)為 52222121qqqqC又兩種產(chǎn)品的需求函數(shù)分別是 22114110,26pqpq21, pp（這里 分別是兩種產(chǎn)品的價格）.為使工廠獲得最大利潤，試確定兩種產(chǎn)品的產(chǎn)出水平. 解題過程第六步：22114110,26pqpq解 由 知，兩種產(chǎn)品的價格 ,440,262211qpqp于是總收

4、益函數(shù) 1 1221122221212(26)(404)26404.Rp qp qq qq qqqqq解題過程第七步：及2211840,226qMRqMR有 ,22840,22226212211qqqqqq即 ,205,1322121qqqq根據(jù)（2）式，由 221122MCqqMC解題過程第八步：解得 容易驗證這組解滿足極值存在的充分條件，顯然，當兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為5和3時，工廠獲利最大.所獲最大利潤為CRL)44026(222121qqqq3522212121)52(qqqqqq=120. . 3, 521qq解題過程第九步：假設某廠商經(jīng)營兩個工廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，并在同一市場上銷售.設兩

5、家廠的產(chǎn)量分別是 21, pp，若總成本函數(shù)為 1122()(),CC qC q總收益函數(shù)為 12( )(),RR QR qq這里 21qqQ為總產(chǎn)量.因此，利潤函數(shù)為 ).()()(2211qCqCQRCRL兩個廠生產(chǎn)成本不同，它們的成本函數(shù)分別是 )(),(2211qCqC模型（2）的解，則 解題過程第十步：由極值存在的必要條件 11112222dd0,dddd0ddCLRQqQqqCLRQqQ qq 得 )()()(2211qCqCQR，即 21MCMCMR（3） 上式說明，最優(yōu)產(chǎn)出水平應使每個工廠的邊際成本等于總產(chǎn)出的邊際收益. 解題過程.為使利潤最大，試確定第十一步：模型(2) 一廠商經(jīng)營兩家工廠，其成本函數(shù)是 6231211qqC4222222qqC和，而價格函數(shù)為 QP674，其中 21qqQ每個工廠的產(chǎn)出水平. 解 由于 26)(1111qqCMC. 24)(2222qqCMC， 又總收益為 2674QQQPR，所以邊際收益為 .1274QMR解題過程第十二步：由（3）式得 24)(1274, 26)(1274221121qqqqqq解之，得 . 3, 221qq 此解也滿足極值存在的充分 條件