離散數(shù)學習題解答

1、離散數(shù)學習題答案習題一1. 判斷下列句子是否為命題？若是命題說明是真命題還是假命題。（1）3是正數(shù)嗎？（2）x1=0。（3）請穿上外衣。（4）210。（5）任一個實數(shù)的平方都是正實數(shù)。（6）不存在最大素數(shù)。（7）明天我去看電影。（8）9512。（9）實踐出真知。（10）如果我掌握了英語、法語，那么學習其他歐洲語言就容易多了。解：（1）、（2）、（3）不是命題。（4）、（8）是假命題。（5）、（6）、（9）、（10）是真命題。（7）是命題，只是現(xiàn)在無法確定真值。2. 設P表示命題“天下雪”，Q表示命題“我將去書店”，R表示命題“我有時間”，以符號形式寫出下列命題。（1）如果天不下雪并且我有時間，

2、那么我將去書店。（2）我將去書店，僅當我有時間。（3）天不下雪。（4）天下雪，我將不去書店。解：（1）（PR）Q。（2）QR。（3）P。（4）PQ。3. 將下列命題符號化。（1）王皓球打得好，歌也唱得好。（2）我一邊看書，一邊聽音樂。（3）老張和老李都是球迷。（4）只要努力學習，成績會好的。（5）只有休息好，才能工作好。（6）如果a和b是偶數(shù)，那么a+b也是偶數(shù)。（7）我們不能既游泳又跑步。（8）我反悔，僅當太陽從西邊出來。（9）如果f(x)在點x0處可導，則f(x)在點x0處可微。反之亦然。（10）如果張老師和李老師都不講這門課，那么王老師就講這門課。（11）四邊形ABCD是平行四邊形，當且

3、僅當ABCD的對邊平行。（12）或者你沒有給我寫信，或者信在途中丟失了。解：（1）P：王皓球打得好，Q：王皓歌唱得好。原命題可符號化：PQ。（2）P：我看書，Q：我聽音樂。原命題可符號化：PQ。（3）P：老張是球迷，Q：老李是球迷。原命題可符號化：PQ。（4）P：努力學習，Q：成績會好。原命題可符號化：PQ。（5）P：休息好，Q：工作好。原命題可符號化：QP。（6）P：a是偶數(shù)，Q：b是偶數(shù)，R：a+b是偶數(shù)。原命題可符號化：（PQ）R。（7）P：我們游泳，Q：我們跑步。原命題可符號化：（PQ）。（8）P：我反悔，Q：太陽從西邊出來。原命題可符號化：PQ。（9）P：f(x)在點x0處可導， Q

4、：f(x)在點x0處可微。原命題可符號化：P Q。（10）P：張老師講這門課，Q：李老師講這門課，R：王老師講這門課。原命題可符號化：（PQ）R。（11）P：四邊形ABCD是平行四邊形，Q：四邊形ABCD的對邊平行。原命題可符號化：P Q。（12）P：你給我寫信，Q：信在途中丟失了。原命題可符號化：P （PQ）。4. 判斷下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。（1）(QRS) （2）(P (RS)（3）(PQ) (QP)（4）(RSF)（5）(P(QR)(PQ) (PR)解：（1）、（2）、（5）是合式公式，（3）、（4）不是合式公式。5. 否定下列命題： （1） 桂林處處山清水秀。（2）

5、 每一個自然數(shù)都是偶數(shù)。解：（1）桂林并非處處山清水秀。（2）并不是每一個自然數(shù)都是偶數(shù)。或：有些自然數(shù)不是偶數(shù)。6. 給出下述每一個命題的逆命題、否命題和逆否命題。（1） 如果天下雨，我將不去。（2） 僅當你去我才不去。（3） 如果=b24ac<0，則方程ax2+bx+c=0無實數(shù)解。（4） 如果我不獲得獎學金，我就不能完成學業(yè)。解：（1）逆命題：如果我不去，那么天下雨。否命題：如果天不下雨，我就去。逆否命題：如果我去，那么天不下雨。（2）逆命題：如果你去，我將不去。否命題：如果我去，你將不去。逆否命題：如果你不去，我就去。（3）逆命題：如果方程ax2+bx+c=0無實數(shù)解，則=b24

6、ac<0。否命題：如果=b24ac0，則方程ax2+bx+c=0有實數(shù)解。逆否命題：如果方程ax2+bx+c=0有實數(shù)解，則=b24ac0。（4）逆命題：如果我不能完成學業(yè)，那么我沒有獲得獎學金。否命題：如果我獲得獎學金，我就能完成學業(yè)。逆否命題：如果我就能完成學業(yè)，那么我就獲得獎學金。7. 求下列各式的真值表。（1）P(RS) （2）(PR) (PQ)（3）(PQ) (QP)（4）(PQ) R（5）(P(QR)(PQ) (PR)解：（1）P(RS)PRSRSP(RS)1111111011101111000001111010110011100001（2）(PR) (PQ)PQRPRPQ(

7、PR) (PQ)111111110011101101100000011011010011001011000011（3）(PQ) (QP)PQPQQP(PQ) (QP)11111101110111100001（4）(PQ) RPQRQPQ(PQ) R111011110010101111100110011000010000001111000110（5）(P(QR)(PQ) (PR)PQRQRP(QR)PQPR(PQ) (PR)原公式1111111111100010011011101111001100110111111110100111110011111110001111118. 用真值表判斷下列公

8、式的類型：(1) PQQ(2) (PQ)(RS)(PR)(QS) 解：(1) PQQPQQPQPQQ11011101100100100110（1）為可滿足式。(2) (PQ)(RS)(PR)(QS)PQRSPQRS(PQ)(RS)PRQS(PR)(QS)原公式11111111111111010111111101111111111001111111101101111111010000100110010111111100001110000111111111101101001111010111101110100111011100111111111001010110000001111011100001

9、110011（2）為可滿足式。9. 證明下列等價式。（1）P(QP) ÛP(PQ)（2）(P Q)Û (PQ) (PQ)（3）(PQ)Û PQ（4）(P Q)Û (PQ) (PQ)（5）P(QR) Û (PQ) R（6）(PR) (QR)Û (PQ) R（7）(PQ)R) (Q(SR)Û (Q(SP) R證明：（1）P(QP) ÛP(QP) ÛP(PQ)ÛP(PQ)（2）(P Q)Û(PQ) (PQ) Û(PQ) (PQ) Û (PQ) (PQ)（3）(PQ)

10、19; (PQ) ÛPQ（4）(P Q)Û (PQ)(QP) Û (PQ) (QP) Û (PQ) (PQ)（5）P(QR) Û P(QR) Û(PQ) R Û (PQ) R（6）(PR) (QR)Û (PR) (QR) Û (PQ)RÛ(PQ)RÛ (PQ) R（7）(PQ)R) (Q(SR)Û (PQ) R) (Q(SR) ÛQ(PS)RÛ(Q(SP) R Û(Q(SP) R Û (Q(SP) R10. 使用恒等式證明下列各式，并寫

11、出它們對偶的公式。（1）(PQ)(PQ) P（2）(PQ) (PQ)(PQ)(PQ)（3）Q(PQ)P) T證明：（1）(PQ)(PQ) (PQ)(PQ)P(QQ) PTP（2）(PQ) (PQ)(PQ)P(QQ)(PQ)PF(PQ) P(PQ)(PP)(PQ) F(PQ)(PQ) (PQ)（3）Q(PQ)P)Q(PQ)P) Q(PQ)P( QPP ) (QPQ) TTT11. 試證明，不是全功能聯(lián)結詞集合。證明：若是最小聯(lián)結詞組，則P( P.)對所有命題變元指派T，則等價式左邊為F，右邊為T，等價式矛盾。若是最小聯(lián)結詞組，則P P ( P( P.).)對所有命題變元指派T，則等價式左邊為F，

12、右邊為T，等價式矛盾。12. 證明下列蘊涵式：（1）PQ(PQ) （2）P (QP) （3）(P(QR) ( PQ) (PR)證明：（1）PQ(PQ)( PQ)(PQ) (PQ)(PQ)P(QQ)T因為PQ(PQ)為永真式，所以PQ(PQ)。（2）P ( QP) P(QP) Q(PP) T因為P ( QP)為永真式，所以P (QP)。（3）(P(QR) ( PQ) (PR) (P(QR)(PQ) (PR)(P(QR)(PQ) (PR) (PQR)(PPR)(QPR)(PQR)(PQR)(P(PQR)(Q(PQR)(R(PQR) ) T因為(P(QR) ( PQ) (PR)為永真式，所以(P(Q

13、R) ( PQ) (PR)。13. 對下列各公式，試僅用或表示。（1）P（2）PQ（3）PQ（4）PQ解：（1）P(PP) PP（2）PQ(PQ)(PQ)（3）PQ(PQ) (PQ) (PP)(QQ)（4）PQPQ (PP)Q (PP)(PP)(QQ)14. 將下列公式化成與之等值且僅含，中聯(lián)結詞的公式。（1）(PQ)R（2）P (QR)P解：（1）(PQ)R(PQ)R(PR)(QR)(PR)(QR)(RP)(RQ)(RP)(RQ)（2）P (QR)P(P(QR)P)(QR)P)P)(P(QR)P)(QR)P)P) T(QR)P)P)(QR)P) P(QR)P(QR) P(QR)15. 如果A

14、(P，Q，R)由R(Q(RP)給出，求它的對偶A*(P，Q，R)，并求出與A及A*等價且僅包含聯(lián)接詞“”，“”及“”的公式。解：A*(P，Q，R)：R (Q(RP)R(Q(RP)(R(Q(RP)RQ(RP)R (Q(RP)RQ(RP)16. 把PQ表示為只含有“”的等價公式。解：PQÛ(PQ)Û(PP)(QQ)Û (PP)(QQ)(PP)(QQ)17. 證明：（1）(PQ)ÛPQ（2）(PQ)ÛPQ證明：（1）(PQ)Û(PQ) Û(PQ)Û(PQ)ÛPQ（2）(PQ)Û(PQ) Û(

15、PQ)Û(PQ)ÛPQ18. 求公式P(PQ)的析取范式和合取范式。解：P(PQ) Û P(PQ) 合取范式Û (PP)(PQ)析取范式19. 求下列公式的主析取范式和主合取范式。（1）(PQ)(QP) （2）(P (PQ)R（3）(P QR)(P (QR)解：（1）真值表法PQPQQP(PQ)(QP)11111101110110000011主析取范式為：(PQ)(PQ)(PQ)主合取范式為：PQ公式化歸法(PQ)(QP)Û(PQ)(QP)Û (PQ)(QP)Û(PQP)(QQP) ÛPQ主合取范式 Û(

16、PQ)(PQ)(PQ)主析取范式（2）真值表法(P (PQ)RPQRPQP (PQ)(P (PQ)R111111110111101111100111011111010111001011000011原式為永真式，其主析取范式為所有小項的析取，即：m000m001m010m011m100m101m110m111不能表示為主合取范式。公式化歸法(P (PQ)RÛ(P(PQ)RÛTRÛ T（3）真值表法(P QR)(P (QR)PQRQRP QRQRP (QR)原公式11111011110000101010001010000110011110000100100000101

17、00000001111主析取范式為：(PQR)(PQR)Ûm111m000Ûm7m0主合取范式為：M1M2M3M4M5M6Û M001M010M011M100M101M110Û(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)20. 求下列公式的主析取范式和主合取范式，并指出該公式的類型。（1）(PQ)(P Q)（2）Q(PQ)（3）P(P(Q(QR)（4）(P(QR)(P(QR)（5）P(P(Q P)（6）(QP)(PQ)解：（1）PQPQP Q(PQ)(P Q)11001101110111100100主析取范式為：(PQ)(PQ)(PQ)主

18、合取范式為：PQ公式為可滿足式。（2）PQPQQ(PQ)1111101001000010主析取范式為：PQ主合取范式為：(PQ)(PQ)(PQ)公式為可滿足式。（3）P(P(Q(QR)Û P(P(Q(QR)Û PQR主合取范式Û M000ÛM0 Û m1m2m3m4m5m6m7主析取范式公式為可滿足式。（4）(P(QR)(P(QR)Û(P(QR)(P(QR)Û(PQ)(PR)(PQ)(PR)Û(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) Û M100M101M111M010M011M001

19、ÛM4M5M7M2M3M1主合取范式Û m0m6Û m000m110主析取范式公式為可滿足式。（5）P(P(Q P)ÛP(P(QP)Û(PP)(P(QP)ÛT主析取范式為：m0m1m2m3公式為永真式。（6）(QP)(PQ)Û(QP)(PQ)Û(QPQ)(PPQ) ÛF主合取范式為：M0M1M2M3公式為永假式。21. 用將合式公式化為范式的方法證明下列各題中兩式是等價的。（1）(PQ)(PR) ，P(QR)（2）(PQ)(PQ)，(PQ)(QP)（3）PQ(PQ)，PQ(PQ)（4）P(P(PQ)，PQ

20、(PQ)證明：（1）(PQ)(PR) Û(PQ)(PR) P(QR) ÛP(QR) Û(PQ)(PR)（2）(PQ)(PQ) Û(PQ)(PQ)Û(PQ)(PQ)ÛP(QQ)ÛP(PQ)(QP) Û(PQ)(QP)ÛP(QQ)Û P（3）PQ(PQ) Û (PQP)(PQQ) Û FPQ(PQ) Û(PQP)(PQQ) Û F（4）P(P(PQ) Û P(P(PQ) Û T(PQ) Û TPQ(PQ) Û(PQP)(

21、PQQ) Û T22. 用推理規(guī)則證明以下各式。（1）(PQ)，QR，R P（2）A(BC)，(DE)A，DE BC（3）BC，(B C)(DE)DE（4）PQ，(QR)R，(PS)S證明：（1）(PQ)，QR，R P證明：(1)RP(2)QRP(3)QT(1)(2) I(4)(PQ) P(5)PQT(4) E(6)P T(3)(5) I（2）A(BC)，(DE)A，DE BC證明：(1)DEP(2)(DE)AP(3)AT(1)(2) I(4)A(BC) P(5)BCT(3)(4) I（3）BC，(B C)(DE)DE證明：(1)BCP(2)B CT(1) I(3)(B C)(DE)

22、P (4)DE T(2)(3) I（4）PQ，(QR)R，(PS)S證明：(1)(QR)RP(2)QRT(1) I(3)RT(1) I(4)QT(2)(3) I(5)(PS)P(6)S PT(5) E(7)PQP(8)SQT(6) (7) I(9)QST(8) E(10)ST(4) (8) I23. 僅用規(guī)則P和T，推證以下公式。（1）AB，CB AC（2）A(BC)，(CD)E，F(xiàn)(DE) A(BF)（3）ABCD，DEF， AF（4）A(BC)，BD，(EF) D，B(AE)BE（5）(AB)(CD)，(BE)(DF)，(EF)，AC A證明：（1）AB，CB AC證明：(1)ABP(2)

23、ABT(1) E(3)CBP(4)BCT(3) E(5)ACT(2) (4) I（2）A(BC)，(CD)E，F(xiàn)(DE) A(BF)證明：(1)A(BC)P(2)ABCT(1) E(3)(AB)CT(2) E(4)(CD)EP(5)C(DE) T(4) E(6)(DE) CT(5) E(7)F(DE)P(8)FCT(6) (7) I(9)CFT(8) E(10)(AB)FT(3) (9) I(11)ABFT(10) E(12)A(BF)T(11) E（3）ABCD，DEF AF證明：(1)ABCDP(2)ABDT(1) I(3)DEFP(4)DFT(3) I(5)ABFT(2)(4) I(6)

24、AFT(5) I（4）A(BC)，BD，(EF) D，B(AE)BE證明：(1)BDP(2)BDT(1)E(3)(EF) DP(4)D(EF)T(3) E(5)D(EF)T(4) E(6)B(EF)T(2)(5) I(7)BET(6) I（5）(AB)(CD)，(BE)(DF)，(EF)，AC A證明：(1)(AB)(CD)P(2)ABT(1) I(3)CDT(1) I(4)(BE)(DF)P(5)BET(4) I (6)DFT(4) I(7)AET(2) (5) I(8)CFT(3) (6) I(9)ACP(10)AFT(8) (9) I(11)A(EF)T(7) (10) I(12)(EF

25、)AT(11) E(13)(EF)P(14)AT(12) (13) I24. 用CP規(guī)則推證上題中的（1）、（2）、（3）和（4）式。證明：（1）AB，CB AC證明：(1)AP（附加前提）(2)ABP(3)BT(1) (2) I(4)CBP(5)CT(3) (4) I(6)ACT(1) (5) CP（2）A(BC)，(CD)E，F(xiàn)(DE) A(BF)證明：(1)AP（附加前提）(2)A(BC)P(3)BCT(1) (2) I(4)(CD)EP(5)C(DE)T(4) E(6)B(DE)T(3)(5) I(7)F(DE)P(8)(DE) FT(7) E(9)BFT(6)(8) I(10)A(B

26、F)CP(1)(9)（3）ABCD，DEF AF證明：(1)AP（附加前提）(2)ABT(1) I(3)ABCDP(4)CDT(2) (3) I(5)DT(4) I(6)DET(5) I(7)DEFP(8)FT(6)(7) I(9)AFCP(5)(8)（4）A(BC)，BD，(EF) D，B(AE)BE證明：(1)BP（附加前提）(2)BDP(3)DT(1) (2)I(4)(EF) DP(5)D(EF)T(4) E(6)(EF)T(3) (5) I(7)EFT(6) E(8)ET(7) I(9)BECP(1)(8) 25. 證明下列各式。（1）RQ，RS，SQ，PQP（2）SQ，RS，R，P

27、QP（3）(PQ)(RS)，(QP)R，RP Q證明：（1）RQ，RS，SQ，PQP證明：(1)PP(附加前提)(2)PQP(3)QT(1)(2) I(4)RQ P(5)SQP(6)QRT(4) E(7)QST(5) E(8)RT(3)(6) I(9)ST(3)(7) I(10)RST(8)(9) I(11)( RS)T(10) E(12)RSP(13)( RS)( RS)(矛盾) T(12)(13) I（2）SQ，RS，R，P QP證明：(1)RP(2)RSP(3)ST(1)(2) I(4)SQ P(5)QT(3)(4) I(6)P QP(7)(PQ)(QP)T(6) E(8)PQT(7)

28、I(9)QPT(8) E(10)PT(5)(9) I（3）(PQ)(RS)，(QP)R，RP Q證明：(1)RP(2)(QP)RP(3)QPT(1)(2) I(4)(PQ)(RS)P(5)(RS)(PQ)T(4) E(6)PQT(1)(5) I(7)(PQ)( QP)T(3)(6) I(8)P QT(7) E26. 甲、乙、丙和丁四人參加考試，有人問他們，誰的成績最好？甲說“不是我”，乙說“是丁”，丙說“是乙”，丁說“不是我”。四人的回答只有一人符合實際。問成績最好的是哪些？若只有一人成績最好，是誰？解：設A：甲的成績最好。B：乙的成績最好。C：丙的成績最好。D：丁的成績最好。因為四人的回答只

29、有一人符合實際，所以若甲的回答符合實際，有：(ADBD)若乙的回答符合實際，有：(ADBD)若丙的回答符合實際，有：(ADBD)若丁的回答符合實際，有：(ADBD)所以：(ADBD)(ADBD)(ADBD)(ADBD) ÛT即(ADB)(ADB) ÛT但(ADB)(ADB) Û(ADBC)(ADBC)(ADBC)(ADBC)(ADBC)表示甲、丙和丁三人并列成績最好。(ADBC)表示甲、丁兩人并列成績最好。(ADBC)表示甲、丙兩人并列成績最好。(ADBC)表示甲成績最好。若只有一人成績最好，是甲。27. 三人估計比賽結果，甲說“A第一，B第二”。乙說“C第二，D

30、第四”。丙說“A第二，D第四”。結果三人估計得都不全對，但都對了一個，問A、B、C、D的名次。解：設A：A第一。B：B第二。C：C第二。D：D第四。E：A第二。根據(jù)題意有：(A B)(C D)(E D)成立。將其化為析取范式的形式：(A B)(C D)(E D)Û( AB)(AB)( CD)(CD)( ED)(ED)Û(ABCD)( ABCD)(ABCD)(ABCD) ( ED)(ED)其中( ABCD)和(ABCD)不復合題意，可以從上式中刪去，原式化為：(ABCD)(ABCD)( ED)(ED)Û(ABCDED)(ABCDED)(ABCDED)(ABCDED)

31、Û(ABCDE)(ABCDE)(ABCDE)中C和E)同時成立矛盾，故只能是(ABCDE)成立，即B第二，D第四，A第三，C第一。28. A，B，C，D四個人中要派兩個人出差，按下述三個條件有幾種派法？如何派？（1）若A去則C和D要去一人；（2）B和C不能都去；（3）C去則D要留下。解：設A：A去。B：B去。C：C去。D：D去。則（1）可表示為：A(C D)；（2）可表示為：(BC)；（3）可表示為：CD。(1)(2)(3)同時成立，即A(C D)(BC)(CD)成立。將其化為析取范式的形式：A(C D)(BC)(CD)Û(A(CD)(CD) (BC)(CD)Û(

32、A(CD)(CD) (BC)(BD)C(CD)Û(ABC)(ABD)(AC)(ACD)(CDBC)(CDBD)(CDC)(CDCD)(CDBC)(CDBD)(CDC)(CDCD)Û(ABC)(ABD)(AC)(ACD)(BCD)(CD)(BCD)上式劃線的部分不符合題意，因此復合題意的有：(AC)(BCD)(CD)(BCD)，(AC)表示B和D去，(BCD) 表示A和D去，(CD)表示A和D去或B和D去，(BCD)表示A和C去。故總共有三種派法：B和D去，A和D去或A和C去。29. 在一個盜竊案件中，已知下列事實：（1）甲或乙是竊賊。（2）甲是竊賊，作案時間不會發(fā)生在夜間1

33、2點以前。（3）若乙的證詞正確，則夜間12點時被盜物品所在房間燈光未滅。（4）若乙的證詞不正確，則作案時間發(fā)生在夜間12點以前。（5）夜間12點被盜房間的燈光滅了。判斷誰是盜賊，用構造證明法寫出結論的判斷過程。證明：設A：甲是竊賊。B：乙是竊賊。C：作案時間發(fā)生在夜間12點以前。D：乙的證詞正確。E：夜間12點被盜房間的燈光滅了。則（1）可以表示為：AB。（2）可以表示為：AC。（3）可以表示為：DE。（4）可以表示為：DC。（5）可以表示為：E。以下是推理過程：(1)EP(2)DEP(3)DT(1)(2) I(4)DC P(5)CT(3)(4) I(6)ACP(7)AT(5)(6) I (8

34、)ABP(9)BT(7)(8) I所以B成立，即乙是竊賊。30. 構造下面推理的證明：（1）如果今天是星期六，我們就要到獨秀峰或象鼻山去玩，如果獨秀峰游人太多，我們就不去獨秀峰。今天是星期六。獨秀峰游人太多，所以我們?nèi)ハ蟊巧酵?。?）如果馬會飛或羊吃草，則母雞就會是飛鳥，如果母雞是飛鳥，那么烤熟的鴨子還會跑?？臼斓镍喿硬粫?。所以，羊不吃草。證明：（1）P：今天是星期六，Q：我們要到獨秀峰去玩，R：我們要到象鼻山去玩，S：獨秀峰游人太多。P(Q R)，SQ，P，S R（1）S P（2） SQ P（3） QT（1），（2）I（4） PP（5） P(Q R)P（6） Q RT（4），（5）I（7）

35、 QT（6）I（8） RT（7）I（2）P：馬會飛，Q：羊吃草，R：母雞就會是飛鳥，S：烤熟的鴨子會跑。（PQ）R，RS，SQ（1） S P（2） RS P（3） RT（1），（2）I（4） （PQ）RP（5） （PQ）T（3），（4）I（6） PQT（5）E（7） QT（6）I習題二1. 用謂詞表達式符號化下列命題。（1）小王不是學生。（2）小王聰明而又好學。（3）小王和小張是好朋友。（4）他是田徑或球類運動員。（5）若m是奇數(shù)，則2m不是奇數(shù)。（6）每一個有理數(shù)都是實數(shù)。（7）某些實數(shù)是有理數(shù)。（8）并非每一個實數(shù)都是有理數(shù)。（9）每一個自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)。（10）不管黑貓白貓，抓住老

36、鼠就是好貓。（11）有會說話的機器人。（12）有的人不吃蘿卜，但人都要喝水。解：（1）S(x)：x是學生。w：小王。S(w)（2）C(x)：x聰明。S(x)：x好學。w：小王。C(w)S(w)（3）F(x，y)：x和y是好朋友。w：小王。z：小張。F(w，z)（4）S(x)：x是田徑運動員。B(x)：x是球類運動員。h：他。S(h)B(h)（5）O(x)：x是奇數(shù)。O(m)O(2m)。（6）Q(x)：x是有理數(shù)。R(x)：x是實數(shù)。("x)(Q(x)R(x)（7）Q(x)：x是有理數(shù)。R(x)：x是實數(shù)。($x)(R(x)Q(x)（8）Q(x)：x是有理數(shù)。R(x)：x是實數(shù)。(&q

37、uot;x)( R(x)Q(x)（9）N(x)：x是自然數(shù)。O(x)：x是奇數(shù)。E(x)：x是偶數(shù)。("x)(N(x)(O(x) E(x)（10）B(x)：x是黑貓。W(x)：x是白貓。G(x)：x是好貓。Z(x)：x抓住老鼠。論域為貓。 ("x)(B(x)W(x)Z(x)G(x)（11）M(x)：x是機器人。T(x)：x會說話。($x)(M (x)T(x)（12）M(x)：x是人。E(x)：x吃蘿卜。D(x)：x喝水。($x)(M(x)E(x)("x)(M(x)D(x)2. 用謂詞表達式符號化下列命題。（1）并非所有大學生都能成為科學家。（2）直線A平行于直線B

38、，當且僅當直線A不相交于直線B。（3）某些運動員是大學生。（4）某些教練員是年老的，但是很健壯。（5）王教練既不年老，也不健壯。（6）某些大學生運動員是國家對選手。（7）所有運動員都欽佩某些教練。（8）有些大學生不欽佩教練。（9）并不是所有的汽車都比火車快。（10）男人一定比女人高，是不對的。（11）某些汽車慢于所有的火車，但至少有一火車快于每一汽車。（12）兩個不相等的實數(shù)間，必存在第三個實數(shù)。解：（1）S(x)：x是大學生。K(x)：x是科學家。("x)(S(x)K(x)（2）P(x,y)：x平行于y。C(x,y)：x與y相交。a：直線A。b：直線B。P(a,b) C(a,b)（

39、3）S(x)：x是大學生。A(x)：x是運動員。($x)(A(x)S(x)（4）T(x)：x是教練員。O(x)：x是年老的。J(x)：x是健壯的。($x)(T(x)O(x)J(x)（5）O(x)：x是年老的。J(x)：x是健壯的。w：王教練。O(w)J(w)（6）S(x)：x是大學生。A(x)：x是運動員。G(x)：x是國家對選手。($x)(A(x)S(x)G(x)（7）A(x)：x是運動員。T(x)：x是教練員。P(x,y)：x欽佩y。("x)(A(x)($y)(T(y)P(x,y)（8）S(x)：x是大學生。T(x)：x是教練員。P(x,y)：x欽佩y。($x)(S (x)(&q

40、uot;y)(T(y)P(x,y)（9）C(x)：x是汽車。T(x)：x是火車。K(x,y)：x比y快。("x)(C(x)("y)(T(y)K(x,y)（10）M(x)：x是男人。W(x)：x是女人。T(x,y)：x比y高。("x)(M(x)("y)(W(y)T(x,y)（11）C(x)：x是汽車。T(x)：x是火車。K(x,y)：x比y快。($x)(C(x)("y)(T(y)K(x,y)($y)(T(y)("x)(C(x)K(y,x)（12）R(x)：x是實數(shù)。E(x,y)：x等于y。("x)("y)(R(x)R

41、(y)E(x,y)($z)(R(z)E(x,z)E(y,z)3. 試表示出“A是B的外祖父”，只允許用以下謂詞：P(x)表示“x是人”，F(xiàn)(x，y)表示“x是y的父親”，M(x，y)表示“x是y的母親”。解：P(A)P(B)P(C)F(A，C)M(C，B)4. 利用謂詞公式翻譯下列命題。（1）如果有限個數(shù)的乘積為零，那么至少有一個因子等于零。（2）對于每一個實數(shù)x，存在一個更大的實數(shù)y。（3）存在實數(shù)x，y和z，使得x與y之和大于x與z之積。解：（1）N(x)：x是有限個數(shù)的乘積。Z(y)：y為零。P(x)：x的乘積為零。F(y)：y是乘積中的一個因子。("x)(N(x)P(x)($

42、y)(F(y)Z(y)（2）R(x)：x是實數(shù)。Q(x,y)：y大于x。("x)(R(x)($y)(R(y)Q(x,y)（3）R(x)：x是實數(shù)。G(x,y)：x大于y。($x)($y)($z)(R(x)R(y)R(z)G(x+y,x·z)5. 自然數(shù)一共有3條公理。（1）每個數(shù)都有惟一的一個數(shù)是它的后繼數(shù)。（2）沒有一個數(shù)使數(shù)1是它的后繼數(shù)。（3）每個不等于1的數(shù)都有惟一的一個數(shù)是它的直接先行者。用兩個謂詞表達上述3條公理。解：N(x)：x是自然數(shù)。S(x,y)：y是x的后繼數(shù)。（1）("x)(N(x)($!y)(N(y)S(x,y)（2）($x)( N(x)S

43、(x,1)（3）("x)(N(x)S(x,2)($!y)(N(y)S(y,x)6. 對下面的每個公式指出約束變元和自由變元。（1）("x)P(x)P(y)（2）("x)(P(x)Q(x)($x)S(x)（3）($x)("y)(P(x)Q(y)("x)R(x)（4）($x)($y)(P(x，y)Q(z)解：（1）x為約束變元，受("x) 約束，y為自由變元。（2）(P(x)Q(x)的x為約束變元，受("x) 約束，S(x)的x為約束變元，受($x)約束。（3）(P(x)Q(y) 的x和y為約束變元，分別受($x)和("y)