第一章-二體問題

1、第一章 航天器運動主講教師：杏建軍2022年1月7日2授課內(nèi)容1. 緒論2. 二體相對運動方程3. 二體相對運動方程的求解31.1 課程的主要研究內(nèi)容課程的主要研究內(nèi)容主要研究內(nèi)容主要研究內(nèi)容：人造物體（航天器）在空間（距離地面100 km以上）自然力和人為控制力作用下運動的一門學科。課程名稱：航天器動力學基礎與應用課程名稱：航天器動力學基礎與應用主要包括天體引力和大氣阻力航天器的運動航天器的運動：包括質(zhì)心運動和姿態(tài)運動，相應的課程為航天器質(zhì)心動力學和航天器姿態(tài)動力學。航天器質(zhì)心運動和姿態(tài)運動是解耦的，因此可以分開研航天器質(zhì)心運動和姿態(tài)運動是解耦的，因此可以分開研究和控制究和控制。為什么？41

2、.1 課程的主要研究內(nèi)容課程的主要研究內(nèi)容課程主要研究內(nèi)容：課程主要研究內(nèi)容：1、航天器運動數(shù)學建模（、航天器運動數(shù)學建模（物理規(guī)律的研究物理規(guī)律的研究）2、數(shù)學模型的求解（、數(shù)學模型的求解（微分方程的求解微分方程的求解）3、數(shù)學模型解算條件的提供（、數(shù)學模型解算條件的提供（微分方程解算條件的提供微分方程解算條件的提供）4、航天器運動規(guī)律的應用（、航天器運動規(guī)律的應用（具體的工程實踐具體的工程實踐）物理規(guī)律的研究：物理規(guī)律的研究：牛頓定理和萬有引力定理牛頓定理和萬有引力定理非線性微分方程的求解非線性微分方程的求解：數(shù)學模型解算條件的提供數(shù)學模型解算條件的提供：初始軌道的測量和最優(yōu)控制：初始軌道

3、的測量和最優(yōu)控制航天器運動規(guī)律的應用航天器運動規(guī)律的應用：各種航天任務的軌道設計：各種航天任務的軌道設計( , , , )ftrr r u51.2 課程的作用課程的作用航天器質(zhì)心運動規(guī)律的研究是一切航天任務的開始的基礎航天器質(zhì)心運動規(guī)律的研究是一切航天任務的開始的基礎任何航天任務的設計都要滿足其基本的運動規(guī)律（例如：任何航天任務的設計都要滿足其基本的運動規(guī)律（例如：在萬有引力作用下，航天器作圓錐曲線運動在萬有引力作用下，航天器作圓錐曲線運動）討論問題：有沒有可能設計任意飛行的航天器？討論問題：有沒有可能設計任意飛行的航天器？61.2 課程的作用課程的作用航天器相對運動實例航天器相對運動實例71

4、.2 課程的作用課程的作用對于人造地球衛(wèi)星來說，航天器軌道高度是任務設計的對于人造地球衛(wèi)星來說，航天器軌道高度是任務設計的關關鍵參數(shù)鍵參數(shù)。為什么？軌道高度決定了：軌道高度決定了：發(fā)射成本發(fā)射成本效載荷規(guī)模。如雷達、光學相機、通信衛(wèi)星發(fā)射機效載荷規(guī)模。如雷達、光學相機、通信衛(wèi)星發(fā)射機對地球的覆蓋范圍。對地球的覆蓋范圍。對熱點地區(qū)的覆蓋特性對熱點地區(qū)的覆蓋特性決定了一些有特殊用途的軌道決定了一些有特殊用途的軌道81.2 課程的作用課程的作用對于深空探測器，航天器軌道設計決定了整個任務過程對于深空探測器，航天器軌道設計決定了整個任務過程卡西尼號是17國參與的土星探測任務，歷時過6年8個月、32億千

5、米?？ㄎ髂崽柕脑幃愶w行軌跡卡西尼號的詭異飛行軌跡為什么這樣設計？直接飛行只需12.5億千米行星助力飛行，節(jié)省燃料。如果直接飛往土星，需要70噸推進劑，卡西尼號總重6.4噸91.2 課程的作用課程的作用亞星三號衛(wèi)星亞星三號衛(wèi)星 亞星三號是美國休斯公司為香港亞洲衛(wèi)星公司制作的通信衛(wèi)星，于1997年12月由質(zhì)子火箭發(fā)射進入地球靜止軌道，但由于火箭故障，進入了軌道傾角為51的無用軌道，發(fā)射失敗，香港衛(wèi)星公司向保險公司索賠2億美金。一個航天史上的故事由此開始一個航天史上的故事由此開始101.3 學科發(fā)展史學科發(fā)展史從嚴格意義上來說，航天器動力學開始于上世紀從嚴格意義上來說，航天器動力學開始于上世紀50年

6、代前蘇年代前蘇聯(lián)發(fā)射第一顆人造地球衛(wèi)星，但它的起源非常久遠。聯(lián)發(fā)射第一顆人造地球衛(wèi)星，但它的起源非常久遠。古典天文學古典天文學1. 中國是世界上天文學起步最早，發(fā)展最快的國家之一。中國是世界上天文學起步最早，發(fā)展最快的國家之一。早在堯舜時代就設置了天文官。早在堯舜時代就設置了天文官。2. 古希臘也是古典天文學什么發(fā)達的國家，取得了輝煌的古希臘也是古典天文學什么發(fā)達的國家，取得了輝煌的成就，并對歐洲各國的文化影響很大。主要成果包括：成就，并對歐洲各國的文化影響很大。主要成果包括：確定地球的形狀和大??；日月的遠近和大??；日心說等。確定地球的形狀和大??；日月的遠近和大小；日心說等。111.3 學科發(fā)

7、展史學科發(fā)展史古典天文學的社會需求古典天文學的社會需求1. 制定歷法的需要，知道農(nóng)業(yè)生產(chǎn)。如我們常說的制定歷法的需要，知道農(nóng)業(yè)生產(chǎn)。如我們常說的24節(jié)氣節(jié)氣2. 預測天災人禍，旦夕禍福。（在古代，占星術和天文學預測天災人禍，旦夕禍福。（在古代，占星術和天文學是沒有明顯的區(qū)別的）是沒有明顯的區(qū)別的）古典天文學研究方法古典天文學研究方法沒有理論指導，沒有先進的觀測手段沒有理論指導，沒有先進的觀測手段興趣，長期不懈的觀測，積極思考興趣，長期不懈的觀測，積極思考121.3 學科發(fā)展史學科發(fā)展史天體力學：應用天體力學：應用力學規(guī)律力學規(guī)律研究天體的運動和形狀研究天體的運動和形狀 天體力學以天體力學以數(shù)學

8、數(shù)學為主要研究手段（微積分），以牛頓為主要研究手段（微積分），以牛頓萬萬有引力定律有引力定律為基礎。為基礎。天體力學的發(fā)展天體力學的發(fā)展奠基期奠基期（從古典天文學到十九世紀后期），標志性成果：（從古典天文學到十九世紀后期），標志性成果：開普勒提出三大定理；牛頓創(chuàng)立微積分，發(fā)現(xiàn)萬有引力開普勒提出三大定理；牛頓創(chuàng)立微積分，發(fā)現(xiàn)萬有引力定理；歐拉、達朗貝爾、拉格朗日、拉普拉斯創(chuàng)立分析定理；歐拉、達朗貝爾、拉格朗日、拉普拉斯創(chuàng)立分析力學，建立了天體力學的力學基礎，提出了攝動理論的力學，建立了天體力學的力學基礎，提出了攝動理論的分析方法；海王星的發(fā)現(xiàn)（理論的實際應用）。分析方法；海王星的發(fā)現(xiàn)（理論的實際

9、應用）。131.3 學科發(fā)展史學科發(fā)展史天體力學的發(fā)展天體力學的發(fā)展發(fā)展期發(fā)展期（從十九世紀后期到二十世紀（從十九世紀后期到二十世紀50年代）。研究對年代）。研究對象新增加了太陽系的小天體。研究方法新增了定性方法象新增加了太陽系的小天體。研究方法新增了定性方法和數(shù)值方法，定性方法由龐加萊和李雅普洛夫創(chuàng)建，數(shù)和數(shù)值方法，定性方法由龐加萊和李雅普洛夫創(chuàng)建，數(shù)值方法最早追溯到高斯（最小二乘定軌）。值方法最早追溯到高斯（最小二乘定軌）。新時期新時期（二十世紀（二十世紀50年代以后，航天器動力學出現(xiàn)）。年代以后，航天器動力學出現(xiàn)）。研究對象新增了人造物體，物體運動的預報精度與觀測研究對象新增了人造物體，

10、物體運動的預報精度與觀測精度大大提高，相應的攝動分析方法、定性方法和數(shù)值精度大大提高，相應的攝動分析方法、定性方法和數(shù)值方法也有了相應的發(fā)展。方法也有了相應的發(fā)展。141.3 學科發(fā)展史學科發(fā)展史航天器動力學航天器動力學二十世紀二十世紀50年代以后，隨著人造天體的發(fā)射，航天器動年代以后，隨著人造天體的發(fā)射，航天器動力學出現(xiàn)。力學出現(xiàn)。與天體力學相比，研究對象發(fā)生了變化（人造物體）。與天體力學相比，研究對象發(fā)生了變化（人造物體）。與自然天體相比，人造物體的受力物體增加了人為控制力，與自然天體相比，人造物體的受力物體增加了人為控制力，運動形式更為復雜；物體的預報精度與觀測精度大大提高。運動形式更為

11、復雜；物體的預報精度與觀測精度大大提高。研究的基本方法沒有變化：以微積分為數(shù)學基礎，以攝研究的基本方法沒有變化：以微積分為數(shù)學基礎，以攝動分析方法、定性分析方法和數(shù)值方法為手段。動分析方法、定性分析方法和數(shù)值方法為手段。151.4 教程和參考書教程和參考書1、航天器軌道動力學，、航天器軌道動力學，趙鈞趙鈞編著，哈工大出版社，編著，哈工大出版社，20112、航天器軌道動力學與控制，、航天器軌道動力學與控制，楊嘉摨楊嘉摨主編，宇航出版社，主編，宇航出版社，1995（注：國內(nèi)航天器領域經(jīng)典專著）（注：國內(nèi)航天器領域經(jīng)典專著）3、Fundamentals of Astrodynamics and Ap

12、plications(Second Edition)，Vallado，D.V. Microcosm Press, 2001 （注：國外（注：國外經(jīng)典教材）經(jīng)典教材）4、An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics, Richard H. B. AIAA, 1999 （注：（注：MIT教材）教材）161.5 考核方式和成績評定考核方式和成績評定考核方式考核方式考核內(nèi)容考核內(nèi)容成績比例（成績比例（%）平時到課率、課堂回平時到課率、課堂回答問題及研討答問題及研討基礎知識，學習主動性基礎知識，學習主動性2020課后課后作

13、業(yè)作業(yè)綜合應用知識解決具體綜合應用知識解決具體工程問題的能力工程問題的能力1010文獻閱讀與專題報告文獻閱讀與專題報告自主學習，分析問題和自主學習，分析問題和主動交流的能力主動交流的能力2020期末閉卷理論考試期末閉卷理論考試學生掌握基本概念及基學生掌握基本概念及基本理論的程度本理論的程度505017授課內(nèi)容1. 緒論2. 二體相對運動方程3. 二體相對運動方程的求解18牛頓第二定理牛頓第二定理：Force = Mass Acceleration 21211122Gm mdmrrdt2rrr2.1 萬有引力定律和牛頓第二定律萬有引力定律和牛頓第二定律21212222Gm mdmrrdt2rrr

14、萬有引力定理萬有引力定理：任意兩個質(zhì)點有通過連線方向上的力相互吸引。該引力大小與它們質(zhì)量的乘積成正比，與它們距離的平方成反比。m1m2r1r21921211122Gm mdmrrdt2rrr2.2 二體系統(tǒng)線動量守恒定理二體系統(tǒng)線動量守恒定理21212222Gm mdmrrdt2rrr21 12 220dmmdtrr1 12 212mmmmcmrrr220ddtcmr內(nèi)力不改變系統(tǒng)的質(zhì)心內(nèi)力不改變系統(tǒng)的質(zhì)心2021211122Gm mdmrrdt2rrr2.3 二體相對運動方程二體相對運動方程21212222Gm mdmrrdt2rrr2121222() ()()G mmdrrdt21rrrr

15、212223()=G mmddtrrr rrr212.3 二體相對運動方程二體相對運動方程121 1221220Gm mm am ammr12aa另一種推導思路另一種推導思路質(zhì)點質(zhì)點m1與質(zhì)點與質(zhì)點m2所受的相互引力大小相等，方向相反所受的相互引力大小相等，方向相反212231()mG mmmrrr 2122raaaar2222222ddddtdtdt121rrraa222.4 討論討論1：m1相對系統(tǒng)質(zhì)心的相對運動方程相對系統(tǒng)質(zhì)心的相對運動方程推導質(zhì)點推導質(zhì)點m1相對系統(tǒng)質(zhì)心的相對系統(tǒng)質(zhì)心的相對運動方程相對運動方程212223()=G mmddtrrr rrr質(zhì)點質(zhì)點m2相對相對m1的相對運

16、動方程的相對運動方程m1m2r1r2rcmcm32222312()Gmddtmmr rr231.4 討論問題討論問題2如果在地球附近發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，其相對地心的如果在地球附近發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，其相對地心的相對運動方程是什么？相對運動方程是什么？如果向月球發(fā)射一個月球探測器，其相對地月質(zhì)心的相如果向月球發(fā)射一個月球探測器，其相對地月質(zhì)心的相對運動方程是什么？對運動方程是什么？如果向月球發(fā)射一個月球探測器，其相對地球質(zhì)心的相如果向月球發(fā)射一個月球探測器，其相對地球質(zhì)心的相對運動方程是什么？對運動方程是什么？242.5 二體相對運動方程的標量表示二體相對運動方程的標量表示矢量形式的非線性微

17、分方程矢量形式的非線性微分方程212223()=G mmddtrrr rrr為了在實際中應用，需要轉(zhuǎn)換為標量形式為了在實際中應用，需要轉(zhuǎn)換為標量形式y(tǒng)zxyzxriii223223223=d xxdtrd yydtrd zzdtr 直角坐標的基矢量不直角坐標的基矢量不隨時間變化隨時間變化252.6 討論討論3： 二體相對運動方程的極坐標形式二體相對運動方程的極坐標形式極坐標的基矢量是隨時間變化極坐標的基矢量是隨時間變化xiyirii222220drrdtrddrrdtdt 262.7 課后作業(yè)課后作業(yè)通過復習或者自學理論力學中拉格朗日方程的有關內(nèi)容，通過復習或者自學理論力學中拉格朗日方程的有關

18、內(nèi)容，應用拉格朗日方程推導討論問題應用拉格朗日方程推導討論問題1、3。下節(jié)課隨機抽點。下節(jié)課隨機抽點學生上臺上述，并請所有學生提交推導過程作業(yè)。學生上臺上述，并請所有學生提交推導過程作業(yè)。作業(yè)關鍵點：作業(yè)關鍵點：1. 拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù) = 系統(tǒng)動能系統(tǒng)動能-系統(tǒng)的勢能；系統(tǒng)的勢能；2. 拉格朗日方程；拉格朗日方程；3. 廣義坐標。廣義坐標。閱讀：閱讀：An introduction to the mathematics and methods of astrodynamicsp97-p99；p110。27授課內(nèi)容1. 緒論2. 二體相對運動方程3. 二體相對運動方程的求解283.1 近

19、似方法近似方法非線性微分方程非線性微分方程223=ddtrrr微分方程解決的基本方法：解析法和數(shù)值法微分方程解決的基本方法：解析法和數(shù)值法解析法：求出非線性微分方程的解析解。解析法：求出非線性微分方程的解析解。hg 算例：自由落體運動算例：自由落體運動293.1 近似的方法近似的方法基本原理：泰勒級數(shù)展開基本原理：泰勒級數(shù)展開數(shù)值積分法：通過數(shù)值積分的方法求解數(shù)值積分法：通過數(shù)值積分的方法求解(,)yfxy1(1)( )y iy iKhh步長步長1( ),( )(,)xiyiKfxy經(jīng)典方法：龍格庫塔方法經(jīng)典方法：龍格庫塔方法303.1 近似的方法近似的方法龍哥庫塔方法龍哥庫塔方法Matlab

20、函數(shù)：函數(shù)：ode45t,y=ode45(orbit,tspan,y0,options)function dy = orbit(t,y,flag,mu)%函數(shù)說明輸入輸出函數(shù)說明輸入輸出dy =zeros(6,1);r = sqrt(y(1)2 + y(3)2 + y(5)2);dy(1) = y(2);dy(2) = -mu/r3*y(1);dy(3) = y(4);dy(4) = -mu/r3*y(3);dy(5) = y(6);dy(6) = -mu/r3*y(5);end223223223=d xxdtrd yydtrd zzdtr 313.1 近似的方法近似的方法function r

21、obit_computermu = 3.986004418e+14; %地球引力常數(shù)tspan = 0:60:86400;options = odeset(AbsTol,1e-15,RelTol,1e-12,NormControl,on);x0 = -5292392.072;-4862.201380;3111662.355; -4136.781314; 3101114.660;-4147.028008;T,Y = ode45(orbit,tspan,x0,options,mu);plot3(Y(:,1),Y(:,3),Y(:,5)32-1-0.500.51x 107-505x 106-505x

22、 106333.1 近似的方法近似的方法近似級數(shù)展開方法近似級數(shù)展開方法220002()( )( )( )()()2 !ttd r tdr tr tr tttd td t An introduction to the mathematics and methods of astrodynamicsp110-p114有二體問題的近似級數(shù)展開詳細推導和高效迭代算法，請大家自學并完成問題3-5。343.2 二體問題的解析解二體問題的解析解二體運動方程二體運動方程223=ddtrrr角動量矢量常數(shù)角動量矢量常數(shù)223=ddtr rrrr()=0dddtdtvrvrconst hrv353.2 二體問題

23、的解析解二體問題的解析解開普勒第二定理開普勒第二定理二體問題角動量是常數(shù)二體問題角動量是常數(shù)角動量在極坐標下的表示角動量在極坐標下的表示dddrrrrdtdtdtrrrirviii2drdt zhrvi面積化率面積化率212dAdrdtdt363.2 二體問題的解析解二體問題的解析解偏心率矢量常數(shù)偏心率矢量常數(shù)223=ddtrrhrh2zhr riidddtdt rii拉格朗日矢量拉格朗日矢量()dddtdtrivhconstrvhree偏心率矢量偏心率矢量e373.2 二體問題的解析解二體問題的解析解開普勒第一定理開普勒第一定理re rvh rr r()abc矢量運算公式矢量運算公式2hrr

24、e rvh rrv hr rcosrefe r其中其中f是是e與與r兩個矢量的夾角，定義為兩個矢量的夾角，定義為真近點角真近點角383.2 二體問題的解析解二體問題的解析解2cosrefhr2/1cos1coshprefef圓錐曲線方程，當圓錐曲線方程，當e在（在（0，1）之間時為橢圓，即開）之間時為橢圓，即開普勒第一定理普勒第一定理 f= 0為近地點，為近地點，f = 180為遠地點為遠地點11papprree22(1)parrapae393.2 二體問題的解析解二體問題的解析解開普勒第三定理開普勒第三定理2(1)1cos1cospaerefef橢圓的面積橢圓的面積22201122dAr d

25、Ar d403.2 二體問題的解析解二體問題的解析解行星（人造地球衛(wèi)星）掃過一圈的時間定義為行星行星（人造地球衛(wèi)星）掃過一圈的時間定義為行星的運動周期的運動周期T222(1)1222paeaehT行星的運動周期行星的運動周期32aT定義橢圓上的平均運動定義橢圓上的平均運動n32nTa開普勒第三定理開普勒第三定理32aconstT這個定理是正確的嗎？413.2 二體問題的解析解二體問題的解析解能力積分常數(shù)能力積分常數(shù)11revhr 222222121121121rrh vhre evhvhrvhhvhvrv h12222221hvvearr423.2 二體問題的解析解二體問題的解析解能量積分常數(shù)能量積分常數(shù)122222vvarra 動能勢能動能動能+勢能勢能=常數(shù)常數(shù) 在中心引力作用系統(tǒng)能力守恒在中心引力作用系統(tǒng)能力守恒此公式又成為此公式又成為活力公式活力公式（vis-viva equations）,是航天是航天動力學里面非常重要的一個恒等式。動力學里面非常重要的一個恒等式。433.2 二體問題的解析解二體問題的解析解活力公式的應用，航天器速度的計算活力公式的應用，航天器速度的計算222vra討