角度制與弧度制

1、任意角和弧度制知識點1.角的分類：(1)正角：一條射線逆時針方向旋轉形成的角(2)負角：一條射線順時針方向旋轉形成的角(3)零角：一條射線不做旋轉2 .象限角的概念：(1)定義：若將角頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊(端點除外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角.(2)軸線角：如果角的終邊在坐標軸上，則這個角不屬于任何一個象限，稱這個角為軸線角。(3)終邊相同的角的表示：所有與角“終邊相同的角，連同a在內，可構成一個集合S= 3 | 3 = a+ k , 360 kCZ,即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整個周角的和.注意：C k ZC 是任一角；C終邊

2、相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同.終邊相同的角有無限個，它們相差360 °的整數倍；C角a + k 7201 a終邊相同，但不能表示與角a終邊相同的所有角.例如：第一象限角的集合為k360o第二象限角的集合為k360o第三象限角的集合為k360o第四象限角的集合為k360o終邊在x軸上的角的集合為終邊在y軸上的角的集合為終邊在坐標軸上的角的集合為k 360o 90o, k；o o o90 k 360 180 ,k180o k 360o 270o,k270ok 360o 360o,kk 180o,k;k 180o 90o,k；k 90o, k.3 .由角 所在象限判斷 一所在

3、象限:2e、 e2£萬C、££2C、£2C、£4 .弧度制:(1)角度制：規(guī)定把周角的 工作為1度的角，用度做單位來度量角的制度叫做角度制.360(2)弧度制：長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角;在弧度制下,1弧度記做1rad.在實際運算中，常常將 rad單位省略.(3)弧度制的性質： _ re半圓所對的圓心角為 一re正角的弧度數是一個正數.e零角的弧度數是零.£整圓所對的圓心角為2-r- 2re負角的弧度數是一個負數.£角a的弧度數的絕對值| a|=.r注：角度制是60進制，弧度制是十進制：5 .角度與弧度之間的

4、轉換：C將角度化為弧度：3602 ； 180； 1 0.01745rad ; n rad .180180e將弧度化為角度：2p = 360?； p = 180?； rad (180-)6 .常規(guī)寫法:e用弧度數表示角時，常常把弧度數寫成多少 兀的形式，不必寫成小數.e弧度與角度不能混用.要不用弧度制，要不統(tǒng)一角度制。7 .特殊角的弧度角度0°30°45 °60 °90 °120135°150°180°270°360°弧023532度643234628.弧長公式- l R ,其中 的單位是弧度。

5、r、.一 . 八 1 一21 一扇形面積公式：S 1 R2lR22角度制表示弧長和面積：360c n 2S R360題型一：表示終邊相同的角【例1】試寫出所有終邊在直線 yT3x上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之間的角【例2】已知角“=2 010° .(1)把“改寫成k - 36講 鄧C Z,0y體360°的形式，并指出它是第幾象限角;(2)求以使。與a終邊相同，且360 v 9<720° .【例3】已知，如圖所示，(1)寫出終邊落在射線 OA, OB上的角的集合；(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.【過關練習】1一終邊與

6、坐標軸重合的角a的集合是()(A) da=k- 360 ° kC Z(B) a|o=k- 180° +90kCZ(C) o|a=k- 18Q°k Z(D) d«=k- 90° kC Z2 .在0。360。范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角.(1) 150° (2)650 ; (3)950° 15.3 .如圖所示，終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是 .4 .集合 A= o|a= k - 9（P 36°, kCZ, B=0一180° 書180 ° 則 AAB =5 .如圖

7、所示，寫出終邊落在直線y=43x上的角的集合（用0。到360。間的角表示）.題型二：象限角的判定【例1】已知“是第二象限角，試確定 2 a,，的終邊所在的位置.【例2】若a= 45+k - 180 °k£Z）,則a的終邊在（）A.第一或第三象限B.第二或第三象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限【過關練習】1 .若 為第三象限角 求 一、一所在象限，并在平面直角坐 標系表示出來.232 .已知a為第三象限角，則2所在的象限是（）A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限3 .已知a是第一象限角，則角:的終邊可能落在 .（填寫所有正確的序號）3

8、第一象限第二象限 第三象限第四象限4 .361 °的終邊落在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限題型三：角度弧度的換算【例1】把112° 3枇成弧度;7 71, 一、（2）把一12化為角度.【例2】把一1 125 °化為2k兀+ “（kC Z,0<a< 2兀的形式是（）c 兀cc , 7兀A .一6 Tt 4B .- 6 兀+ 4C.一8 71 4D .一 8 兀+ 4【過關練習】1 .將下列各角度與弧度互化.57。，而兀；（2）g不一157。3 02 .已知 “=1 690 ° .把“寫成2k7t+akCZ,代0,2兀朋形式

9、；求0,使。與a終邊相同，且 長（4兀，4兀）題型四：弧長扇形公式的應用【例1】已知一扇形的圓心角是a,所在圓白半徑是 R.若a= 60。，R= 10 cm,求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積；（2）若扇形的周長是一定值 C （c>0）,當a為多少弧度時，該扇形有最大面積?【例2】時鐘的分針在1點到3點20分這段時間里轉過的弧度數為（）14A三兀B.143KD.7一兩?！具^關練習】1 .在半徑為10的圓中，240 °的圓心角所對弧長為（）A冬B.20兀C200兀D.蜉兀3 3332.已知一扇形的周長為 40 cm,當它的半徑和圓心角取什么值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少

10、?3.一個扇形的面積為1,周長為4,求圓心角的弧度數.課后練習【補救練習】1 .將 885°化為a+ k - 360°包后360°, kCZ)的形式是 2 .與一1 692終邊相同的最大負角是 .3 .與460 °角終邊相同的角的集合是()A. a|a= k -36講 460°,kC ZB. d“= k -36并 100°,kC ZC. d“= k -36并 260 °,kC ZD. a|a= k -360 260 °,kC Z4 .下列與9加終邊相同的角的表達式中，正確的是()_。 _。9兀_A. 2kTt+ 4

11、5 RC Z)B. k 36并(kZ)C. k - 36(P 315 k(C Z)D. k 計 5p(k Z)【鞏固練習】1 .已知角45°,在區(qū)間720o, 0o內找出所有與角有相同終邊的角 2 .若“是第四象限角，則 180 - ”是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3 .以下命題正確的是（）A.第二象限角比第一象限角大B. A = d“= k - 180°k Z, B= 岡3= k 90°kC Z,則 A BC.若k-360° a<k - 36講180°k（ Z）,則a為第一或第二象限角D.終邊在x軸上的角可表示為 k - 360k（Z），一 114.把一了兀表不成。+ 2k兀kCZ）的形式，使|6|最小的。值是（）.3A .4兀 B .2 cC. d D .兀5.如圖是一個半徑為 R的扇形，它的周長為 4R,則這個扇形所含弓形（陰影區(qū)域）的面積是（）A 12A.(2 sin 1 cos 1)R2B.-R2sin 1cos 11 2C.R2D. (1 sin 1cos 1)R26.用弧度制表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內的角的集合（包括邊界，如圖所示）.MW.【拔高練習】