初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)梳理：面積問(wèn)題與面積方法(二)

1、面積問(wèn)題與面積方法才知識(shí)定位能夠用正確的方法求解幾何的有關(guān)面積，并且能夠巧算而積，化難為易，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單：要 熟練的應(yīng)用幾何求幾何面積的幾種模式，其中主要有等積變換模型、鳥頭定理（共角定理） 模型、蝴蝶定理模型、相似模型、燕尾定理模型。，知識(shí)梳理1、等面積變化模型：（1）等底等高的兩個(gè)三角形而積相等：(3)（2）兩個(gè)三角形高相等，而積比等于它們的底之比：兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它 們的高之比。如下圖/夾在一組平行線之間的等積變形，如下圖5”）=3力阻1(4)(5)反之，如果s,=s.6m，則可知直線A3平行于CZK 正方形的面積等于對(duì)角線長(zhǎng)度平方的一半：三角形面積等于與它等底等高的平行四邊

2、形面積的一半:2、鳥頭定理（共角定理）模型：兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共 角三角形。（1）共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比。（2）如圖，在ABC中，DE分別是AB.AC上的點(diǎn)（如圖1）或。在胡的延長(zhǎng)線上，E在 AC 上（如圖 2）,則: S,mde = （A3 x AC） :（AD x AE）3、蝴蝶定理模型：任意四邊形中的比例關(guān)系，蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形 的面積問(wèn)題的一個(gè)途徑.通過(guò)構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形 內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方而，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系。 AO:OC = (S+S

3、J:(Sj+SJ4、相似模型：相似三角形：相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形（只要其形狀不改變，不 論大小怎樣改變它們都相似），與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：（1）相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比：（2）相似三角形的面積比等于它們相似比的平方。 AD_AE_DE_AFjab=ac = bc=ag SgDE ： S“BC = 4尸：4G o5、燕尾定理模型：面枳比轉(zhuǎn)化為邊之比SX:S4=S2:S,= BD.DC例題精講【試題來(lái)源】 【題目】如下圖所示，把四邊形ABCD的各邊都延長(zhǎng)一倍，得到一個(gè)新四邊形EFGHc如果ABCD的面積是5平方厘米，那

4、么請(qǐng)問(wèn)：EFGH的而積是多少平方厘米?【答案】65平方厘米【解析】 解連接BD, ED, BG,則AEAD、ZADB同高，所以面積的比等于底的比，EARP SAEAD=AB , SAABD=2SAABD8E :4e = 2:3 , Sse = 18 + 3x2 = 12,= 6故 S*def = Sxef + SDEC= 4 + 12-6 = 10（平方厘米）.【知識(shí)點(diǎn)】鳥頭定理應(yīng)用【適用場(chǎng)合】當(dāng)堂練習(xí)題【難度系數(shù)】3【試題來(lái)源】 【題目】如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形中，BE = 2EC, CF = FD,求三角形AEG的面積.【解析】連接HL因?yàn)锽E = 2EC, CF = FD,所以&=（，石）

5、戊的）Swo=，S15coAG: GF = -!.： = 6:1因?yàn)? cm,根據(jù)蝴蝶定理，2 12 Saagd = 6S,df= y 5皿= 5 X ； SaABCD1322S“GE = SD _ S“GD = W Sq AbCD _ T7 SqW）=亍 UABCD =亍所以ZIT/2即三角形AEG的面積是5.【知識(shí)點(diǎn)】任意四邊形的蝴蝶定理應(yīng)用 【適用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題 【難度系數(shù)】5【試題來(lái)源】 【題目】如圖，已知正方形A3CO的邊長(zhǎng)為io厘米，E為AQ中點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)、,G為BF中點(diǎn)，求三角形加G的面積.【答案】6.25平方厘米【解析】設(shè)與CE的交點(diǎn)為0,連接班:、DF.C J_ C C

6、_ J_ C,加Allf, 一E -rA. EO OC = S S K sbed - T- qabcd由蝴蝶定理可知八bedMbcd ,而 4,2所以0： =工皿凡.1：2,故七 =共：EF = 1 EC由于 F 為CE 中點(diǎn)，所以 2,故 EO.EF = 2:3, FO:EO = 1:2.q =lv3i Amx.hr 4. V - V FC AY） 1-7 LL，、t abed - Q lABcd由蝴蝶定理可知。-。,。一-，所以28,S Rcn = S R,n = S ahcd = x 10x 10 = 6.25那么2皿。1616（平方厘米）.【知識(shí)點(diǎn)】蝴蝶定理求而積的應(yīng)用【適用場(chǎng)合】當(dāng)堂

7、練習(xí)題【難度系數(shù)】5【試題來(lái)源】【題目】如圖，已知D、E分別是4ABC的邊BC、CA上的點(diǎn)，且BD=4, DC=1, AE=5, EC=2.連 接AD和BE,它們相交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P分別作PQ/CA, PRCB,它們分別與邊AB交于點(diǎn)Q、 R,則APOR的面積與AABC的面積之比為悟案】念【解析】解：如圖:CF_CE_2 過(guò)點(diǎn)E作EFAD,且交BC于點(diǎn)F,貝1J口一以5,.FDfeXCD=VPQ/7CA, PQ_BP_BD_ 4 _28 ExCBE-BF-4+5-33于是PQ- 33, AE=x.，BE=EM=3x, E 為 MB 的中點(diǎn).又；CE_LAB,ACB=MC.又.MBC為等邊三角形.

8、/.ZB=60：（2）延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)F,如圖2：ADBC,AAFADAFBC.SAFAD_ 償）2金AFBC BC 9,設(shè) SZkFAD=S3=a,則 SZFBC=9a, Sl+S2=8a,又2S1=3S2,1EFC 與4CEB 等高，F(xiàn)E SAFEC S34S2 7郎 *aeC5 ,1 Z 設(shè) FE=7k,貝ijBE=8k, FB=15k,1AFA=3FB=5k.AAE=7k - 5k=2k. BE.星4.【知識(shí)點(diǎn)】含絕對(duì)值的不等式（組）【適用場(chǎng)合】當(dāng)堂練習(xí)題【難度系數(shù)】4【試題來(lái)源】【題目】如圖，已知80 = OC, EC = 2AE,三角形ABC的面積是30,求陰影部分面積.【答

9、案】12.5 【解析】（法一）連接因?yàn)锽D = DC, EC = 2AE9三角形反。的面積是30,= - S&w = 10S,RD = S人蛇=1 5所以 3,2SAE 1 SfRF BD ,Zi/lor _ 1 根據(jù)燕尾定理，S“bf EC 2, S-b CD ,所以$的=4S- = 75 , SABra =15-7.5 = 7.5, 所以陰影部分面積是3。-10-7.5 = 12.5 .（法二）連接DE,由題目條件可得到3Be = 10,11 2 Sabe = 1Same =皿 =X,S域 二10，所以萬(wàn)一區(qū)二TiADCS 入= - X X S ,、.人府110而一 3 2 .所以陰影部分

10、的而積為12.5.【知識(shí)點(diǎn)】燕尾定理應(yīng)用【適用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】4習(xí)題演練【試題來(lái)源】 【題目】如圖所示，D為aABC中AC邊上一點(diǎn)，AD=1, DC=2, AB=4, E是AB上一點(diǎn)，且ABC的面積等于ADEC面積的2倍，則BE的長(zhǎng)為（）【答案】1【解析】解：已知AD=1, DC=2,ASADEC=2SAAED,又由 SAABC=2SADEC.VSABCE+SAAED+SADEC=SAABC .SABCE+1/2SADEC+SADEC=2SADEC,.SABCE=1/2SADEC=1/4SAABC.i5AABC和ABCE的同高為h,貝l/2BE*h=l/4Xl/2ABhABE=l/4

11、AB=l/4X4=h【知識(shí)點(diǎn)】等面積應(yīng)用【適用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】3【試題來(lái)源】【題目】如圖，已知三角形ABC面積為1,延長(zhǎng)AB至D,使BD=AB；延長(zhǎng)BC至E,使CE=2BC： 延長(zhǎng)CA至F,使AF=3AC,求三角形DEF的面積.【答案】18【解析】用共角定理在AABC和ACFE中，24圓與NFCE互補(bǔ),S.bc _AC BC _ 1x1 _ 1 SFCE FC CE 472 - 8 又S“比 =1 ,所以SCE =8同理可得 Sjdf = 6 , Sbde = 3 .所以Jo比+ 5 r,)f =1 + 8 + 6 + 3 = 18【知識(shí)點(diǎn)】鳥頭定理求而積應(yīng)用【適用場(chǎng)合】隨堂課后

12、練習(xí)【難度系數(shù)】2【試題來(lái)源】 【題目】如圖，在AABC中，BD平分NABC,點(diǎn)E為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BC-BD(1)求證：AE=AD：(2)若點(diǎn)F為線段BD上一點(diǎn)，CF=CD, BF=2, BE=6, ZBFC的而積為3,求4ABD的 面積.【答案】（1）AE=AD （2）9【解析】解：（1）BD平分NABC,AZABD=ZCBD,即NABE=NCBD.AB JBE 又 BC-BDtAAABEACBD,，NAEB=NCDB,VZADE=ZCDB,，NADE=NAED,AAE=AD；（2） VCD=CF. AE=AD,CF CD.aLad.又，,在AABC中，BD平分NABC,BC CD.-

13、.aLad,CF BC.-.aLab,XVZABD=ZCBF （BD 是NABC 的平分線）, AAABDACBFBD迎BF=CB.ABJBE/ BC-BD,BD BEJ BF=BD,則 BD2=BFBE=2x6=12,即 BD=2V3,ABJBE 上，BCBD=2Vx=V3.：國(guó) AB.SACBF= (CB)2=3,A SA ABD=3SACBF=3x3=9.即4ABD的而積是9.【知識(shí)點(diǎn)】相似求而積應(yīng)用【適用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】3【試題來(lái)源】【題目】正六邊形A&4AAA,的面積是2009平方厘米，用用48485g，分別是正六邊形各邊的中點(diǎn)：那么圖中陰影六邊形的面積是()平方厘米.

14、【答案】1148【解析】如圖，設(shè)線人與用4的交點(diǎn)為0,則圖中空白部分由6個(gè)與出。4 一樣大小的三角形組成，只要求出了叢的面積，就可以求出空白部分而積，進(jìn)而求出陰影部分面 積.連接兒人、B沿設(shè)2tq紇的面積為,則的14紇面積為1,必|&紇而積為2,那么人人面積 為AA1Am6的2倍，為4,梯形A&AA.的面積為2x2+4x2 = 12,刈線兒的而積為6,她出兒的面積為2.Q 6 Q J根據(jù)蝴蝶定理，風(fēng)：5工八線=1:6,故am2A 一亍，所以 S梯朦1a凡4 - 7 -12.1.71即的而積為梯形A&A4面積的,1故為六邊形A4A4AA面積的14 ,那么空白部分的而積為正六邊形面積的1 / 3x6 = 一147 ,2009x1 2| = 1148所以陰影部分面積為71（平方厘米）.【知識(shí)點(diǎn)】蝴蝶定理求而積應(yīng)用【適用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】5【試題來(lái)源】【題目】如圖，E在AC上，。在8c上，且AE:區(qū)7 = 2:3,即:/= 1:2, AQ與8E交于點(diǎn)F.四 邊形DFEC的而積等于22cnf ,則三角形ABC的面積.ADcD【答案】45睦 【解析】連