高考數(shù)學(xué)第九章平面解析幾何第3課時(shí)直線與直線的位置更多資料關(guān)注微博高中學(xué)習(xí)資料庫(kù)

1、平面解析幾何第3課時(shí)直線與直線的位置關(guān)系1. (必修2P104例2改編)兩平行直線x3y40與2x6y90的距離為_(kāi)答案：解析：在直線x3y40上取點(diǎn)P(4，0)，則點(diǎn)P(4，0)到直線2x6y90的距離d即為兩平行直線之間的距離d.2. (必修2P93習(xí)題7改編)已知直線xay2a2與直線axya1平行，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)答案：1解析：由平行直線斜率相等得a，解得，a1，由于當(dāng)a1時(shí)兩直線重合， a1. 3. (必修2P93習(xí)題16改編)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，0)，且與直線l：x3y20垂直，則l的方程是_答案：3xy90解析：直線l：x3y20的斜率為k，由題意，得kkk1，則k3.所以l的方程

2、為y3(x3)，即3xy90.4. (必修2P96習(xí)題5改編)若直線l經(jīng)過(guò)直線2xy30和3xy20的交點(diǎn)，且垂直于直線y2x1，則直線l的方程為_(kāi)答案：x2y110解析：由得即交點(diǎn)(1，5)，直線y2x1的斜率為k2，與其垂直的直線斜率為，所以所求直線方程為y5(x1)，即x2y110.5. (必修2P106習(xí)題18改編)已知直線l：y3x3，那么直線xy20關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程為_(kāi)答案：7xy220解析：由得交點(diǎn)坐標(biāo)P.又直線xy20上的點(diǎn)Q(2，0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，故所求直線(即PQ)的方程為，即7xy220.1. 兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程yk1xb1 yk2xb2

3、A1xB1yC10(AB0) A2xB2yC20(AB0)相交k1k2A1B2A2B10(A2B20時(shí)，)垂直k1或k1k21A1A2B1B0(當(dāng)B1B20時(shí)，1)平行k1k2且b1b2或(當(dāng)A2B2C20，記為)重合k1k2且b1b2A1A2，B1B2，C1C2(0) (當(dāng)A2B2C20，記為)2. 兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程是l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解，若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；反之，亦成立3. 幾種距離(1) 兩點(diǎn)間的距離平面上的兩點(diǎn)A(x1，y1)

4、，B(x2，y2)間的距離公式：d(A，B)AB.(2) 點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P(x1，y1)到直線l：AxByC0的距離d.(3) 兩條平行線間的距離兩條平行線AxByC10與AxByC20間的距離d.備課札記題型1兩直線的平行與垂直例1兩條直線l1：(m3)x2y53m，l2：4x(5m)y16，分別求滿足下列條件的m的值(1) l1與l2相交；(2) l1與l2平行；(3) l1與l2重合；(4) l1與l2垂直解：可先從平行的條件(化為a1b2a2b1)著手由，得m28m70，解得m11，m27.由，得m1.(1) 當(dāng)m1且m7時(shí)，l1與l2相交(2) 當(dāng)m7時(shí)，.l1l2.(3) 當(dāng)m1

5、時(shí)，l1與l2重合(4) 當(dāng)a1a2b1b20，即(m3)42(5m)0，m時(shí)，l1l2.已知兩直線l1：axby40，l2：(a1)xyb0，分別求滿足下列條件的a、b的值(1) 直線l1過(guò)點(diǎn)(3，1)，且l1l2；(2) 直線l1與l2平行，且坐標(biāo)原點(diǎn)到l1、l2的距離相等解：(1) l1l2， a(a1)(b)10, 即a2ab0 .又點(diǎn)(3，1)在l1上，3ab40 ，由解得 a2，b2.(2) l1l2且l2的斜率為1a. l1的斜率存在，即1a，b.故l1和l2的方程可分別表示為l1：(a1)xy0，l2：(a1)xy0. 原點(diǎn)到l1和l2的距離相等， 4，解得a2或.因此或題型2

6、兩直線的交點(diǎn)例2求經(jīng)過(guò)直線2x3y10和x3y40的交點(diǎn)，且垂直于直線3x4y70的直線方程解：解得直線2x3y10和x3y40的交點(diǎn)為，由已知垂直關(guān)系可求得所求直線的斜率為，進(jìn)而得所求直線方程為4x3y90.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，1)，且被兩平行直線l1：xy10和l2：xy60截得的線段之長(zhǎng)為5，求直線l的方程解：(解法1)若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x3，此時(shí)與l1、l2的交點(diǎn)分別為A(3，4)和B(3，9)，截得的線段AB的長(zhǎng)5，符合題意若直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為yk(x3)1.解方程組，得A，解方程組，得B.由5，得()252.解之，得k0，即所求的直線方程為

7、y1.綜上可知，所求l的方程為x3或y1.(解法2)由題意，直線l1、l2之間的距離為d，且直線l被平行直線l1、l2所截得的線段AB的長(zhǎng)為5(如圖)設(shè)直線l與直線l1的夾角為，則sin，故45.由直線l1：xy10的傾斜角為135，知直線l的傾斜角為0或90.又直線l過(guò)點(diǎn)P(3，1)，故直線l的方程為x3或y1.(解法3)設(shè)直線l與l1、l2分別相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，則x1y110，x2y260.兩式相減，得(x1x2)(y1y2)5.又(x1x2)2(y1y2)225，聯(lián)立，可得或由上可知，直線l的傾斜角分別為0或90.故所求直線方程為x3或y1.題型3點(diǎn)到直線及兩平行

8、直線之間的距離例3已知點(diǎn)A(4，3)，B(2，1)和直線l：4x3y20，求一點(diǎn)P使|PA|PB|，且點(diǎn)P到l的距離等于2.解：為使|PA|PB|(如圖)，點(diǎn)P必在線段AB的垂直平分線上，又點(diǎn)P到直線l的距離為2，所以點(diǎn)P又在距離l為2且平行于l的直線上，求這兩條直線的交點(diǎn)即得所求點(diǎn)P.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(a，b) A(4，3)，B(2，1) AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，2)又AB的斜率kAB1. AB的垂直平分線方程為y2x3，即xy50.而P(a，b)在直線xy50上 ab50.又已知點(diǎn)P到l的距離為2，點(diǎn)P必在與l平行且距離為2的直線上，設(shè)直線方程為4x3ym0，由兩條平行直線之間的距離公式

9、，得2， m8或12. 點(diǎn)P在直線4x3y80或4x3y120上 4a3b80或4a3b120 .由得a1，b4或a，b.點(diǎn)P(1，4)或P(，)為所求的點(diǎn)已知點(diǎn)P1(2，3)、P2(4，5)和A(1，2)，求過(guò)點(diǎn)A且與點(diǎn)P1、P2距離相等的直線方程解：(解法1)設(shè)所求直線方程為y2k(x1)，即kxyk20.由點(diǎn)P1、P2到直線的距離相等得.化簡(jiǎn)得，則有3k13k3或3k13k3，解得k或方程無(wú)解方程無(wú)解表明這樣的k不存在，但過(guò)點(diǎn)A，所以直線方程為x1，它與P1、P2的距離都是3.所求直線方程為y2(x1)或x1.(解法2)設(shè)所求直線為l，由于l過(guò)點(diǎn)A且與P1、P2距離相等，所以l有兩種情況

10、，如下圖：當(dāng)P1、P2在l的同側(cè)時(shí)，有l(wèi)P1P2，此時(shí)可求得l的方程為y2(x1)，即y2(x1)；當(dāng)P1、P2在l的異側(cè)時(shí)，l必過(guò)P1、P2的中點(diǎn)(1，4)，此時(shí)l的方程為x1.所求直線的方程為y2(x1)或x1.題型4對(duì)稱問(wèn)題例4直線l1：2xy40，求l1關(guān)于直線l：3x4y10對(duì)稱的直線l2的方程解：在直線l1上取一點(diǎn)A(2，0)，又設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B(x0，y0)，則解得B(，)又l1與l2的交點(diǎn)為M(3，2)，故由兩點(diǎn)式可求得直線l2的方程為2x11y160.已知直線l：x2y20，試求：(1) 點(diǎn)P(2，1)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 直線l1：yx2關(guān)于直線l對(duì)稱

11、的直線l2的方程；(3) 直線l關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱的直線方程解：(1) 設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P(x0，y0)，則線段PP的中點(diǎn)M在對(duì)稱軸l上，且PPl.解得即P坐標(biāo)為.(2) 直線l1：yx2關(guān)于直線l對(duì)稱的直線為l2，則l2上任一點(diǎn)P(x，y)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)P(x，y)一定在直線l1上，反之也成立由得把(x，y)代入方程yx2并整理，得7xy140.即直線l2的方程為7xy140.(3) 設(shè)直線l關(guān)于點(diǎn)A(1，1)的對(duì)稱直線為l，則直線l上任一點(diǎn)P(x1，y1)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P(x，y)一定在直線l上，反之也成立由得將(x1，y1)代入直線l的方程得x2y40.直線l的方程為x2y

12、40.題型5三角形中的直線問(wèn)題例5直線y2x是ABC中C的平分線所在的直線，且A、B的坐標(biāo)分別為A(4，2)、B(3，1)，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)并判斷ABC的形狀解：由題意畫出草圖(如圖所示)設(shè)點(diǎn)A(4，2)關(guān)于直線l：y2x的對(duì)稱點(diǎn)為A(a，b)，則A必在直線BC上以下先求A(a，b)由對(duì)稱性可得解得 A(4，2)直線BC的方程為，即3xy100.由得C(2，4) kAC，kBC3， ACBC.ABC是直角三角形已知ABC的頂點(diǎn)為A(3，1)，AB邊上的中線所在的直線方程為6x10y590，B的平分線所在的直線方程為x4y100，求BC邊所在的直線方程解：設(shè)B(4y110，y1)，由AB的中點(diǎn)在6

13、x10y590上，可得610590，解得y1 5，所以B為(10，5)設(shè)A點(diǎn)關(guān)于x4y100的對(duì)稱點(diǎn)為A(x，y)，則有A(1，7)故BC邊所在的直線方程為2x9y650.1. 設(shè)aR，則“a1”是“直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行”的_條件答案：充分不必要解析：由a1，可得l1l2；反之，由l1l2，可得a1或a2.2. 定義：曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離已知曲線C1：yx2a到直線l：yx的距離等于曲線C2：x2(y4)22到直線l：yx的距離，則實(shí)數(shù)a_答案：解析：因曲線C2：x2(y4)22到直線l：yx的距離為2，所以曲線C1與直線

14、l不能相交，故x2ax，即x2ax0.設(shè)C1：yx2a上一點(diǎn)為(x0，y0)，則點(diǎn)(x0，y0)到直線l的距離d，所以a.3. 與直線3x4y50關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為_(kāi)答案：3x4y50解析：與直線3x4y50關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程是3x4(y)50，即3x4y50.4. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A為橢圓1的右頂點(diǎn)，點(diǎn)D(1，0)，點(diǎn)P、B在橢圓上，.(1) 求直線BD的方程；(2) 求直線BD被過(guò)P、A、B三點(diǎn)的圓C截得的弦長(zhǎng)；(3) 是否存在分別以PB、PA為弦的兩個(gè)相外切的等圓？若存在，求出這兩個(gè)圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1) 設(shè)P(x0，y0)因?yàn)椋褼(1

15、，0)，A(3，0)，點(diǎn)B、P在橢圓上，所以B(x0，y0)，所以x01，將其代入橢圓，得y02，所以P(1，2)，B(1，2)所以直線BD的方程為xy10.(2) 線段BP的垂直平分線方程為x0，線段AP的垂直平分線方程為yx1.解方程組得圓心C的坐標(biāo)為(0，1)所以圓C的半徑rCP.因?yàn)閳A心C(0，1)到直線BD的距離為d，所以直線BD被圓C截得的弦長(zhǎng)為24.(3) 這樣的圓M與圓N存在由題意得，點(diǎn)M一定在y軸上，點(diǎn)N一定在線段PC的垂直平分線yx1上當(dāng)圓M與圓N是兩個(gè)相外切的等圓時(shí)，一定有P、M、N在一條直線上，且PMPN.M(0，b)，則N(2，4b)因?yàn)辄c(diǎn)N(2，4b)在直線yx1上

16、，所以4b21，b3.所以這兩個(gè)圓的半徑為PM，方程分別為x2(y3)22，(x2)2(y1)22.1. 若動(dòng)點(diǎn)A、B分別在直線l1：xy70和l2：xy50上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為_(kāi)答案：3解析：依題意知AB的中點(diǎn)M的集合為與直線l1：xy70和l2：xy50距離都相等的直線，則M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離，設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l：xym0，根據(jù)平行線間的距離公式得|m7|m5|m6，所以l的方程為xy60，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得M到原點(diǎn)的距離的最小值為3.2. 點(diǎn)(1，cos)(其中0)到直線xsinycos10的距離是，那么等于_答案：或解析：由已

17、知得，即|sin sin2|， 4sin24sin10或4sin24sin 10， sin 或sin. 0， 0sin 1， sin ，即或.3. 求直線a：2xy40關(guān)于直線l：3x4y10對(duì)稱的直線b的方程解：由解得a與l的交點(diǎn)E(3，2)，E點(diǎn)也在b上(解法1)設(shè)直線b的斜率為k，又知直線a的斜率為2，直線l的斜率為.則，解得k.代入點(diǎn)斜式得直線b的方程為y(2)(x3)，即2x11y160.(解法2)在直線a：2xy40上找一點(diǎn)A(2，0)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0，y0)，由解得B.由兩點(diǎn)式得直線b的方程為，即2x11y160.(解法3)設(shè)直線b上的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)關(guān)

18、于l：3x4y10的對(duì)稱點(diǎn)為Q(x0，y0)，則有解得x0，y0.Q(x0，y0)在直線a：2xy40上，則240，化簡(jiǎn)得2x11y160，即為所求直線b的方程(解法4)設(shè)直線b上的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，直線a上的點(diǎn)Q(x0，42x0)，且P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線l：3x4y10對(duì)稱，則有消去x0，得2x11y160或2xy40(舍)4. 已知ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A(1，5)和B(0，1)，又知C的平分線所在的直線方程為2x3y60，求三角形各邊所在直線的方程解：設(shè)A點(diǎn)關(guān)于直線2x3y60的對(duì)稱點(diǎn)為A(x1，y1)，則解得即A，同理，點(diǎn)B關(guān)于直線2x3y60的對(duì)稱點(diǎn)為B.角平分線是角的兩邊的對(duì)稱軸，A點(diǎn)在直線BC上直線BC的方程為yx1，整理得12x31y310.同理，直線AC的方程為y5(x1)，整理得24x23y1390.直線AB