二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題.

1、浙教版九年級(jí)上冊(cè)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題知識(shí)點(diǎn)一、二次函數(shù)的概念和圖像1、二次函數(shù)的概念一般地，如果y=ax2bx c（a,b,c是常數(shù)，a = 0），特別注意 a 不為零，那么 y 叫做 x 的二次函數(shù)。y二ax2- bx - c（a,b,c是常數(shù)，a = 0）叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像K二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于x對(duì)稱(chēng)的曲線，這條曲線叫拋物線。2a拋物線的主要特征：有開(kāi)口方向；有對(duì)稱(chēng)軸；有頂點(diǎn)。3、 二次函數(shù)圖像的畫(huà)法-五點(diǎn)作圖法：（1） 先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫(huà)出對(duì)稱(chēng)軸（2）求拋物線y =ax2 bx - c與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：

2、當(dāng)拋物線與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A,B 及拋物線與 y 軸的交點(diǎn) C，再找到點(diǎn) C 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) D。將這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序連接起來(lái)，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y 軸的交點(diǎn) C 及對(duì)稱(chēng)點(diǎn) D。由 C、M、D 三點(diǎn)可粗略地畫(huà)出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫(huà)出比較精確的圖像，可再描出一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A、B，然后順次連接五點(diǎn)，畫(huà)出二次函數(shù)的圖像。【例 1】、已知函數(shù) y=x2-2x-3，（1） 寫(xiě)出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及圖象與y 軸的交點(diǎn)關(guān)于圖象對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。然后畫(huà)出函數(shù) 圖象的草圖；（2）求圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)

3、構(gòu)成的三角形的面積：（3） 根據(jù)第（1）題的圖象草圖，說(shuō)出 x 取哪些值時(shí)，y=0 :y0知識(shí)點(diǎn)二、二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的解析式有三種形式：口訣-一般兩根三頂點(diǎn)（1）般一般式：y = ax2 bx c（a, b, c是常數(shù)，a = 0）（2）兩根當(dāng)拋物線y =ax2 bx c與 x 軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2bx c=0有實(shí)根x2存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式ax2bxa（x - xj（x - x2）,二次函數(shù)y二ax2bx c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng) =a（x -xj（x -X2）。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表示。a的絕對(duì)值越大，拋物線的開(kāi)口越小。（3）三頂點(diǎn)頂點(diǎn)式：y =a（x -

4、h）2 k（a,h,k是常數(shù)，a = 0）當(dāng)題目中告訴我們拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，我們最好設(shè)頂點(diǎn)式，這樣最簡(jiǎn)潔。【例 1】、拋物線y =ax2+bx +c與 x 軸交于 A （1，0），B （3，0）兩點(diǎn)，且過(guò)（-1,16）,求拋物線的解析式?！纠纠?2】、如圖，拋物線y=ax2+bx+c與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn) A 在點(diǎn)（-2, 0）和（-1,是矩形 DEFG 上（包括邊界和內(nèi)部）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（1） abc（2） a 的取值范圍是0(或或【例【例 3】、下列二次函數(shù)中，圖象以直線x= 2 為對(duì)稱(chēng)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0 , 1）的是（）2 2 2A.y= (x- 2)+ 1 B .y= (x+ 2)+ 1

5、C .y= (x- 2)- 3知識(shí)點(diǎn)三、二次函數(shù)的最值如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)如果自變量的取值范圍是治遼X2，那么，首先要看K是否在自變量取值范圍2a則當(dāng) x=時(shí)，y最值2a4ac -b4a圍內(nèi)，y 隨 x 的增大而增大，則當(dāng)范圍內(nèi),y 隨 x 的增大而減小，則當(dāng)【例 1】、已知二次函數(shù)的圖像（ 下列說(shuō)法正確的是（ ）A .有最小值 0，有最大值 3 C.有最小值1,有最大值 3C2.y= (x+ 2)- 324ac bx時(shí)，y最值二2a4a治X X2內(nèi)，若在此范圍內(nèi),2-；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1 X乞x2范圍內(nèi)的增減性，如果在

6、此范x=X2時(shí)，y最大22=ax2bx2c，當(dāng)x = x1時(shí)，y最小二bx1c；如果在此2X=X!時(shí)，y最大=axibxic，當(dāng)X = X2時(shí)，y最小00 時(shí)，拋物線開(kāi)口向上a0 時(shí)，圖像與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) =0 時(shí)，圖像與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)二0a0圖像(1)拋物線開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸;K(2)對(duì)稱(chēng)軸是 x=-,2a(1)拋物線開(kāi)口向下，并向下無(wú)限延伸;K(2)對(duì)稱(chēng)軸是 x=,2a頂點(diǎn)坐標(biāo)是(一b,4ac$)；2a 4a頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b,4ac一八2a 4a)；性質(zhì)(3)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，即當(dāng)xK- 時(shí)，y 隨 x 的增大而減小，簡(jiǎn)記左增右減；2a(3)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，即當(dāng) xwK

7、(4)拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng) x 時(shí)，y 有最2a值，y最小值=字4a大值，y最大值=上尸4a02【例【例 3】、由二次函數(shù) y=2(x3)2+1，可知()A.其圖象的開(kāi)口向下B.其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x二_3C.其最小值為 1 D .當(dāng)x：:3時(shí)，y 隨 x 的增大而增大【例 4】 已知函數(shù)y =(k _3)x2 3+2x+1的圖象與x軸有交點(diǎn)，貝 Uk的取值范圍是()A. k 4B.k 乞 4C.k：4 且 k =3D. k 空 4 且 k =3【例5】 下列函數(shù)中,當(dāng)x0 時(shí)y值隨x值增大而減小的是().231A.y=:xB.y=x1C.y= :4xD. y =-x【例6】 若二次函數(shù)y =(

8、x-m)2-1 .當(dāng)xwl 時(shí)，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是()A .,m=l B.m1C.ml D.mwl知識(shí)點(diǎn)五、二次函數(shù)圖象的平移1對(duì)于拋物線 y=ax2+bx+c 的平移2通常先將一般式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng) =a(x-h ) +k，再遵循 左加右減，上加下減的的原則化為頂點(diǎn)式有兩種方法：配方法，頂點(diǎn)坐標(biāo)公式法。在用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)后，在寫(xiě)頂點(diǎn)式時(shí)，要減 去頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，加上頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。2y二ax2bx c沿 y 軸平移：向上(下)平移m(m 0)個(gè)單位，y二ax2bx c變成y二ax2bx c m2(或y = ax bx c _m)3當(dāng)然，對(duì)于拋物線的一般式平移時(shí)，也可以

9、不把它化為頂點(diǎn)式2 2 2y = ax bx c:向左(右)平移m(m0)個(gè)單位，y =ax bx c變成y = a(x m) b(x m) c(或2y =a(x -m) b(x -m) c)2【例【例 1】 將拋物線 y = -x 向左平移 2 個(gè)單位后，得到的拋物線的解析式是()2x 2-3平移得到，則下列平移過(guò)程正確的是()3a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與y=ax2中的a完全一樣.2 2A .y = -(X 2)B .y二-x2 22C .y =(x -2)D .y一x -2【公式】拋物線 y=ax2+bx+c 在 x 軸上截得的線段的長(zhǎng)度為2知識(shí)點(diǎn)六、拋物線y =ax bx c中，a、

10、b、c 的作用【例【例 2】 將拋物線 y=x2 2x 向上平移3 個(gè)單位，再向右平移 4 個(gè)單位等到的拋物線是【例 3】拋物線y =x2可以由拋物線A.先向左平移2 個(gè)單位，再向上平移3 個(gè)單位B.先向左平移2 個(gè)單位 ,再向下平移3 個(gè)單位C.先向右平移2 個(gè)單位 ,再向下平移3 個(gè)單位D.先向右平移2 個(gè)單位 ,再向上平移3 個(gè)單位【補(bǔ)】拋物線 y=2x2-3x-7在 x 軸上截得的線段的長(zhǎng)度為(2) b 和a共同決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線y = ax2bx c的對(duì)稱(chēng)軸是直線2a，故：b =知識(shí)點(diǎn)七、中考二次函數(shù)壓軸題中常用到的公式（浙教版教材上沒(méi)講過(guò)，但是非常有用，一定要理解性

11、地記憶）1、兩點(diǎn)間距離公式：如圖：點(diǎn)A 坐標(biāo)為（X1,X1_X2 2yr_y2 2（這實(shí)際上是根據(jù)勾股定理得出來(lái)的）對(duì)稱(chēng)軸為y軸；b0（即a、b同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)；b:：:0（即a、b異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右aa側(cè)口訣-左同，右異（a、b同號(hào)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)）（3）c的大小決定拋物線y = ax2bx c與y軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)x=0時(shí)，y二c，二拋物線y二ax2 bx c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0,c）:c = 0，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；c 0,與y軸交于正半軸;的是（）A. a0 B.bv0 C.cv0 D.a+b+c0【例【例 3、如圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中，劉星同學(xué)

12、觀察得出了下面四條信息：（1）b24ac0； （2）【例【例 4】、如圖，二次函數(shù) y=ax?+bx+c 的圖象與 y 軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為,1 I,下列結(jié)論：acv0；a+b=0； 遼丿24ac b=4a: a+b+cv0.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【例 5】、如圖，是二次函數(shù) y = ax + bx+ c（ a豐0）的圖象的一部分，給出下列命題 ：a+b+c=0:b2a;ax +bx+c=0的兩根分別為-3 和 1;a-2b+c 0 .其中正確的命題是【例【例 6】、如圖，平面直角坐標(biāo)系中，兩條拋物線有相同的.對(duì)稱(chēng)軸，則下列關(guān)系正確的是（A. m= n

13、,khc：0,與y軸交于負(fù)半軸以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，則【例【例 1】、如圖為拋物線y = ax2亠bx亠c的圖像,A、B C為拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，且0A0G1,則下列關(guān)系中正確A. a + b= 1B. a b=1C . b1 ； （3） 2ab0； （4）a+b+cn, ,k=h.mvn,k=hD. ac3)B . 1C . 24.如圖，已知二次函數(shù)y =x2bx c 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一 1, 0),1, 2),當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí),x的取值范圍是_ .5.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線A.y -(x 1)22y 軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180 所得拋物線的

14、解析式是().C.y -(x T)22D .y = -(x T)24A. 1. 5mB . 1. 625 mC. 1. 66 m D . 1. 67 m2、已知函數(shù)A. 0D. 3中的大致圖象).26.已知二次函數(shù)y =ax bx c的圖像如圖，其對(duì)稱(chēng)軸x = -1,給出下列結(jié)果b2. 4acabc 02a - b=0a b c 0a -b c：0，則正確的結(jié)論是（）7.拋物線y二ax2bx c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如上表：從上表可知，下列說(shuō)法中正確的是_ .（填寫(xiě)序號(hào)）拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（3,0）；函數(shù)y = ax2+bx + c的最大值為 6；1拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是X二一；

15、28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x增大而增大.O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)是（一 2, 4）,過(guò)點(diǎn) A 作 AB 丄 y 軸，垂足為 B,連結(jié) OA.2（1）求厶 OAB 的面積；（2）若拋物線y二-X -2x c經(jīng)過(guò)點(diǎn) A.求 c 的值；將拋物線向下平移 m 個(gè)單位，使平移后得到的拋物線頂點(diǎn)落在的內(nèi)部（不包括 OAB 的邊界），求 m 的取值范圍（直接寫(xiě)出答案即可）.1 !_ !9、“已知函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A （ c, 2）,，這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x=3。題2 -目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無(wú)法辨認(rèn)的文字。（1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你

16、能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請(qǐng)寫(xiě)出求解過(guò)程，并畫(huà)出二次函 數(shù)圖象；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。ABCD 是直角梯形，BC/ AD，/ BAD= 90 BC 與 y 軸相交于點(diǎn) M，且x21012y04664C D10、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形M 是 BC 的中點(diǎn)，A、B、D 三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A (-1 , 0), B( -1 , 2), D( 3,0），連接 DM，并把線段 DM 沿 DA 方向平移到 ON，若拋物線2y=ax +bx+c 經(jīng)過(guò)點(diǎn) D、M、N. （1）求拋物線的解析式2（2）拋物線上是否存在點(diǎn) P .使得 PA= PC.若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由。(3) 設(shè)拋物線與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 E.點(diǎn) Q 是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) Q 在什么位置時(shí)有1211、如圖，拋物線 y=x+bx 2 與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于 C 點(diǎn)，且 A (一 1, 0)2求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D 的坐標(biāo)；判斷 ABC 的形狀，證明你的結(jié)論；點(diǎn) M(m , 0)是 x 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) CM+DM 的值最