向量的方向余弦及投影

1、向量的方向余弦及投影 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何 第二節(jié) 向量的方向余弦及投影四、方向角和方向余弦五、向量在軸上的投影向量的方向余弦及投影空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a與與向向量量b的的夾夾角角),(ba ),(ab 類似地，可定義類似地，可定義向量與一軸向量與一軸或或空間兩軸空間兩軸的夾角的夾角.特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. 0() 四、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式向量的方向余弦及投影非零向量非零向量 的的方向角方向角：

2、a非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 向量的方向余弦及投影xyzo 1M 2M 由圖分析可知由圖分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模長的坐標(biāo)表示式向量模長的坐標(biāo)表示式21212121RMQMPMMM 向量的方向余弦及投影0222 zyxaaa當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxza

3、aaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量的方向余弦及投影1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a(,)| | |yxxaaaaaaaa.cos,cos,cos 特殊地：單位向量的方向余弦為特殊地：單位向量的方向余弦為向量的方向余弦及投影例1 已知兩點(diǎn)A（2,2, ）,B(1,3,0),求向量 的模，方向余弦和方向角。解：2AB (1,3,0)(2,2,2)( 1,1,2)ABOBOA 1 1 242AB 112cos,cos,cos222 213,.334 向量的方向余弦及投影空間一點(diǎn)在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影u AA 過過點(diǎn)點(diǎn)A作作軸軸u的的垂垂

4、直直平平面面，交交點(diǎn)點(diǎn)A 即即為為點(diǎn)點(diǎn)A在在軸軸u上上的的投投影影.OA為OA在軸u上的分向量O A e , 為向量OA在u軸上的投影五 向量在軸上的投影向量的方向余弦及投影n向量投影的性質(zhì)(a)u=|a|cos, (Prjua=|a|cos );(a+b) u=(a)u+(b)u, (Prju (a+b)=Prjua+Prjub);(a)u= (a)u , (Prju (a)= Prju (a).向量的方向余弦及投影AAB6OA4Axy 例7 設(shè)點(diǎn)位于第I卦限，其向徑的模 ，且向徑與 軸、 軸的夾角依次為和，3求點(diǎn)的坐標(biāo)。222222 ,coscoscos134121cos1()(),2241Acos.2 OA6A解=，=由關(guān)系式得由點(diǎn)在第一卦限，知121于是（，）（3，32，3），222也就是點(diǎn)的坐標(biāo)。向量的方向余弦及投影OM OMOAOA,OAOMPrjOAa 例8 設(shè)立方體的一條對角線為，一條棱為，且求在方向上的投影OMMOA= ,1cos3PrjOAcos.3OAOMaOA 解記則則向量的方向余弦及投影向量在軸上的投影與投影定理向量在軸上的投影與投影定理.向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)向量在坐標(biāo)軸上的分向