圓中的動(dòng)點(diǎn)問題(共11頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圓中的動(dòng)態(tài)問題【方法點(diǎn)撥】 圓中的動(dòng)態(tài)問題實(shí)際是圓的分類討論問題，做這種題型重要的是如何將動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為固定的點(diǎn)，從而將題型變?yōu)榉诸愑懻摗镜湫屠}】題型一：圓中的折疊問題例題一 （2012江西南昌12分）已知，紙片O的半徑為2，如圖1，沿弦AB折疊操作（1）折疊后的所在圓的圓心為O時(shí)，求OA的長度； 如圖2，當(dāng)折疊后的經(jīng)過圓心為O時(shí)，求的長度； 如圖3，當(dāng)弦AB=2時(shí)，求圓心O到弦AB的距離；（2）在圖1中，再將紙片O沿弦CD折疊操作如圖4，當(dāng)ABCD，折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)O到弦ABCD的距離之和為d，求d的值；如圖5，當(dāng)AB與CD不平行，折疊后的與所在圓外

2、切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，試探究四邊形OMPN的形狀，并證明你的結(jié)論【答案】解：（1）折疊后的所在圓O與O是等圓，OA=OA=2。當(dāng)經(jīng)過圓O時(shí)，折疊后的所在圓O在O上，如圖2所示，連接OAOAOB，OB，OO。OOA，OOB為等邊三角形，AOB=AOO+BOO=60°+60°=120°。的長度。如圖3所示，連接OA，OB，OA=OB=AB=2，AOB為等邊三角形。過點(diǎn)O作OEAB于點(diǎn)E，OE=OAsin60°=。（2）如圖4，當(dāng)折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，過點(diǎn)O作EFAB交AB于點(diǎn)H、交于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)G、交于點(diǎn)F，即點(diǎn)E、H

3、、P、O、G、F在直徑EF上。ABCD，EF垂直平分AB和CD。根據(jù)垂徑定理及折疊，可知PH=PE，PG=PF。又EF=4，點(diǎn)O到ABCD的距離之和d為：d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2。如圖5，當(dāng)AB與CD不平行時(shí)，四邊形是OMPN平行四邊形。證明如下：設(shè)O，O為和所在圓的圓心，點(diǎn)O與點(diǎn)O關(guān)于AB對稱，點(diǎn)O于點(diǎn)O關(guān)于CD對稱，點(diǎn)M為的OO中點(diǎn)，點(diǎn)N為OO的中點(diǎn)。折疊后的與所在圓外切，連心線OO必過切點(diǎn)P。折疊后的與所在圓與O是等圓，OP=OP=2，PM=OO=ON，PN=OO=OM，四邊形OMPN是平行四邊形?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題）相切兩圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，

4、平行四邊形的判定，垂徑定理，弧長的計(jì)算，解直角三角形，三角形中位線定理。【分析】（1）折疊后的所在圓O與O是等圓，可得OA的長度。如圖2，過點(diǎn)O作OEAB交O于點(diǎn)E，連接OAOBAE、BE，可得OAE、OBE為等邊三角形，從而得到的圓心角，再根據(jù)弧長公式計(jì)算即可。如圖3，連接OAOB，過點(diǎn)O作OEAB于點(diǎn)E，可得AOB為等邊三角形，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)可求折疊后求所在圓的圓心O到弦AB的距離。（2）如圖4，與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，過點(diǎn)O作EFAB交于于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，根據(jù)垂徑定理及折疊，可求點(diǎn)O到ABCD的距離之和。由三角形中位線定理，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得證。 變式一 如

5、圖是一圓形紙片，AB是直徑，BC是弦，將紙片沿弦BC折疊后，劣弧BC與AB交于點(diǎn)D，得到ODCAB（1）若，求證： 必經(jīng)過圓心O；（2）若AB8，2，求BC的長 變式二 如圖，ABC內(nèi)接于O，ADBC，OEBC，OE=BC（1）求BAC的度數(shù)；（2）將ACD沿AC折疊為ACF，將ABD沿AB折疊為ABG，延長FC和GB相交于點(diǎn)H；求證：四邊形AFHG是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD的長 題型二：圓中的旋轉(zhuǎn)問題例題二 (2011湖南常德,25.10分)已知ABC，分別以AC和BC為直徑作半圓，P是AB的中點(diǎn)。（1）如圖8，若ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分別取點(diǎn)E、F，使，則

6、有結(jié)論.四邊形是菱形。請給出結(jié)論的證明；（2）如圖9，若（1）中ABC是任意三角形，其它條件不變，則（1）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；（3）如圖10，若PC是的切線，求證：（1）BC是O2直徑，則O2是BC的中點(diǎn)又P是AB的中點(diǎn)，P O2是ABC的中位線P O2 AC又AC是O1直徑P O2 O1CAC同理P O1 O2C BCAC BC P O2 O1CP O1 O2C 四邊形是菱形（2）結(jié)論P(yáng)O1EPO2F成立，結(jié)論不成立證明：在（1）中已證PO2AC，又O1EACPO2O1E 同理可得PO1O2FPO2是ABC的中位線 PO2AC PO2BACB同理P O1AACB PO2

7、BP O1A AO1E BO2F P O1A+AO1E PO2B+BO2F即P O1E F O2 P、 EO1PPO2F；（3）延長AC交O2于點(diǎn)D，連接BD BC是O2的直徑，則D90°， 又PC是O1的切線，則ACP90°， ACPD 又PACBADAPCBAD又P是AB的中點(diǎn)ACCD在RtBCD中，在RtABD中，評析：要證一個(gè)四邊形是菱形，可證它的四條邊相等，也可證明它是有一組鄰邊相等的平行四邊形或?qū)蔷€互相垂直的平行四邊形；要證兩三角形全等，可通過SSS，SAS，ASA，或AAS來加以判斷；當(dāng)待證式中出現(xiàn)多個(gè)平方的形式時(shí)，應(yīng)首先考慮勾股定理及等量代換變式一 閱讀下

8、列材料，然后解答問題。經(jīng)過正四邊形（即正方形）各頂點(diǎn)的圓叫作這個(gè)正四邊形的外接圓。圓心是正四邊形的對稱中心，這個(gè)正四邊形叫作這個(gè)圓的內(nèi)接正四邊形。如圖（十三），已知正四邊形ABCD的外接圓O，O的面積為S，正四邊形ABCD的面積為S，以圓心O為頂點(diǎn)作MON，使MON=90°，將MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，OM、ON分別與O相交于點(diǎn)E、F，分別與正四邊形ABCD的邊相交于點(diǎn)G、H。設(shè)OE、OF、及正四邊形ABCD的邊圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積為S（1）當(dāng)OM經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)（如圖），則S、S、S之間的關(guān)系為：S （用含S、S的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)OMAB時(shí)（如圖），點(diǎn)G為垂足，則（1）中的結(jié)論

9、仍然成立嗎？請說明理由。（3）當(dāng)MON旋轉(zhuǎn)到任意位置時(shí)（如圖，）則（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？請說明理由【答案】解：（1）（2）成立。理由：連OB，可證圖中的兩個(gè)陰影部分的面積之和等于圖的陰影部分的面積（3）成立。過點(diǎn)O分別作AB、BC的垂線交AB、BC于點(diǎn)P、Q，交圓于點(diǎn)X、Y，可證直角三角形OPG全等于直角三角形OQH，可說明兩陰影部分面積之和等于圖的陰影部分面積變式二 （2012杭州）如圖，AE切O于點(diǎn)E，AT交O于點(diǎn)M，N，線段OE交AT于點(diǎn)C，OBAT于點(diǎn)B，已知EAT=30°，AE=3，MN=2（1）求COB的度數(shù)；（2）求O的半徑R；（3）點(diǎn)F在O上（是劣?。?，且EF=5

10、，把OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E，F(xiàn)重合在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有多少個(gè)？你能在其中找出另一個(gè)頂點(diǎn)在O上的三角形嗎？請?jiān)趫D中畫出這個(gè)三角形，并求出這個(gè)三角形與OBC的周長之比考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂徑定理；平移的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：（1）由AE與圓O相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AE與CE垂直，又OB與AT垂直，可得出兩直角相等，再由一對對頂角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形AEC與三角形OBC相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等可得出所求的角與A相等，由A的度數(shù)即可求出所求角的

11、度數(shù)；（2）在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出CE的長，再由OB垂直于MN，由垂徑定理得到B為MN的中點(diǎn)，根據(jù)MN的長求出MB的長，在直角三角形OBM中，由半徑OM=R，及MB的長，利用勾股定理表示出OB的長，在直角三角形OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用銳角三角函數(shù)定義表示出OC，用OEOC=EC列出關(guān)于R的方程，求出方程的解得到半徑R的值；（3）把OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E，F(xiàn)重合在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有6個(gè)，如圖所示，每小圖2個(gè)，頂點(diǎn)在圓上的三角形，延長EO與圓交于點(diǎn)D，連接DF，由第二問求出

12、半徑，的長直徑ED的長，根據(jù)ED為直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到三角形EFD為直角三角形，由FDE為30°，利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長，表示出三角形EFD的周長，再由第二問求出的三角形OBC的三邊表示出三角形BOC的周長，即可求出兩三角形的周長之比解答：解：（1）AE切O于點(diǎn)E，AECE，又OBAT，AEC=CBO=90°，又BCO=ACE，AECOBC，又A=30°，COB=A=30°；（2）AE=3，A=30°，在RtAEC中，tanA=tan30°=，即EC=AEtan30°=3，OBMN，B為MN的中點(diǎn)

13、，又MN=2，MB=MN=，連接OM，在MOB中，OM=R，MB=，OB=，在COB中，BOC=30°，cosBOC=cos30°=，BO=OC，OC=OB=，又OC+EC=OM=R，R=+3，整理得：R2+18R115=0，即（R+23）（R5）=0，解得：R=23（舍去）或R=5，則R=5；（3）在EF同一側(cè)，COB經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，這樣的三角形有6個(gè)，如圖，每小圖2個(gè)，頂點(diǎn)在圓上的三角形，如圖所示：延長EO交圓O于點(diǎn)D，連接DF，如圖所示，EF=5，直徑ED=10，可得出FDE=30°，F(xiàn)D=5，則CEFD=5+10+5=15+5，由（2）可得CC

14、OB=3+，CEFD：CCOB=（15+5）：（3+）=5：1點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，平移及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵題型三：圓中的動(dòng)點(diǎn)例題三 （2012江蘇南京10分）如圖，A、B為O上的兩個(gè)定點(diǎn)，P是O上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A、B重合），我們稱APB為O上關(guān)于A、B的滑動(dòng)角。（1）已知APB是上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角。 若AB為O的直徑，則APB= 若O半徑為1，AB=，求APB的度數(shù)（2）已知為外一點(diǎn)，以為圓心作一個(gè)圓與相交于A、B兩點(diǎn)，APB為上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，直線

15、PA、PB分別交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與點(diǎn)B均不重合），連接AN，試探索APB與MAN、ANB之間的數(shù)量關(guān)系?！敬鸢浮拷猓海?）900。如圖，連接AB、OA、OB在AOB中，OA=OB=1AB=，OA2+OB2=AB2。AOB=90°。當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧 AB 上時(shí)（如圖1），APB=AOB=45°；當(dāng)點(diǎn)P在劣弧 AB 上時(shí)（如圖2），APB=（360°AOB）=135°。（2）根據(jù)點(diǎn)P在O1上的位置分為以下四種情況第一種情況：點(diǎn)P在O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖3，MAN=APB+ANB，APB=MAN-ANB。第二種情況：

16、點(diǎn)P在O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)N在點(diǎn)P與點(diǎn)B之間，如圖4，MAN=APB+ANP=APB+（180°ANB），APB=MAN+ANB180°。第三種情況：點(diǎn)P在O2外，且點(diǎn)M在點(diǎn)P與點(diǎn)A之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖5，APB+ANB+MAN=180°，APB=180°MANANB。第四種情況：點(diǎn)P在O2內(nèi)，如圖6，APB=MAN+ANB。【考點(diǎn)】圓周角定理，勾股定理逆定理，三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°即可得APB=900。根據(jù)勾股定理的逆定理可得AOB=90°，再分點(diǎn)P在優(yōu)弧上

17、；點(diǎn)P在劣弧上兩種情況討論即可。（2）根據(jù)點(diǎn)P在O1上的位置分為四種情況得到APB與MAN、ANB之間的數(shù)量關(guān)系。變式一 如圖12-1所示，在中，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在邊上自由移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)在邊上自由移動(dòng)（1）點(diǎn)的移動(dòng)過程中，是否能成為的等腰三角形？若能，請指出為等腰三角形時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置若不能，請說明理由（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，求與之間的函數(shù)解析式，寫出的取值范圍（3）在滿足（2）中的條件時(shí)，若以為圓心的圓與相切（如圖12-2），試探究直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論圖12-1圖12-2AEFOCBAEFOCB（圖121）（圖122）解：如圖，（1）點(diǎn)移動(dòng)的過程中，能成為的等腰三角形此時(shí)點(diǎn)的位置分別是：是的中點(diǎn)，

18、與重合與重合，是的中點(diǎn)（2）在和中，又，（3）與相切，即又，點(diǎn)到和的距離相等與相切，點(diǎn)到的距離等于的半徑與相切變式二 如圖，在O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，AC=AB，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)C作直線PB的垂線CD交PB于D點(diǎn)（1）如圖1，求證：PCDABC；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PCDABC？請?jiān)趫D2中畫出PCD并說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CPAB時(shí)，求BCD的度數(shù)【課后練習(xí)】1、（2012湘潭）如圖，在O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，AC=AB，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)C作直線PB的垂線CD交PB于D點(diǎn)

19、（1）如圖1，求證：PCDABC；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PCDABC？請?jiān)趫D2中畫出PCD并說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CPAB時(shí)，求BCD的度數(shù)考點(diǎn)：圓周角定理；全等三角形的性質(zhì)；垂徑定理；相似三角形的判定。專題：幾何綜合題。分析：（1）由AB是O的直徑，根據(jù)直徑對的圓周角是直角，即可得ACB=90°，又由PDCD，可得D=ACB，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得A=P，根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，即可判定：PCDABC；（2）由PCDABC，可知當(dāng)PC=AB時(shí)，PCDABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；（3）由ACB=90°，AC=AB，可求得ABC的度數(shù)，然后利用相似，即可得PCD的度數(shù)，又由垂徑定理，求得=，然后利用圓周角定理求得ACP的度數(shù)，繼而求得答案解答：（1）證明：AB是O的直徑，ACB=90°，PDCD，D=90°，D=ACB，A與P是對的圓周角，A=P，PCDABC；（2）解：當(dāng)PC是O的直徑時(shí)，PCDABC，理由：AB，PC是O的半徑，AB=PC，PCDABC，PCDABC；（3）解：ACB=90°，AC=AB