數(shù)形結(jié)合思想在解題中應(yīng)用(包含30例子)

1、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用（包含30例子）一、知識(shí)整合 1數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題能迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。2實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來(lái)的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含

2、有明顯的幾何意義。 3縱觀多年來(lái)的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。 4數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見(jiàn)的如在解方程和解不等式問(wèn)題中，在求函數(shù)的值域，最值問(wèn)題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問(wèn)題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野。二、例題分析 例1. 分析：， 例2. 解：法一、常規(guī)解法： 法二、數(shù)形結(jié)合解法： 例3. A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 1個(gè)或

3、2個(gè)或3個(gè) 分析：出兩個(gè)函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程有2個(gè)實(shí)根，選（B）。 例4. 分析： 例5. 分析：構(gòu)造直線的截距的方法來(lái)求之。 截距。 例6. 分析：以3為半徑的圓在x軸上方的部分，（如圖），而N則表示一條直線，其斜率k=1，縱截 例7. MF1的中點(diǎn)，O表示原點(diǎn)，則|ON|=（ ） 分析：設(shè)橢圓另一焦點(diǎn)為F2，（如圖）， 又注意到N、O各為MF1、F1F2的中點(diǎn)， ON是MF1F2的中位線， 若聯(lián)想到第二定義，可以確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求MF1中點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|ON|，但這樣就增加了計(jì)算量，方法較之顯得有些復(fù)雜。例8. 分析： 例9. 解法一（代數(shù)法

4、）：， 解法二（幾何法）： 例10. 分析：轉(zhuǎn)化出一元二次函數(shù)求最值；倘若對(duì)式子平方處理，將會(huì)把問(wèn)題復(fù)雜化，因此該題用常規(guī)解法顯得比較困難，考慮到式中有兩個(gè)根號(hào)，故可采用兩步換元。 解： 第一象限的部分（包括端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，（如圖） 相切于第一象限時(shí)，u取最大值 【模擬試題】一、選擇題： 1. 方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為（ ） A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè) 2. 函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 3. 設(shè)命題甲：，命題乙：，則甲是乙成立的（ ） A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件 C. 充要條件D. 不充分也不必要條件 4. 適合且的復(fù)數(shù)z

5、的個(gè)數(shù)為（ ） A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 4個(gè) 5. 若不等式的解集為則a的值為（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 6. 已知復(fù)數(shù)的最大值為（ ） A. B. C. D. 7. 若時(shí)，不等式恒成立，則a的取值范圍為（ ） A. （0，1）B. （1，2）C. （1，2D. 1，2 8. 定義在R上的函數(shù)上為增函數(shù)，且函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，則（ ） A. B. C. D. 二、填空題： 9. 若復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為_(kāi)。 10. 若對(duì)任意實(shí)數(shù)t，都有，則、由小到大依次為_(kāi)。 11. 若關(guān)于x的方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)。 12. 函數(shù)的最小值為_(kāi)。 13.

6、若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_。三、解答題： 14. 若方程上有唯一解， 求m的取值范圍。 15. 若不等式的解集為A，且，求a的取值范圍。 16. 設(shè)，試求下述方程有解時(shí)k的取值范圍。 【試題答案】一、選擇題 1. C 提示：畫出在同一坐標(biāo)系中的圖象，即可。 2. D 提示：畫出的圖象 情形1： 情形2： 3. A 4. C 提示：|Z1|=1表示以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓，顯然點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)滿足條件，另外，點(diǎn)O對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)O，因其輻角是多值，它也滿足，故滿足條件的z有兩個(gè)。 5. B 提示：畫出的圖象，依題意，從而。 6. C 提示：由可知，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以（0

7、，0）為圓心，以2為半徑的圓上， 而 表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離， 結(jié)合圖形，易知，此距離的最大值為： 7. C 提示：令， 若a>1，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當(dāng)時(shí)， 要使，只需使，綜上可知 當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)恒成立。 若，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當(dāng)時(shí)，不等式恒不成立。 可見(jiàn)應(yīng)選C 8. A 提示：f(x+2)的圖象是由f(x)的圖象向左平移2個(gè)單位而得到的，又知f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=0（即y軸）對(duì)稱，故可推知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，由f(x)在（）上為增函數(shù)，可知，f(x)在上為減函數(shù)，依此易比較函數(shù)值的大小。二、填空題： 9. 提示：|Z|=2表示以原點(diǎn)為原心，以2為

8、半徑的圓，即滿足|Z|=2的復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓O上運(yùn)動(dòng)，（如下圖），而|z+1i|=|z（1+i）|表示復(fù)數(shù)Z與1+i對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)的距離。 由圖形，易知，該距離的最大值為。 10. 提示：由知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，又為二次函數(shù)，其圖象是開(kāi)口向上的拋物線，由f(x)的圖象，易知的大小。 11. 提示：設(shè)，畫出兩函數(shù)圖象示意圖，要使方程有四個(gè)不相等實(shí)根，只需使 12. 最小值為 提示：對(duì)，聯(lián)想到兩點(diǎn)的距離公式，它表示點(diǎn)（x，1）到（1，0）的距離，表示點(diǎn)（x，1）到點(diǎn)（3，3）的距離，于是表示動(dòng)點(diǎn)（x，1）到兩個(gè)定點(diǎn)（1，0）、（3，3）的距離之和，結(jié)合圖形，易得。 13. 提示：y=

9、xm表示傾角為45°，縱截距為m的直線方程，而則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x軸的交點(diǎn)），如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，只需直線的縱截距，即。三、解答題： 14. 解：原方程等價(jià)于 令，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出它們的圖象， 其中注意，當(dāng)且僅當(dāng)兩函數(shù)的圖象在0，3）上有唯一公共點(diǎn)時(shí)，原方程有唯一解，由下圖可見(jiàn)，當(dāng)m=1，或時(shí)，原方程有唯一解，因此m的取值范圍為3，01。 注：一般地，研究方程時(shí)，需先將其作等價(jià)變形，使之簡(jiǎn)化，再利用函數(shù)圖象的直觀性研究方程的解的情況。 15. 解：令表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x軸的上方的部分

10、（包括圓與x軸的交點(diǎn)），如下圖所示，表示過(guò)原點(diǎn)的直線系，不等式的解即是兩函數(shù)圖象中半圓在直線上方的部分所對(duì)應(yīng)的x值。 由于不等式解集 因此，只需要 a的取值范圍為（2，+）。 16. 解：將原方程化為：， 令，它表示傾角為45°的直線系， 令，它表示焦點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)為（a，0）（a，0）的等軸雙曲線在x軸上方的部分， 原方程有解， 兩個(gè)函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，由下圖，知 k的取值范圍為數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學(xué)試題的的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題是發(fā)揮著奇特功效，復(fù)習(xí)中要以熟練技能、方法為目標(biāo)，加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為兩大部分，一部分是

11、數(shù)，一部分是形，但數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非?！薄皵?shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性。我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：

12、第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”。“以數(shù)解形”就是有些圖形太過(guò)于簡(jiǎn)單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來(lái)，這時(shí)就需要給圖形賦值，如邊長(zhǎng)、角度等等，特別是在做選擇題時(shí)，只有一個(gè)答案是正確答案，用此種方法就可能起到意想不到的效果。由于這“以數(shù)解形”比較簡(jiǎn)單，所以這里就不多做介紹了。“以形助數(shù)”是指把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，可避免繁雜的計(jì)算，獲得出奇制勝的解法。學(xué)生通常把“數(shù)形結(jié)合”就理解為“以形助數(shù)”，也可以這么說(shuō)，理解了并掌握了“以形助數(shù)”這種思想方法，就是理解了“數(shù)形結(jié)合”?！耙孕沃鷶?shù)”中的“形”，或有形或無(wú)形。若有形，則可為圖表與模型，若無(wú)形，則可另行構(gòu)造或聯(lián)想。因此“以

13、形輔數(shù)”的途徑大體有三種：一是運(yùn)用圖形；二是構(gòu)造圖形；三是借助于代數(shù)式的幾何意義。以下我將從 “數(shù)形結(jié)合”在哪些題型中可以應(yīng)用和使用“數(shù)形結(jié)合”時(shí)要注意哪些事項(xiàng)這兩個(gè)方面來(lái)具體介紹數(shù)形結(jié)合這種思想方法。1. 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用1.1 在方程、函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用方程f(x) g(x) = 0的解情況，可化為f(x)g(x) 的解情況，也可看作函數(shù)y = f(x) 與y = g(x) 圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的情況，所以只要我們準(zhǔn)確地畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，再根據(jù)圖像就能很容易地看出它們有幾個(gè)交點(diǎn)，及交點(diǎn)大致的位置或坐標(biāo)，還有一些其它的重要信息，這樣我們就可以根據(jù)這些信息來(lái)解題，特別是選擇題。對(duì)于計(jì)算題，我

14、們也可以用數(shù)形結(jié)合這種方法為自己提供一種思考問(wèn)題的思路，也可以用來(lái)檢查自己到底有沒(méi)有做錯(cuò)。例拋物線 與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為、，點(diǎn)(4，8k)在拋物線上且AQBQ，則 （）、分析這樣的題目，用常規(guī)的解法很難找到突破口。如圖-所示：我們不難發(fā)現(xiàn)，不論函數(shù)圖像開(kāi)口向上還是向下，a ，k總是異號(hào)的，即 再看看各個(gè)備選項(xiàng)，不難發(fā)現(xiàn)只有表示的是小于的。故本題選（）。例方程 的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)有（）2已知f(x)axb的圖象如圖所示，則f(3)_.解析：由圖象知f(0)1b2，b3.又f(2)a230，a，則f(3)()3333.答案：334(2009年高考山東卷)若函數(shù)f(x)axxa(a>0，且a1)有兩個(gè)

15、零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)yax與函數(shù)yxa交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由函數(shù)的圖象可知a>1時(shí)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，0<a<1時(shí)兩函數(shù)圖象有惟一交點(diǎn)，故a>1.答案：(1，+)9(2009年高考上海卷)當(dāng)0x1時(shí)，不等式sinkx恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析：當(dāng)0x1時(shí)，ysin的圖象如圖所示，ykx的圖象在0,1之間的部分應(yīng)位于此圖象下方，當(dāng)k0時(shí)，ykx在0,1上的圖象恒在x軸下方，原不等式成立當(dāng)k>0，kxsin時(shí)，在x0,1上恒成立，k1即可故k1時(shí)，x0,1上恒有sinkx.答案：k1數(shù)形結(jié)合思想1.數(shù)形結(jié)合的思想方法也是

16、一種重要的數(shù)學(xué)策略,它包括兩個(gè)方面:“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”.“以形助數(shù)”即是借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，它是以“形”為手段，以“數(shù)”為目的，如應(yīng)用函數(shù)的圖象來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)用數(shù)軸直觀表達(dá)不等式組的解集.“以數(shù)助形”是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，它是以“數(shù)”為手段，以“形”為目的，如二分法確認(rèn)方程根的分布，曲線方程可以精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).2.數(shù)形結(jié)合，是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的一種重要思想方法，也是一種智慧的解題技巧，它可以使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化，繁瑣的問(wèn)題條理化，從而，便于找到簡(jiǎn)捷的解題思

17、路，使問(wèn)題得到解決.3.在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí)，還必須關(guān)注以下幾個(gè)方面：（1）由數(shù)想形時(shí)，要注意“形”的準(zhǔn)確性，這是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ).（2）數(shù)形結(jié)合，貴在結(jié)合，要充分發(fā)揮兩者的優(yōu)勢(shì).“形”有直觀、形象的特點(diǎn)，但代替不上具體的運(yùn)算和證明，在解題中往往提供一種數(shù)學(xué)解題的平臺(tái)或模式，而“數(shù)”才是其真正的主角，若忽視這一點(diǎn)，很容易造成對(duì)數(shù)形結(jié)合的謬用.4.數(shù)學(xué)前輩華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少知覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非.切莫忘幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離”.可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種智慧的數(shù)學(xué)方法，備考中要仔細(xì)體會(huì)，牢

18、固掌握，熟練應(yīng)用.【例1】已知奇函數(shù)f(x)的定義域是x|x0,xR，且在(0,+）上單調(diào)遞增，若f(1)=0,滿足x·f(x)<0的x的取值范圍是 .分析 函數(shù)f（x）比較抽象，欲解出目標(biāo)不等式是不可能的，注意到x·f（x）<0表明自變量與函數(shù)值異號(hào)，故可作出f（x）的圖象加以解決.解析 作出符合條件的一個(gè)函數(shù)圖象（草圖即可），可知：x·f（x）<0的x取值范圍是（-1，0）（0，1）.探究拓展 函數(shù)圖象是函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的一種表現(xiàn)方式，它具有直觀、形象、簡(jiǎn)明的特點(diǎn).通過(guò)繪出函數(shù)圖象，依圖象確定相關(guān)不等式的解集的方法，稱作“圖象法解不等式”.變式訓(xùn)

19、練1 （2009·徐州調(diào)研）設(shè)奇函數(shù)y=f(x)，(x0),當(dāng)x(0,+)時(shí)，f(x)=x-1，則不等式f(x-1)<0的解集是 .解析 常規(guī)方法是分x-1>0,x-1<0討論，分別得到不等式，并解之.如果能根據(jù)已知條件作出y=f(x)的圖象（奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱），則可直觀地得到f(x)<0的解為x<-1或0<x<1(見(jiàn)圖).3.1數(shù)形結(jié)合在集合問(wèn)題中的應(yīng)用在集合運(yùn)算中常常借助于數(shù)軸、集合圖來(lái)處理集合的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，從而使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，使運(yùn)算快捷明了.例如我們要求集合-2，2與集合-4,1的交集和并集，我們就可以利用數(shù)軸來(lái)畫圖在圖中表

20、達(dá)出來(lái).利用圖形結(jié)果隨著圖形的畫出結(jié)果就出來(lái)了，所以集合交集是-2,1,并集是-4，2.其實(shí)很類題很多，尤其是這類題出在選擇填空中我們利用數(shù)形結(jié)合思想可以很快的解答出來(lái)，大大節(jié)省了做題時(shí)間同時(shí)也保證了做題的質(zhì)量.3.2 數(shù)形結(jié)合在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用 借助于圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法.函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法.從我們初中學(xué)習(xí)的一次函數(shù)到簡(jiǎn)單的二次函數(shù)，再?gòu)暮?jiǎn)單的二次函數(shù)到復(fù)雜的函數(shù)等等，數(shù)與形緊密結(jié)合在一起.在函數(shù)問(wèn)題上出題方向很多但也也無(wú)外乎這幾種題型，求定義域，值域，對(duì)解討論及取值范圍，單調(diào)性奇偶性等等.-1Oxy例1 若定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)滿足,

21、則a的取值范圍是（ ）.A B C D分析 由在定義區(qū)間內(nèi)可知函數(shù)在內(nèi)的圖象位于軸上方，且時(shí)，（如圖所示）所以底數(shù)應(yīng)滿足，得，選A.評(píng)注 解題時(shí)應(yīng)善于將加以轉(zhuǎn)化，由式想形本題還可進(jìn)一步考查函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性例2 已知函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）A B C D分析 本題的已知信息主要在圖象上，所以認(rèn)真觀察圖象，可得：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)了點(diǎn)，這些點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該滿足函數(shù)解析式。因此有xyO21解得 ，所以顯然由或，即可解得選A評(píng)注 本題不僅要求學(xué)生掌握待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結(jié)合思想，而且對(duì)學(xué)生的觀察能力、邏輯推理能力也有較高要求以上兩個(gè)題介紹的在選擇填空中的應(yīng)用，而在解答題中，考慮到推理論證的嚴(yán)密性，對(duì)

22、數(shù)量關(guān)系問(wèn)題的研究仍突出代數(shù)的方法而不提倡使用幾何的方法解答題中對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查以由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化為主例3 求函數(shù)的圖象的開(kāi)口、對(duì)稱軸、增減性及最值、頂點(diǎn)坐標(biāo).解 將函數(shù)變?yōu)轫旤c(diǎn)式為，所以圖形為： 由圖象得：此函數(shù)的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是增減性：，隨的增大而增大， ，隨的增大而減小最值：當(dāng)時(shí)， 頂點(diǎn)坐標(biāo)分析 此題如果不利用圖形，則完全靠記憶公式理論的話，則不但使整個(gè)過(guò)程條觀、形象，而且容易出錯(cuò).評(píng)注 對(duì)函數(shù)單調(diào)性的研究，轉(zhuǎn)化為對(duì)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的研究，實(shí)際上就是研究函數(shù)值正負(fù)的分布這種研究過(guò)程往往沒(méi)有現(xiàn)成的定理可以使用，而必須由圖象的直觀性得出結(jié)論在解答書寫的過(guò)程中，一般不必畫出函數(shù)圖象，但結(jié)

23、論的得出又必須依賴于函數(shù)圖象，這是在解答題中考查數(shù)形結(jié)合思想的一種形式3.3數(shù)形結(jié)合在方程和不等式中的應(yīng)用處理方程問(wèn)題時(shí)，把方程的根的問(wèn)題看作兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；要找到交點(diǎn)很多時(shí)候還是畫圖，圖上就有我們所說(shuō)的交點(diǎn).處理不等式時(shí)，從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路.3.3.1數(shù)形結(jié)合在方程中的應(yīng)用例4 求方程解的個(gè)數(shù).解 函數(shù)與的圖象如圖：則通過(guò)圖象觀察得兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程的解的個(gè)數(shù)，即函數(shù)，的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)圖象得交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1，故原方程有1個(gè)解. 分析 此題的關(guān)鍵在于將方程兩邊轉(zhuǎn)化為函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象，才得以解決.若用一般

24、的方法來(lái)解，對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)是不可能的.原因在于此方程是一個(gè)分式方程，一般思路是轉(zhuǎn)化為整式方程，即得就得到一個(gè)次的高次方程，而對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)只能求解次及次以下的整式方程.所以利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行討論分析，可以將很復(fù)雜的，而且容易出錯(cuò)的甚至得不出正確結(jié)論的題也變得清晰、快速、準(zhǔn)確地求出了答案. 因此，數(shù)形結(jié)合起來(lái)是一種極富數(shù)學(xué)特點(diǎn)的信息轉(zhuǎn)換，許多數(shù)量關(guān)系方面的抽象概念和關(guān)系式，若賦之以圖形意義，往往變得非常直觀形象，并使關(guān)系明朗化、簡(jiǎn)單化.3.3.2 數(shù)形結(jié)合在不等式中的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合在不等式問(wèn)題的作用很大，我們都知道不等式問(wèn)題很多時(shí)候是需要我們分情況討論的，導(dǎo)致演算過(guò)程繁瑣冗長(zhǎng),若用數(shù)形結(jié)合的方法,問(wèn)

25、題將會(huì)大大簡(jiǎn)化.數(shù)形結(jié)合的在不等式中的應(yīng)用幾乎是無(wú)處不在，從簡(jiǎn)單求不等式的解到分情況討論的不等式我們做題的時(shí)候都離不開(kāi)與圖形結(jié)合，在解答不等式組的時(shí)候也要用到圖形的分析才能準(zhǔn)確簡(jiǎn)單的得出結(jié)果.例5 解不等式 ，其中.分析 這個(gè)題解題方法很多，我這里給出三種解題方法，分別如下：方法一：不等式中含有參數(shù)，故多揣摩挖掘題意 ，結(jié)合可知 據(jù)此，兩邊平方得，接下來(lái)只需按，共三類討論取解即可方法二：已給不等式和得即 所以，當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為； 當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為 OyxBC11-1111111方法三： 若注意到不等式兩端明顯的幾何意義，亦可借助幾何直觀取解在同一直角坐標(biāo)系中作函數(shù)（圖象為實(shí)、虛

26、半軸的長(zhǎng)均為的等軸雙曲線的上支）和（圖象為過(guò)點(diǎn)、斜率為正數(shù)的直線）的圖象，如圖所示從圖中得出：當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為； 當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為評(píng)注 某些有幾何意義的不等式也可用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解一些不等式的證明，通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，然后由圖形間的數(shù)量關(guān)系來(lái)論證往往既簡(jiǎn)潔又一目了然.3.4 數(shù)形結(jié)合在三角函數(shù)中的應(yīng)用有關(guān)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問(wèn)題，一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖象來(lái)處理，數(shù)形結(jié)合思想是處理三角函數(shù)問(wèn)題的重要方法.銳角三角函數(shù)的定義也是借助于直角三角形來(lái)定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來(lái)定義的.例6 設(shè)函數(shù)證明，其中為整數(shù)；設(shè)為的一個(gè)極

27、值點(diǎn)，證明 證明 由函數(shù)的定義，對(duì)任意整數(shù)，有 （2）函數(shù)在定義域R上可導(dǎo)，. 令， 得 若，則，這與矛盾，所以當(dāng)時(shí)， 由于函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象知，有解，的極值點(diǎn)一定滿足.當(dāng)時(shí)，3.5 數(shù)形結(jié)合在最值問(wèn)題中的應(yīng)用無(wú)論是小學(xué)初中高中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題都存在，但是最值問(wèn)題怎么樣解答一直都是以個(gè)難點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合在解決這類問(wèn)題的最好方法，線性規(guī)劃問(wèn)題是在約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值的問(wèn)題.從圖形上找思路恰好就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.例7 已知,且. 求函數(shù) 的最大和最小值. 分析 這個(gè)題目屬于在一些約束條件下求多元一次函數(shù)的最值.如果想直接用代數(shù)的方法計(jì)算則無(wú)從下手，但注意觀察已知條件，把消去后能化為，的不

28、等式組成的約束條件下，求二元一次函數(shù)（，為常數(shù)）的最值的問(wèn)題.約束條件的幾何意義是：約束條件所確定的點(diǎn)集合是一個(gè)平面區(qū)域M,現(xiàn)在就要在這個(gè)區(qū)域內(nèi)找一個(gè)點(diǎn) ,使達(dá)到最大或最小. 解   又 .約束條件等價(jià)于: 坐標(biāo)滿足此不等式的點(diǎn)的集合，即梯形ABCD（包括內(nèi)部界），其中個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè),則,是經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線在軸上的截距.觀察與梯形有公共點(diǎn)且斜率為的平行線簇,易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí) ,截距取最大值，而直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),截距為最小 .    .注 本題所用的方法為等值線法,解題關(guān)鍵在于:(1)理解約束條件的幾何意義 ( 為一個(gè)封閉區(qū)域 );(2)設(shè)后，使求一個(gè)代數(shù)式的最

29、值轉(zhuǎn)化為了求一條直線截距的范圍 .此法非常巧妙 ，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性 .3.6數(shù)形結(jié)合在幾何中的應(yīng)用幾何問(wèn)題包括解析幾何和立體幾何.解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，在解題中善于將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用于對(duì)點(diǎn)、線、曲線的性質(zhì)及其相互關(guān)系的研究中.立體幾何中用坐標(biāo)的方法將幾何中的點(diǎn)、線、面的性質(zhì)及其相互關(guān)系進(jìn)行研究，可將抽象的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化純粹的代數(shù)運(yùn)算.CDEAB幾何問(wèn)題就是圖形與數(shù)字完美的結(jié)合，任何一個(gè)幾何問(wèn)題都必須有圖形同時(shí)和數(shù)也是分不開(kāi)的.例8 四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，（）證明：；（）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的大小(I)證明 作，垂足為，連接，由題設(shè)知,底面，且為中點(diǎn)，由知，從而，于是，由三垂線定理知，.（II）由題意，所以側(cè)面，又側(cè)面，所以側(cè)面?zhèn)让?。作，垂足為，連接，則平面故為與平面所成的角，由，得又，因而，所以為等邊三角形作，垂足為，連接。由（I）知，又， 故平面,，是二面角的平面角。所以二面角為評(píng)注 這是一道高考題，這道題把數(shù)形結(jié)合的兩個(gè)方面都充分的體現(xiàn)出來(lái)，任何一道幾何證明題解答題都離不開(kāi)圖形，同樣圖形的性質(zhì)，線與線之間的角度，距離等等都需要數(shù)來(lái)體現(xiàn)。幾何問(wèn)題的解答證明把數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用體現(xiàn)的淋漓盡致。4結(jié)論數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式.“數(shù)形結(jié)合”是中學(xué)數(shù)學(xué)極為重要的思想方法之一，把代數(shù)式的精確刻畫與