有關定義域和值域的逆向問題精

1、第3頁(共4頁)定義域和值域的逆向問題定義域和值域的逆向問題，是數(shù)學中的常見問題，解決好此類問題，可以鍛煉同學們的逆向思維能力，因此要重視此類問題的解決。一、已知定義域求值域o + bx例1求定義域在-1,1上的函數(shù)y = 0 b-(a b 0)的值域。a bx2a解：函數(shù)式變形為 y - -1，顯然yz-1a bx由原函數(shù)表達式可得 -=a(y 1)。b(y+1)又-1 EX叮，得-仁a(y 一1)乞1 ,b(y+1)解得a -ba b即此函數(shù)的值域為 色辿,匚衛(wèi)。ILa b a -b注：此法是把函數(shù)式視為關于-的方程，解出x,再運用已知的定義域，解關于y的不等式求得值域。二、已知值域求定義

2、域2x -1例2已知函數(shù)y的值域是y | y咗0或y _ 3，求此函數(shù)的定義域。x T2x T1解：由 0，解得丄 x 1 ox -122x -1由3，解得1 ： x乞2 ox -1此函數(shù)的定義域為* x 11蘭x蘭2且xH1? o注：此題直接由函數(shù)值域得出表達式的不等式，進而求得定義域，同時還可以利用反比例函數(shù)圖象直觀地得出結論，同學們不妨試一試。三、已知定義域求解參數(shù)問題例3已知函數(shù)f(x) = J(a2 1)x2+(a1)x+的定義域為R,求實數(shù)a的取a +1值范圍。2 2 2 解：由題意知R時，(a - 1)x (a-1)x0恒成立。a +1(1)當a2 -1 =0且a 1 = 0時，

3、有a=1，此時f(x)=1，顯然對x R時，2 2 2(a2 -1)x2 (a -1)x0恒成立。a +1”a2 -1 a0(2 )當a21式0時，有<222 解不等式組得A =(a_1)2 _4(a2 _1)<0l.a+11 ： a 乞 9。綜上知，當R時，使得f (x)有意義的a的取值范圍是1, 9。注：此問題轉化為不等式恒成立問題，但要注意二次函數(shù)的二次項系數(shù)為字母時的分類討論。四、已知值域求解參數(shù)問題2x2 + ax + b例4 已知函數(shù)y =2的值域為1, 3，求a、b的值。x +1解：由題意知R，把原函數(shù)變形為(y-2)x2 - ax y-b =0當y -2 =0時，滿

4、足題意當 y-2=0 時，因 xR ,所以尺=a2 -4(y-2)(y-b) _ 0 ,即224y -4(b，2)y，8b-a -0 。因 1_y_3 ,所以 1 和 3 是方程224y4(b 2) y ' 8b - a0的兩個實根，由韋達定理解得 a - 2, b = 2。注：解決此問題的關鍵在于把求值域的問題和解一元二次不等式的問題聯(lián)系起來，最后通過比較同解不等式的系數(shù)，列方程求出參數(shù)的值。五、已知定義域和值域求解參數(shù)問題例 5 已知二次函數(shù) f (x) = ax2 bx c( 0)滿足條件 f (x 5) = f (x3), f(2)=0,且方程f(x)二x有兩個相等實根。問是否

5、存在實數(shù) m、n(m ： n)，使得f (x) 的定義域為m, n時，值域為3m, 3n。如果存在，求出 m、n的值；如果不存在， 請說明理由。解：因f(-X 5) = f (x -3)，所以函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為直線x-y，可得舟J由 f (2) =0,得 4a 2b c =0因方程f(x)二x有兩個相等實根，即.'：=(b d) '4ac = 0ax2 (b - 1)x c = 0有相等實根，所以1將代入，得c = 0。由知，b=l，所以a = -丄。21 2 1 2 1 1 則 f (x) x x (X - 1)2 2 2 21 1所以3n _ ，即n _ 。6f

6、(x)在m, n上單調遞增，假設存在滿足條件的m、n,則' 1 2f (m) = 一 m + m = 3m1 2f (n) n n = 3nI 2解得丿m= 0或- 4n =減 _4第4頁(共4頁)1又m ： n，貝U m=-4 , n=0,即存在 m=-4 , n=0滿足條件。6注：解決定義域和值域共存問題時，不要盲目進行分類討論，而應從條件出發(fā)，分析和探討出解決問題的途徑，確定函數(shù)的單調性，從而使問題得以解決。1.求下列函數(shù)的值域:522x2 -4x 32x 1: y: y =x 2、1 -x 2。3x 22.求函數(shù)y - x - x(x 一 0)的最大值。答案:1. y(0,5(提示：5UM 1，而 2(x)2，1所以02(x -1)2 1<1，可得0：2(x 一1)21第4頁（共4頁）另外，原函數(shù)變形為 2yx2 4yx亠3y5 = 0 ,因x三R ,所以：=（_4y）2 -4 2y（3y -5）亠 0 ,2即 y -5y 豈 0,0 < y < 5且 y = 0)2 77（提示:7 ，而 70，所以3 3(3x-2)3(3x-2) y(一匚*,4(提示：因 y -1 - x -1)2 4，所以 y 三(-：,4。另外，令 t = J -x(t _0)，則 x =1