不等式恒成立問題的大全

1、不等式恒成立問題“含參不等式包成立問題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等容有機地結合起來， 其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞。 另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉化”、“數(shù) 形結合”、“分類討論”等數(shù)學思想對鍛煉學生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈 活性、創(chuàng)造性都有著獨到的作用。本文就結合實例談談這類問題的一般求解策略。 一、判別式法若所求問題可轉化為二次不等式,于二次函數(shù)f (x) axbx c(a1) f (x)0又txR包成立0, xa2) f (x) 0又txR包成立則可考慮應用判別式法解題。一般地，對R),有00;0.0a

2、2的定義域為R,數(shù)a的取值圍。例1 .已知函數(shù)y lgx328x 16x k, g(x) 2x 5x 4x,其中 k為實數(shù). (a 1)x 解：由題設可將問題轉化為不等式(a 1)2 4a2 0 解得 a(a 1)x a2 0對x R包成立，即有 1 -O3一一一.1所以實數(shù)費取值圍為(，1)兮)若二次不等式中x的取值圍有限制，則可利用根的分布解決問題。例2.設f (x)2mx2,當x 1,)時，f(x) m恒成立，數(shù)m的取值解: 當 當圍。設 F(x)4(m0時，2x1)(m 如圖,2mx 22) 0即F(x)m ,則當x 1,)時，F(xiàn)(x) 0包成立2 m 1時，F(xiàn) (x) 0顯然成立；0

3、恒成立的充要條件為：F(01) 02m解得2。2綜上可得實數(shù)m的取值圍為3,1)。二、最值法將不等式包成立問題轉化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法，其一般類型有:1)2)f (x) a包成立f (x) a恒成立f(x)minf ( x) max已知兩個函數(shù)f(x)(1)若對任意的X3,3 ,都有f(x) g(x)成立，求k的取值圍;(2)若對任意的xp X23,3 ,都有f (xi) g(X2),求k的取值圍.(3)若對于任意xi3,3，總存在3,3使得g(x。)f(xi)成立，求k的取值圍.【分析及解】(1)令 F(x) g(x) f(x) 2x3 3x2 12x k, 問題轉化為F(x) 0

4、在x 3,3上恒成立，即F(x)min 0即可 v F'(x)6x28g( 3)21,g(3) 111 , g( 1)1, g(-), 6x 126(x2 x2),由 F'(x)0,得x 2或 x1., F( 3)k 45, F(3)k 9, F(1)k 7, F(2) k 20, F(x)min k 45,由 k 45 0, 解得 k 45.(2)由題意可知當x3,3時，都有f(x)max g(x)min .由 f'(x) 16x 16 0 得 x 1.V f( 3)24k, f( 1)8k, f (3)120k ,f(x)max k 120 .由 g'(x)

5、6x210x 4 0得x 1或x2 ,3一一 k 821, 一于是， k 8, k 12021,111 ,即酒足解得9 k 13k 120 111.2.已知 f(x) 7x2 28x a,g(x) 2x3 4x2 40x,當 x 3,3時，f(x) g(x) 包成立，數(shù)a的取值圍。解：設 F(x) f (x) g(x) 2x3 3x2 12x c,則由題可知F(x) 0對任意x 3,3恒成立令 F'(x)6x2 6x 12 0,得 x1或 x 2而 F( 1)7a,F(2) 20 a, F( 3) 45 a,F(3) 9 a,F(x)max 45 a 0. a 45即實數(shù)a的取值圍為4

6、5,)。x2 2x a3 .函數(shù)f (x) , x 1,),右對任息x 1,) , f (x) 0恒成立，數(shù)xa的取值圍。解：若對任意x 1,) , f (x) 0包成立，即對x 1,), f(x) x空一a 0包成立，x考慮到不等式的分母x 1,)，只需x2 2x a 0在x 1,)時恒成立而得而拋物線g(x) x2 2x a在x 1,)的最小值gmin(x) g(1) 3 a 0得a 3注：本題還可將f(x)變形為f (x) x - 2 ,討論其單調性從而求出f(x)最小x4 .已知f(x) x2 ax 3 a,若乂 2,2, f(x) 2恒成立，求a的取值圍.解析 本題可以化歸為求函數(shù)f

7、(x)在閉區(qū)間上的最值問題，只要對于任意x 2,2, f (x)min 2若 x 2,2, f(x) 2 恒 成2,2, f(x)mna 22f (x) minf( 2) 73a 2f (x) minf( j)a 2 2f (x) min，即a的取值圍為f(2) 7 a 25, 2 2x2.值。三、分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉化為求主元函數(shù)的最值，進而求出參數(shù)圍。這種方法本質也還是求最值，但 它思路更清晰，操作性更強。一般地有：1) f (x) g(a)(a為參數(shù))恒成立 g(a) f (x)max2) f(x) g(a)(a為參數(shù))恒成立 g

8、(a) f(x)max 實際上，上題就可利用此法解決。略解：x2 2x a 0在 x 1, 成立。而易求得二次函數(shù)h(x)a1、已知函數(shù)f x lg x -x)時恒成立，只要a x2 2x在x 1,)時包2x在1,)上的最大值為 3,所以a 3。若對任意x 2, 恒有f x 0,試確定a的取值圍。解：根據(jù)題意得：x即:a x2 3x 在 xa 2 x2,2,上包成立,3x, WJ f x上包成立,23 x22時，f2、已知xx max,1時,2所以a 2不等式1 2xa解：令2x tQx,1 t 0,2a2 4x 0包成立，求a的取值圍。所以原不等式可化為：a2 a ，要使上式在t0,2上包成

9、立，只須求出t 1,一一 ，一一丁在t 0,2上的最小值即可。min fQ1 t1 23.已知函數(shù)f (x)ax.4x x2, x(0,4時f (x) 0恒成立,數(shù)a的取值圍。解：將問題轉化為a令 g(x)由 g(x)4xx.4x2x一，則 a g(x)min4- 1可知g(x)在(0,4上為減函數(shù)，故 xg(x) min g(4)0a 0即a的取值圍為(，0)注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。例4已知函數(shù)f(x) |x2 4x 5,若在區(qū)間1,5上，y kx 3k的圖象位于函數(shù)f(x)的上方，求k的取值圍.本題等價于一個不等式包成立問題，即對于x 1,5, kx 3kx

10、2 4x 5包成立，式子中有兩個變量，可以通過變量分離化歸為求函數(shù)的最值問題.對于x 1,5,43kx24x5包成立k專3對于x 1,5恒成立，令 y =丁,x 1,5,設 x 3 t,t2,8,則2 , k的取值圍是k>2.y (t 1t6) 10,t 2,8,當t 4,即 x=1 時 ymax變式若本題中將y kx 3k改為yk(x3)2,其余條件不變，則也可以用變量分離法解.由題意得，對于 x 1,5, k(x 3)24x5包成立2x 4x 5(x3)2對于x 1,5恒24 A 人x 4x 5成乂，令 y 2,x (x 3)1,5，設3 t,t2,8,則16 10y F T 145

11、 29(),t 2,8, t4164.已知m, n 1,1, m包成立，數(shù)t1時y 5, max 16 ,k的取值圍是k>196f(x)是定義在-1,1上n。時 f(m) f 0,若 f(x) t2m n的取值圍.的奇函數(shù)，且2at 1對于所有的x f(1)=1,若1,1,a 1,1解析 本題不等式中有三個變量，因此可以通過消元轉化的策略，先消去一個變量，容易證明f(x)是定義在-1,1上的增函數(shù)，故f(x)在-1,1上的最大值為f(1)=1，則 f(x) t2 2at 1 對于所有的 x 1,1, a 1,1恒成立 1 t2 2at 1 對于所有的a 1,1恒成立，即2ta t2。對于

12、所有的a 1,1恒成立，令g(a) 2ta t2 ,只要g( 1) 0 t 城t 2或t 0 . g(1) 0四、變換主元法處理含參不等式包成立的某些問題時，若能適時的把主元變量和參數(shù)變量進行“換位”思考，往往會使問題降次、簡化。例1 已知對于任意的a -1,1,函數(shù)f(x)= ax2+(2a-4) x+3-a>0包成立， 求x的取值圍.解析 本題按常規(guī)思路是分a=0時f(x)是一次函數(shù)，a加時是二次函數(shù)兩種 情況討論，不容易求x的取值圍。因此，我們不能總是把 x看成是變量，把a 看成常參數(shù)，我們可以通過變量轉換，把 a看成變量，x看成常參數(shù)，這就轉化 一次函數(shù)問題，問題就變得容易求解。

13、令 g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a -1,1 時，g(a)>0包成立，則g( 1)0 ,得3Ax 3而.g(1) 0例2、若不等式2x 1 m x2 1對滿足m2的所有m都成立，求x的取值圍解：設 f m m x2 12x 1 ,對滿足m 2的m, f m 0包成立,_2-2 x 1 2x 10,解得:2 x 1 2x 10例3 .對任意a 1,1,不等式x2(a 4)x 4 2a0何成立，求x的取值圍分析：題中的不等式是關于題可轉化為一次不等式(x 2)a解：令 f (a) (x 2)a x2x的一元二次不等式，但若把a看成主元，則問x2 4x 4 0在a 1,1上包成立

14、的問題。4x 4 ,則原問題轉化為f (a) 0包成立(a 1,1)。當x 2時，可得f(a)0 ,不合題意。當x 2時，應有f(1) 0解之得x 1或x 3。 f( 1) 0故x的取值圍為(,1) (3,)。注：一般地，一次函數(shù) f(x) kx b(k 0)在,上恒有f (x) 0的充要條件為f( ) 00f( ) 0四、數(shù)形結合法數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，這充分說明了 數(shù)形結合思想的妙處，在不等式包成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道， 函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：1) f (x) g(x)函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象上方；2) f (x) g(

15、x)函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象下上方。例1、若不等式3x2 10g a x 0在x解：由題意知：3x2 lOgax在x0,1包成立，數(shù)a的取值圍。31 ,0,-包成立，3在同一坐標系，分別作出函數(shù) y 3x2 和 y log a x1觀祭兩函數(shù)圖象，當x 03時,若a 1函數(shù)y logax的圖象顯然 在函數(shù)y 3x2圖象的下方，所以不 成立；當0 a 1時，由圖可知，y logax的圖象必須過點-02-131 1. , 、 . -13,3或在這個點的上萬，則，叫1_271 a 27127例2.設f (x)的取值圍.2.,、4x4x , g(x) - x 1 a,右包有 f (x)3g

16、(x)成立，數(shù)a分析：在同一直角坐標系中作出f(x)及g(x)如圖所示，f(x)的圖象是半圓(x 2)2g(x)的圖象是平行的直線系4x 3y要使f (x) g(x)恒成立，3a則圓心(滿足 d2,0)到直線 4x 3y 3 3a8 3 3a-2的圖象4(y 0)0 9解得a52 55或a3(舍去)例3 .設函數(shù)f(x)-2a . x 4x , g (x)ax a,若恒有f(x) g(x)成立，試數(shù)a的取值圍.由題意得 f (x) g(x)寸 x2 4 x ax 2a ，令y1x x2 4x ，y2 ax 2a (2可化為(x 2)2 y124(0 x 4,y1 0),它表示以(2,0)為圓心

17、，2為半徑的上半圓；表示經過定點(-2,0),以a為斜率的直線，要使f(x)g(x)包成立，只需五.分類討論在給出的不等式中，如果兩變量不能通過恒等變形分別置于不等式的兩邊， 則可利用分類討論的思想來解決。例1、若x 2,2時，不等式x2 ax 3 a恒成立，求a的取值圍。解：設f x x2 ax 3 a,則問題轉化為當x 2,2時，f x的最小值非負。a -7(1)當 a 2即：a 4時，f x .f 2 7 3a 0 a 又a 4所以、2min3a不存在；2(2)當 2 a 2 即：4 a 4 時，f x min f a 3at 06a 2 又 4a 44 a 2a(3)當 a 2 即：a

18、 4 時，f x min f 27 a 0 a 7 又mina 47 a 4綜上所得：7 a 21 .解關于x的不等式 xx2 4mx 4m2 m 3解：原不等式等價于| x 2m | m 3當m 3 0即m 3時,x 2m m 3或 x 2m(m 3)x 3m 3g£x m 3當m 3 0即m 3時,|x 6| 0. x 6當m 3 0即m 3時， x R2 .設 a R,函數(shù) f(x) x2 ax 2a2.若f(x) 0的解集為A, B x|1 x 3,AIB ，數(shù)a的取值圍。點評：二次函數(shù)與二次不等式和集合知識有很多聯(lián)系， 不等式的解集、函數(shù) 的值域成為集合運算的載體，對于含參

19、數(shù)問題要確定好分類的標準， 做到不重不 漏。3 .已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x) 2ax2 2x 3 a ,如果函數(shù)y f (x)在區(qū)間1,1上有零點，求a的取值圍.解析：由函數(shù)考慮它是一次函數(shù),答案：函數(shù)yf(x)的解析式的形式，對其在定區(qū)間上零點問題的解決需要 還是二次函數(shù)，因而需就 a 0和a 0兩類情況進行討論。f(x)在區(qū)間-1 , 1上有零點，即方程f (x) 2ax2 2x 3 a =0在-1 , 1上有解,a=0時，不符合題意，所以a網，方程f(x)=0在-1 ,1上有解<=> f( 1)f(i)0af( 1) 0af 0373、7或 4 8a(3 a) 01 a 5 或 a 2或 a 5 a -2-或 a>1.1 1