任意角的三角函數(shù)(優(yōu)秀)（課堂PPT）

1、121.在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？sincostancacbba復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧OabMPc3OabMPyx2.在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？新課新課 導(dǎo)入導(dǎo)入422:barOPbMPaOM其中yx2.在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtanbaP,Mo5如果改變點(diǎn)在終邊上的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？如果改變點(diǎn)在終邊上的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMPP

2、MOPOPMPOOMMOPM誘思誘思 探究探究MOyxP(a,b)6OPMPsinOPOMcosOMMPtan，則若1 rOPbaab1.銳角三角函數(shù)（在單位圓中）銳角三角函數(shù)（在單位圓中）以原點(diǎn)以原點(diǎn)O為為圓心，以單位圓心，以單位長度為半徑的圓，稱為長度為半徑的圓，稱為單位圓單位圓. yOP),(bax1M72.任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義 設(shè)設(shè) 是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)),(yxP 那么那么:（1） 叫做叫做 的正弦，記作的正弦，記作 ，即，即 ；ysinysin （2） 叫做叫做 的余弦，記作的余弦，記作 ，即，即 ； cosx

3、xcos（3） 叫做 的正切正切，記作 ，即 。 xytanxytan 所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都是以是以角為自變量角為自變量，以，以單位圓單位圓上點(diǎn)上點(diǎn)的的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的為函數(shù)值的函數(shù)，我們將他們稱為函數(shù)，我們將他們稱為三角函數(shù)三角函數(shù).0 , 1AOyxyxP ,)0(x使比值有意義的角的集合使比值有意義的角的集合即為三角函數(shù)的定義域即為三角函數(shù)的定義域.8)0 , 1 (AxyoP),(yx的終邊的終邊說說 明明（1）正弦就是交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，余弦就是交點(diǎn)）正弦就是交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，余弦就是交點(diǎn)橫坐標(biāo)的比值橫坐標(biāo)的比值. .的橫坐標(biāo)，的橫坐標(biāo)，

4、正切就是正切就是 交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與. .（2） 正弦、余弦總有意義正弦、余弦總有意義.當(dāng)當(dāng) 的終邊在的終邊在 y橫坐標(biāo)等于橫坐標(biāo)等于0， xytan無意義，此時(shí)無意義，此時(shí) )(2zkk軸上時(shí)，點(diǎn)軸上時(shí)，點(diǎn)P 的的（3）由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立）由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù).9任意角的三角函數(shù)的定義過程：任意角的三角函數(shù)的定義過程：直角三角形中定義銳角三角函數(shù)直角三角形中定義銳角三角函數(shù) abrarbtan,cos,sin直角坐標(biāo)系中定義銳角三角函數(shù)直角坐標(biāo)系中定義銳角三角

5、函數(shù) abrarbtan,cos,sin單位圓中定義銳角三角函數(shù)單位圓中定義銳角三角函數(shù) ababtan,cos,sin單位圓中定義任意角的三角函數(shù)單位圓中定義任意角的三角函數(shù) ,sinyxcosxytan,10例例1.求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：解：在直角坐標(biāo)系中，作在直角坐標(biāo)系中，作 AOB，易知，易知 的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為 13( ,).22所以所以 53sin,32 51cos,325tan3.3 思考：思考：若把角若把角 改為改為 呢呢? 3567,2167sin,2367cos3367tan實(shí)例實(shí)例 剖析剖析xy

6、oAB35P15.111根據(jù)上述方法否能求得特殊角三角函數(shù)值根據(jù)上述方法否能求得特殊角三角函數(shù)值?12例例2.已知角已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn)的終邊經(jīng)過點(diǎn) ，求角，求角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值 .)4, 3(0P220( 3)( 4)5.OP 解解:由已知可得由已知可得設(shè)角設(shè)角 的終邊與單位圓交于的終邊與單位圓交于 ，),(yxP分別過點(diǎn)分別過點(diǎn) 、 作作 軸的垂線軸的垂線 、0PMPP00PMx400PM于是，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxxsin4tan.cos3yx4, 30P0MOy

7、xMyxP ,13 設(shè)角設(shè)角 是一個(gè)任意角，是一個(gè)任意角， 是終邊上的任意一點(diǎn)，是終邊上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn) 與原點(diǎn)的距離與原點(diǎn)的距離 .),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函數(shù)值僅與的三角函數(shù)值僅與 有關(guān)，而與點(diǎn)有關(guān)，而與點(diǎn) 在角的在角的終邊上的位置無關(guān)終邊上的位置無關(guān).P定義推廣：定義推廣xr1312cosrx125tanxy5sin,13yr于是于是，鞏固鞏固 提高提高練習(xí)練習(xí): 1.已知角已知角 的終邊

8、過點(diǎn)的終邊過點(diǎn) ， 求求 的三個(gè)三角函數(shù)值的三個(gè)三角函數(shù)值.5 ,12P解：解：由已知可得：由已知可得：P15.2152P15 ,8aaaa.已知角 的終邊上一點(diǎn)R且0 ，sin,cos ,tan求角 的的值.-15 ,8 ,xa ya解：由于22158170raaaa所以 1017 ,ara若則于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 20-17 ,ara若則于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 1632sin,cos,tan.yx.已知角 的終邊在直線上，求角 的的值 1解： 當(dāng)角 的終邊在第一象限時(shí)，221,

9、2125在角 的終邊上取點(diǎn)，則r=225152sin,cos,tan255155 2當(dāng)角 的終邊在第三象限時(shí)，221, 2125r 在角 的終邊上取點(diǎn)，則22 5152sin,cos,tan255155 171.根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域（弧度制）（弧度制）探探究究sincostanR)(2Zkk2.確定三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)yxosinyxocosyxotan+（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）R+-+-+-+-18yxo+-+-yxoyxo全為+yxosincostan sinyr

10、cosxryx tan 三個(gè)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)三個(gè)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)心得心得: :角定象限角定象限, ,象限定符號(hào)象限定符號(hào). .19例例3. 求證：當(dāng)下列不等式組成立時(shí)，角求證：當(dāng)下列不等式組成立時(shí)，角 為第三象限角為第三象限角.反之也對(duì)反之也對(duì)0tan 0sin 證明：證明： 因?yàn)橐驗(yàn)槭绞?成立成立,所以所以 角的終邊可能位于第三角的終邊可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 軸的非正半軸上；軸的非正半軸上；0sin 又因?yàn)橛忠驗(yàn)槭绞?成立，所以角成立，所以角 的終邊可能位于的終邊可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因?yàn)橐驗(yàn)槭蕉汲闪?，所以角式都?/p>

11、立，所以角 的終邊只能位于第三象限的終邊只能位于第三象限.于是角于是角 為第三象限角為第三象限角.反過來請(qǐng)同學(xué)們自己證明反過來請(qǐng)同學(xué)們自己證明.20如果兩個(gè)角的終邊相同，那么這兩如果兩個(gè)角的終邊相同，那么這兩個(gè)角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？個(gè)角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？ 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中zk 利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求求 角的三角函數(shù)值角的三角函數(shù)值 .020360到或 ？21 例題例題cossi

12、ntantan. 例例4 4. .確確定定下下列列三三角角函函數(shù)數(shù)值值的的符符號(hào)號(hào), ,然然后后用用計(jì)計(jì)算算器器驗(yàn)驗(yàn)證證: : ( (1 1) )2 25 50 0; ;( (2 2) )( (- -) ); ;( (3 3) )( (- -6 67 72 2 ) ); ;( (4 4) )3 34 4（1）因?yàn)椋┮驗(yàn)?是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos（3）因?yàn)椋┮驗(yàn)?= 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以)672tan(tan(482 360 )tan48 , tan( 672 )0; 48解：解： （2）因?yàn)椋┮驗(yàn)?是第四象限角，所以是第四象限角，所以4

13、sin0;420tantan()tan. ( (4 4) )3 322o5.911 (1)sin1480 10; (2)cos; (3)tan(-).46例 求下列三角函數(shù)值:oooo(1)sin1480 10 = sin(40 10+ 4360 ) = sin40 100.645; 92(2)coscos(2 )cos;4442113(3)tan()tan(2 )tan.6663解：解：236.已知已知 在第二象限在第二象限, 試確定試確定 sin(cos ) cos(sin ) 的符號(hào)的符號(hào). 解解: 在第二象限在第二象限, -1cos 0, 0sin 1. - - - -1, 1 ,2

14、2 - - cos 0, 0sin . 2 2 sin(cos )0. sin(cos ) cos(sin ) Oxy2( ,)33ppaP PM MP P1 1P P2 232y=3321sin xyoP1P2xyo T A210 30 例利用單位圓尋找適合下列條件的例利用單位圓尋找適合下列條件的0 到到360 的角的角.3030 150150 解解:3030 9090 或或210210 270270 3tan334 例例3 3. .若若, ,試試比比較較的的大大小小. .0sin,tan, 2. 解：如圖，在單位圓中，設(shè) AOP=（0，）,則AP=2PPMOAMAATOAOPT過點(diǎn) 作于，

15、過點(diǎn) 作交的延長線于 ，.MPAT則角 的正弦線為，正切線為POAPOAAOT的面積扇形的面積的面積，111222OA MPOAOA AT，即MPAT.sintan .POxyMAT353.sintan .例 求證：當(dāng) 為銳角時(shí)，yOxPM A90MPAT證明：如圖，作單位圓，當(dāng)0時(shí)作出正弦線和正切線，連PAOPAOATSSOPA扇形Ssintan111222OA MPOA PAOA ATTMPAPAT分析:3654sin32sin 與與AB o S2 S1P2P1 M1例例.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。豪萌呛瘮?shù)線比較下列各組數(shù)的大?。航猓航猓?如圖可知：如圖可知： 54tan32

16、tan 與與54sin32sin M23754sin32sin 與與AB oT2T1 S2 S1例例.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小：利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。航猓航猓?如圖可知：如圖可知： 54tan32tan 與與54sin32sin 54tan32tan 38例例5.5.求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域. .( )2cos1f aa=-OxyP2MP112x=2,2()33kkkZppapp -+P1cos2a391.(0,2 )cossintanxxxx在內(nèi)使成立的 的取值范圍是( )3(,)44A53(,)42B3(,2 )2C37(,)24DCxyoMPAT32.(,

17、)4若，則下列各式錯(cuò)誤的是( )( )sincos0A( )sincos0B( )|sin| |cos|C()sincos0DDsin0,cos0,|sin| |cos|分析：xyoy=-xPM 練習(xí)練習(xí)40 xyoy=-xxyoy=-xxyoMPsincos1,(0,)2 MP30sincos1,(,)24 PM3sincos0,(, )4 xyoPM3sincos0,( ,)2 MPPM37sincos0,(,)24 7sincos0,(,2 )4 sincos0則322()44kkk若sincos0則3722()44kkk若sincos小結(jié)的符號(hào)問題：41高考鏈接高考鏈接1.（2009全國）全國） 的值為的值為( )sin58522223232解析：解析：本題主要考察誘導(dǎo)公式：本題主要考察誘導(dǎo)公式：2sin585sin(360225 )sin(18045 )sin452 422.（2009陜西）陜西） 則則 的值為（的值為（ ）tan2 2sincossin2cos 3454B解析：解析：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和運(yùn)本題考查同