2017屆南通市三模數(shù)學試卷與參考答案word版

1、2首歌曲至少有1首被播放(第4題)南通市2017屆高三第三次調(diào)研測試數(shù)學學科參考答案一、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共計70分.1 .設復數(shù)z a bi ( a, b R , i為虛數(shù)單位).若z (4 3i)i ,則ab的值是 【答案】122 .已知集合 U x|x 0, A=x|x 2,則 eu A= .【答案】x|0 x 23 .某人隨機播放甲、乙、丙、丁 4首歌曲中的2首，則甲、乙 的概率是 .【答案】5 64 .右圖是一個算法流程圖，則輸出的k的值是 .【答案】35 .為調(diào)查某高校學生對“一帶一路”政策的了解情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取一個容量為500的樣本.其中大一年

2、級抽取200人，大二年級抽取100人.若其他年級共有學生3000人，則該校學生總人數(shù)是.【答案】7500則S10的值是一46 .設等差數(shù)列 an的前n項和為若公差d 2, a5 10 ,【答案】1107 .在銳角 AB8, AB 3, AC 4 .若 ABC勺面積為3亞,則BC的長是 .【答案】1328 .在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線 y2 1 (a 0 )經(jīng)過拋物線y2 8x的焦點，則 a該雙曲線的離心率是 .9 .已知圓錐的側面展開圖是半徑為3,圓心角為馬的扇形，則這個圓錐的高為3uuir uuu的動點，則 AC EF的取值范圍是【答案】2. 210 .若直線y 2x b為曲線y e

3、x x的一條切線，則實數(shù) b的值是 【答案】111 .若正實數(shù)x,y滿足x y 1,則丫 4的最小值是 .12 .如圖，在直角梯形 ABCD中，AB/ DCABC 90 ,AB 3, BC DC 2.若E,F分別是線段 DC和BC上4分(第12題)【答案】4,613 .在平面直角坐標系 xOy中，已知點A(0, 2),點B(1, 1), P為圓x2 y2 2上一動點,則PA的最大值是.【答案】2x. x a. 一 14 .已知函數(shù)f(x) 3若函數(shù)g(x) 2f (x) ax恰有2個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】(:，2)二、解答題：本大題共 6小題，共計90分.15 .(本小題滿

4、分14分)已知函數(shù)f(x) Asin x ( A 0,0)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為兀,3且經(jīng)過點(龍，遮).(1)求函數(shù)f (x)的解析式；(2)若角 滿足f( ) 73f( ；2) 1,(0,力，求角 的值.【解】(1)由條件，周期T 2支，即會2兀，所以 1 ,即f(x)Asin x - 3因為f（x）的圖象經(jīng)過點（目號）,所以Asin2所以 f(x) sin x . 3由 f ( ) V3f(2)1,得 sin J3sin 1 ,33 2即 sin -J3 cos-1 ,33所以 2sin -1 ,即 sin 1 .332因為 o,兀,所以g或56,12分14分16.（本小題滿分

5、14分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCO矩形，平面M N分別為棱PD PC的中點.求證：（1） MN/平面PAB（2） AML平面 PCD【證】（1）因為M N分別為棱PD PC的中點，所以MIN/ DC2分又因為底面ABCD1矩形，所以AB/ DCPADL平面 ABCD AP=AD4分所以MN AB.又AB 平面PAB MN 平面PAB所以MNZ平面PAB（2）因為AP=AD M為PD的中點,所以AML PD.因為平面PADL平面ABCD又平面 PACT 平面 ABCD AD, CD!AD CD平面ABCD所以CDL平面PAD10分又AM 平面PAD所以CDL AM因為 CD PD

6、平面 PCD CD I PD D ,13分14分所以AML平面PCD17.(本小題滿分14分)在平面直角坐標系 xOy中，已知橢圓1(ab 0)的左焦點為F ( 1,0),且經(jīng)過點(1，j) -(1)求橢圓的標準方程;(2)已知橢圓的弦 AB過點F,且與x軸不垂直.若D為x軸上的一點,DA DB ,求幽的值.DFyBODA(第17題)【解】(1)方法一：由題意,c1a2 a1,9 4b7 b21,_2c ，24a解得 2b4,3.所以橢圓的標準方程為2 x 42yr1-方法二：由題意，知2a (1 1)22(11)2窗2又 c 1, a2b22所以橢圓的標準方程為江 4(2)方法1 ：設直線A

7、B的方程為y k(x 1). 若 k=0 時，AB=2a=4, FD=FO=1,所以-AB- DF若20 時，A(xi, y1), B(x2, V2),AB的中點為M (x, y)，代入橢圓方程，整理得2222(3 4k )x 8kx 4k 12 0 ,所以 x 4k2 6呼 1, x24k2 6呼 13 4k23 4k2所以x04kL3 4k2所以 V。k(x0 1)3k23 4k2所以AB的垂直平分線方程為3k23 4k21 x 4k2 k 3 4k2因為DA=DB所以點D為AB的垂直平分線與 x軸的交點,所以 D( k 2,0),3 4k22所以 DF 匕 1 3 3k2 .34k3 4

8、k因為橢圓的左準線的方程為x 4,離心率為2，10分由小4 得 AF 12(X1 4), X1422同理 BF 1(x2 4). 2所以 AB AF BF 1(X1 X2) 4 Xo 4 12 12k 12 分23 4k2所以器4 .綜上，得DB的值為4.14分方法 2：設 A(x1，y1)，B(x2, y2) , AB的中點為 M(h, y0), 若直線AB與x軸重合，-AB- 4；DF 若直線AB不與x軸重合,設 A(x1,y1)，B(x2, V2), AB的中點為 M(xo, yo),2x1由42x22y142241,1,所以兇X2)4xo(y y)322o,3yoo,所以直線AB的斜率

9、為當x1 x2所以AB的垂直平分線方程為4yo /、yo W(x xo).3xo因為DA=DB所以點D為AB的垂直平分線與 x軸的交點,所以D（齊,0），所以FD勺1.4410分12分綜上，得AB的值為4.DF14分同方法一，有AB方法3:若直線AB與x軸重合，DB 4B(X2, y2)， 若直線AB不與x軸重合，設A（x1, y1）,則AB的中點為M （三x2 yiy2所以AB的垂直平分線方程為yy22-均 x2(xyV2xi令y=0,得xD22yy22(x1x2)22yV2x1222為x2x22(xi x2)3(1 42) 3(1 3力2 x12x22(xi x2)1 .21 .2xx24

10、 14 2 2(xi x2)Xx2810分所以DF 曳產(chǎn)8同方法一，有AB2(均 x2) 4 ,12分所以普綜上，得旦的值為4.DF14分18.（本小題滿分16分）如圖，半圓AO提某愛國主義教育基地一景點的平面示意圖，半徑OA勺長為1百米.為了保護景點，基地管理部門從道路l上選取一點C,修建參觀線路 GDE-F,且CD5,038 1，1 t 2.t 3(2)求修建該參觀線路的最低費用.【解】設DE與半圓相切于點 Q,則由四邊形 CDEF0),所以EF1 tDE EF均與半圓相切，四邊形 CDE層等腰梯形.設 DE t百米，記修建每1百米參觀線路的費用為f(t)萬元，經(jīng)測算f(t)(1)用t表示

11、線段EF的長；是等腰梯形知OQ l , DQ= QE以OF所在 直線為x軸，OQ所在直線為y軸，建立如圖 所示的平面直角坐標系 xOy.(1)方法一：由題意得，L點E的坐標為(i,1),設直線EF的方程為y 1 k(x少(k即 kx y 1 -tk 0.】2因為直線EF與半圓相切，|1 1tk|所以圓心O到直線EF的距離為 j 21 ,解得k =4L .3分k2 1/ 4代入y 1 k(x少可得，點F的坐標為(；，0).2)2即 EF =；(0 t 2).方法二：設EF切圓O于G ,連結OG ,GOF HEF ,DE所以 RtAEHfFRtAOGF因為 EH OG , OFG過點E作EH AB

12、 ,垂足為所以HFFG EF2t由EF1 2_ 21 HF 1一 12(EF 2t),所以EFt 2).(2)設修建該參觀線路的費用為y萬元.5(1t 令,y在0,1上單調(diào)遞減.3所以當ty取最小值為32.5;11分2時,16t所以12216 4 4(t 1)(3t 3t 1)13分因為- -2t 2 ,所以 3t 3t 10,且當(1，1)時，y 0;當 t 3(12)時,y所以y在(1，1)上單調(diào)遞減；在3(1, 2)上單調(diào)遞增.所以當t 1時，y取最小值為24.5.15分由知，y取最小值為24.5.答：(1) EF的長為(:”米;(2)修建該參觀線路的最低費用為24.5萬元.16分19.

13、(本小題滿分16分)已知an是公差為d的等差數(shù)列，bn是公比為q的等比數(shù)列，q 1,正整數(shù)組E (m, p, r) (m p r).(1)若 ai b2 a2 b3 a3 bi,求 q 的值；(2)若數(shù)組E中的三個數(shù)構成公差大于 1的等差數(shù)列，且am bp ap br ar bm, 求q的最大值；(3)若bn( 1)n1,ambmapbparb 0 ,試寫出滿足條件的一個數(shù)組E和對應的通項公式 an.(注：本小問不必寫出解答過程)22、【解】(1)由條件，知a1 M a； d b1q 即dq)a1 d bqa1 2d b1,d b1(q 1).所以2q2 q 1 0 .2分因為q 1,所以q

14、2 ,4分(2)由ambpapbr,即apambpbr,所以(p m)d bm(qp m qr m) , 同理可得，(r p)d bm(qm 1). 6 分因為m, p, r成等差數(shù)列，所以 p m r p 1(r m).記 qp m t ,則有 2t2 t 1 0 ,因為q 1,所以t 1,故t 1,即qpm ；8分2 2所以1 q 0.記p m ，則為奇數(shù)，又公差大于1,所以 3,10分所以 |q | (2) (1)3,即 q w -e)3 ,1當 3時，q取最大值為-夕.12分 滿足題意的數(shù)組 E (m , m 2 , m 3),此時通項公式為an ( 1)m 1(3n 3m 1), m

15、 N* .n 288例如：E (1,3, 4) ,， 3n ：.16 分8820.(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x) ax2 cosx (a R ),記f(x)的導函數(shù)為g(x).(1)證明：當a 2時，g(x)在R上單調(diào)遞增；(2)若f(x)在x 0處取得極小值，求a的取值范圍；(3)設函數(shù)h(x)的定義域為D,區(qū)間(m,+ ) D ,若h(x)在(m,+ )上是單調(diào)函數(shù), 則稱h(x)在D上廣義單調(diào).試證明函數(shù)y f(x) xlnx在(0 ,)上廣義單調(diào).【解】(1)當 a / 時，f (x) gx2 cosx,所以 f (x) x sin x ,即 g(x) x sinx , 2 分所

16、以 g (x) 1 cosx 0 ,所以g(x)在R上單調(diào)遞增.4分(2)因為 g(x) f (x) 2ax sin x,所以 g (x) 2a cosx.當a 1時，g(x)m cosx 0,所以函數(shù)f (x)在R上單調(diào)遞增.若 x 0 ,則 f (x) f (0) 0 ;若 x 0 ,則 f (x) f (0) 0 ,所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,)，單調(diào)減區(qū)間是(，0),所以f(x)在x 0處取得極小值，符合題意.6分當aw - 2時，g (x) 1 cosxw 0 ,所以函數(shù)f (x)在R上單調(diào)遞減.若 x 0 ,則 f (x) f (0) 0 ;若 x 0 ,則 f (x) f (

17、0) 0 ,所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,)，單調(diào)增區(qū)間是(，0),所以f(x)在x 0處取得極大值，不符合題意.8分當 2 a 2時，Xo (0,),使得 cosx) 2a ,即 g (%) 0 ,但當 x (0 , Xo)時，cosx 2a,即 g (x) 0 ,所以函數(shù)f (x)在(0 , Xo)上單調(diào)遞減，所以 f (X) f (0) 0 ,即函數(shù)f (x)在(0, Xo)單調(diào)遞減，不符合題意.綜上所述，a的取值范圍是.10分記h(x)2，ax cosx xln x ( x 0),i i_若 a 0 ,注意到 In x x ,則 ln x2x2,即 In x2jx .12分4a 12

18、a2時,h(x) 2ax sinx 1 In x 2ax 2 x 2所以2( x rp)(.x rp) 2m141 ,函數(shù) h(x)在(m ,）上單調(diào)遞增.若 a1 時，h(x) 2ax sinx 1In x sin x 1 In所以 m 1,函數(shù)h（x）在（m,+ ）上單調(diào)遞減，綜上所述，函數(shù) y f （x） xln x在區(qū)間（0,）上廣義單調(diào)., 14分 x a【證】因為a, b, c, d是正實數(shù)，且 abcd 1,所以 a5bcd 44/a5bcd4a .同理b5cda 4b ,5cd a b 4c,_5da b c 4d ,6分10分b c d .4分將式相加并整理，即得5. 55,

19、5 、a b c d a b cd.【必做題】第22、23題，每小題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域10分內(nèi)作答，解答時應ABCD是直角梯形,所以n1 ( 1,2,1)是平面SBC的一個法向量.2分寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22.(本小題滿分10分)如圖，在四棱錐 S ABCD中，SD 平面ABCD四邊形ADC DAB 90 , SD AD AB 2 , DC 1 .(1)求二面角S BC A的余弦值；(2)設P是棱BC上一點，E是SA的中點，若PE與平面SAD所成角的正弦值為漢26,求線段13CP的長.【解】(1)以D為坐標原點，建立如圖所示空間因為SD 平面 ABC取平面 ABCW一個法向量 n2 (0,0,1).設二面角S BC A的大小為，所以|cosn_n2I】IM1 娓666由圖可知二面角S BC A為銳二面角,所以二面角S BC A的余弦值為蛇.6uuuuuur由(1)知 E(1,0, 1),則 CB (2,1,0) , CE (1, 1,1).uuu 設CPuuuCB ( 0uuu1),則 CP (2 ,1,0) (2 , 0),uuu 所以PEumr uuuCE CP(12,1,1)