三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)及例題講解

1、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)3,0)(今，-1) (2 ,0),-1)( T ,0) (2,1)21、用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(描點(diǎn)法)正弦函數(shù)y=sinx , xC0, 2兀的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)( ,1)(余弦函數(shù)y=cosx x 0,2的圖像中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1) ( ,0)(2、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì):性1Isn x貢 y cosxy tanx圖象i yL/1 .! T 2 UL4 一J y“一*UYnoI/ A, y x0/JAi/sT定義域RRx x k ,k 2值域1,11,1R最值當(dāng) x 2 k 一 時(shí)，2ymax1；當(dāng) x 2k -2時(shí),

2、y min1 -當(dāng)x 2k時(shí)，ymax 1;當(dāng) x 2k時(shí)，ymin1 既無(wú)最大值也無(wú)最小值周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)在 2k-,2k-22婁E 2k,2k 上是增函k;在 k 一, k一22性上是增函數(shù)；在 2k ,2k數(shù).上是減函上是增函數(shù).在2k2上是減函數(shù).,2k2對(duì)對(duì)稱中心 k,0對(duì)稱中心 k,0.k對(duì)稱中心,0稱對(duì)稱軸x k222性對(duì)稱軸x k無(wú)對(duì)稱軸例作下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖(1)y=|sinx|, x C 0 , 2兀,(2)y=-cosx, x C 0 , 2兀例利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，求滿足下列條件的x的集合:、.11 sinx(2) cosx 一223、周期函數(shù)

3、定義：對(duì)于函數(shù)y f (x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有：f(x T) f(x),那么函數(shù)yf(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。注意： 周期T往往是多值的(如 y sinx 2,4 ，,-2,-4，都是周期)周期 T中最小的正數(shù)叫做y f (x)的最小正周期(有些周期函數(shù)沒有最小正周期)y sinx, y cosx的最小正周期為2(一般稱為周期)2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)： T 。正切函數(shù)： 一例求下列三角函數(shù)的周期：1 y=sin(x+ )2y=cos2x 3y=3sin( x + )4 y=tan3x32 5例求下列函數(shù)的定義域和值域:(1) y

4、2 sin x y 3 3sin x(3) y Igcos x例5求函數(shù)y sin(2x一)的單調(diào)區(qū)間 3例不求值，比較大小.(1)sin( 一)、sin(一)；解：(1) :一 一 一 一 一0且函數(shù)y= cosx, xC 0,n是減函數(shù)cos cos 一54即 cos 3cos 1)或縮短y=Asinx , x R(A0且A 1)的圖象可以看作把正數(shù)曲線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng) (0A1)到原來的A倍得到的*它的值域-A, A 最大值是A,最小值是-A若A0且3 1）的圖象，可看作把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（1）或1伸長(zhǎng)（0 31）到原來的L倍（縱坐標(biāo)不變）若3 0時(shí)）或向右（當(dāng) 0時(shí)=

5、平行移動(dòng)| I個(gè)單位長(zhǎng)度而得到.（用平移法注意講清方向：“加左” “減右”） y=sin（ x+ ）與y = sin x的圖象只是在平面直角坐標(biāo)系中的相對(duì)位置不一樣，這一變換稱為相位變換.5、小結(jié)平移法過程（步驟）作y=sinx （長(zhǎng)度為2 的某閉區(qū)橫坐標(biāo)I伸長(zhǎng)或縮短得 y=sin(x+ 3 )橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短得 y=sin 3 x沿x軸平I移| 一 |個(gè)單得 y=sin( 3 x+ j )得 y=sin( 3 x+縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短縱坐標(biāo)伸I長(zhǎng)或縮短得y=Asin（ w x+（）的圖象，先在一6、函數(shù) y sin x，當(dāng)x x1時(shí)，取得最小值為 Ymin ；當(dāng)xx2時(shí)，取得最大值為ymax ,

6、2 y max y min ,例如圖e,是f (x) = Asin1二 YmaxYmin，二x2x1x2 0, I () I則f (x)的表達(dá)式為 例 如圖b是函數(shù)y = Asin( wx+ 6)+2的圖象的一部分，它的振幅、周期、初相各是()4A1A= 3, T = , j =一 3643BA= 1 , T =, j = 34一 一 .23C.A= 1, T = , j =344,DA= 1, T = , j =36例畫出函數(shù)y=3sin(2 x+) , xCR的簡(jiǎn)圖，一 一，2 一 一解：(五點(diǎn)法)由T=、，得T=式列表:2x 6123712562x+ 302汽322支3sin(2 x+

7、) 3030-30例求函數(shù)y tan 3x 一 的定義域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性 3.k 5斛：由3x k 一得x ,32318 k 5.所求定義域?yàn)?x |x R,且x ,k z318值域?yàn)镽,周期T是非奇非偶函數(shù)3k k 5在區(qū)間-k z上是增函數(shù).318, 318例 已知函數(shù) y=si n2x+J3 cos2x-2 .(1)用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象(2)求這個(gè)函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間(3)求函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程. 說明圖象是由y=si nx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的解：y=sin2 x+ 3 cos2x-2=2sin(2 x+ )-2 3列表x6行3712562x 一 3o2322y 2sin(2x -) 2 3-20-2-4-2其圖象如圖示(2) T 2-=n.2由+2kn W2x+W 一+2kn ,知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為232 5n+k 汽，+kn ,kCZ12123由一+2kn 2x+ 一 w n +2k n ,知函數(shù)的單倜減區(qū)間為232+k 汽,n +k 或 ,k C Zk(3)由 2x+ = + k n彳V x= + n +函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為x=+K汽，(kC 2.12 2(4)把函數(shù)yi=sin x的圖象上所有點(diǎn)向左平移一個(gè)單位，得到函數(shù) y2=si n(x+ )的圖象；1八再把y2圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來