《極坐標系》導學案

1、第2課時極坐標系，課程學習目標1. 通過實例了解極坐標系的建立 ，會用極坐標表示極坐標系內(nèi)的點，掌握極坐標的應用.2. 理解極坐標與直角坐標間的相互轉(zhuǎn)化，掌握轉(zhuǎn)化公式，并運用公式實現(xiàn)極坐標與直角坐標間的相互轉(zhuǎn)化.泊5®識記吃與理解-預學K 不右不講問題3:將點M的極坐標（p，0）化為直角坐標（x，y）的關系式為21" 盤 Ft左呵色A知識體系梳理李先生是個外地人，他想到市教育局去，卻不知道該怎么去.于是他向路人詢問去市教育局如何走？路人說市教育局就在我們現(xiàn)在的位置東南方3公里處.請問路人的回答，能讓李先長度單位和角的正方向（通常取方向）,這樣就建立了一個平面極坐標系，簡稱生

2、找到目的地嗎？ “在我們現(xiàn)在的位置東南方3公里處”是一個確定的位置嗎問題1：極坐標系的建立；再選定一個在平面內(nèi)取一個定點0,叫作極點自極點0引一條射線Ox，叫作問題2:對于平面內(nèi)任意一點M,用P表示點M到極點0的距離用0表示以Ox為始邊,以0M為終邊的角度，其中P叫作,0叫作，有序數(shù)對（p,0）就叫作點M，記為問題4:將點M的直角坐標（x,y）化為極坐標（P, B）的關系式為7t1.在極坐標系中，點M（-2, 6）的位置，可按如下規(guī)則確定（).A.作射線0P,使/x0P= n,再在射線0P上取點 M,使|0M|=2B.作射線0P,使/x0P=二，再在射線60P上取點M,使|0M|=2C.作射線

3、OP,使/xOP= ?,再在射線0P的反向延長線上取點 M,使|0M|=2D.作射線0P,使/x0P=- n,再在射線0P上取點 M,使|0M|=22. 若 pi+ P2=0, 01+ 02= n,則點 M1(P 1, 01)與點 M2( p2, 02)的位置關系是().A. 關于極軸所在的直線對稱B. 關于極點對稱C. 關于過極點且垂直于極軸的直線對稱nD. 關于過極點且與極軸成4的直線對稱3. 點P的直角坐標為（-v2,v2）,那么它的極坐標可表示為4. 在極坐標系中作下列各點，并說明每組中各點的位置關系nnn3 n5 n11 n(1)A(2,O)、B(2,6)、C(2, -)、D(2,2

4、)、E(2,-)、F(2,-)、G(2,);nn5 n5 nnA(0, n、B(1, n、C(2,h)、D(3,百)、E(3, n).思彗憩嚴，比I I IS點難點探究化極坐標為直角坐標分別把下列點的極坐標化為直角坐標nn2 nn(1)(2, 6);(2)(3, 2);(3)(4,亍);(4)(4,-初極坐標的概念3已知極坐標系中點A(2, 2),B(辺,J),0(0,0),則AAOB為().A.等邊三角形B.頂角為鈍角的等腰三角形（1）將M、N、P三點的極坐標化為直角坐標C.頂角為銳角的等腰三角形D.等腰直角三角形極坐標與直角坐標間的互化 在極坐標系中，點P(2,3)和點Q(4,5_n)之間

5、的距離為把下列各點的極坐標化為直角坐標，并判斷所表示的點在第幾象限2n(1)(2,亍)；(2)(2,亍);(3)(2,- 3)；(4)(2,-2).在極坐標系中，已知ABC的三個頂點的極坐標分別為A(2, nn),B(2, n),C(2,53n).求ABC的面積.3 nn極坐標平面內(nèi)兩點P（4,2）、Q（ p,-4）之間的距離為"10,則卩=1 Ml技能應用與拓展-礎智能檢測1.在極坐標系中，若點A、B的坐標分別是(2,n)、(3,- £),則 AAOB 為().A. 鈍角三角形B. 直角三角形C. 銳角三角形D.等邊三角形2.將極坐標（6,?）化為直角坐標為（）.A.(-

6、3 v3,3)B.(-3 v3,-3)C.(-3,-3 霸)D.(-3,3 V§)3. 在極坐標系中，已知兩點A、B的極坐標分別為（3j）、（4,）,則AOB（其中0為極點）的面積4. 在極坐標系中，已知三點M（2, ¥）収（2,0）,P（2運£）.(2)判斷M、N、P三點是否在一條直線上:寸祕艸心,.一VI ST用：A全新視角拓鳳在極坐標系中，已知兩點n5 nA(2,4),B(2，z),且MBC為等腰直角三角形，求直角頂點C的極坐標與該三角形的面積.考題變式(我來改編)：KDete遠墾予R-不理不i7. f,'-； ： : ' - r'l

7、 1.1 ?.®維導®構(gòu)建 ji 燈訃 >, H 習體峻分*第2課時極坐標系知識體系梳理問題1:極軸逆時針極坐標系問題2:極徑極角極坐標 M( P, 0)pCOS 0,psin 0x =問題3:y =2p = x2 + y2 問題4: Py，tan 0 = - （x 丸）X基礎學習交流1. B 當p<0時，點M( p,0)的位置按下列規(guī)定確定：作射線0P,使/xOP二0,在0P的反向延長線上取|0M|=| p|則點M就是坐標(P, 0)的點故選B.2. A 因為點(P, 0)關于極軸所在的直線對稱的點為(-P, n- 0),由點M 1（ P 1,01）和 M2（

8、 P2, 02）滿足 pi+ P2=0, 01+ 02= n,可知點 Ml 與 M2 關 于極軸所在的直線對稱.3 n,3. (2, -4-)(答案不唯一)直接利用極坐標與直角坐標的互化公式求解即P二V(- v2)2 + (V2)2=2,tan0=-1.因為點P在第二象限，所以可取一個極角為?.44.解:(1)所有點都在以極點為圓心，半徑為2的圓上.點B、G關于極軸對稱，點D、E關于極軸對稱，點C、F關于極點對稱.£A T所有點都在傾斜角為f,且過極點的直線上.點D、E關于極點對稱.重點難點探究nn探究一：【解析】（1） Tx二 PCOS 0=2cos -二 v3,y= psin 0

9、=2sin -=1.6 6點：(2，n)的直角坐標為(v3,i).n(2) Tx二 pcos 0=3cos 2=0,y= psinn點(3,2)的直角坐標為(0,3).2 n(3) Tx二 pcos 0=4cos =-2,y二 psin3n0=3sin 円.2 n0=4sin =2 v3.2 n3(4) vcos=- 4 - + 冗nA /1+COs24,sin72=飛n3_ _ny-COS 6_2_ v6- v2二點(4,丁)的直角坐標為(-2,2 v3).n石)=-nn x二 pcos 0=4cos(- 12)=4cos 石二+ v2,y= psin 0=4sin(-nn4sin 12=

10、v2-力二點件-齊)的直角坐標為(v2+ v6,v2-v6).x = Pcos 0,【小結(jié)】嚴格按照進行轉(zhuǎn)化,注意準確計算.y = psin 0n探究二：【解析】顯然 OA=2,OB= v2,ZAOB=-,由余弦定理得AB= vOa2 + OB2-2OAOBcosZAOB= v2,故 OB二AB, /ABO二寸,即AOB為等腰直角三角形.【答案】D 【小結(jié)】極坐標中的p和0分別表示到極點的距離和極軸逆時針轉(zhuǎn)過的角度.探究三:【解析】(法一)由公式 X PCOSB,得點P(2,n)和點Q(4,56n)y = psin 0,的直角坐標分別為P(1, v3)和Q(-2 v3,2),由兩點間的距離公式

11、得|PQ|= V(1+2 v3)2+ (v3-2)2=2 v5.n5 nn(法二)在極坐標系中，已知點P(2,-)和點Q(4,),故/P0Q二-所以362|PQ|= V22 + 42=2 v5.【答案】2v5【小結(jié)】如果極坐標系中的兩點確定，那么它們之間的距離也確定,可以把各點極坐標轉(zhuǎn)化為直角坐標，在平面直角坐標系中計算，也可以利用極徑、極角的定義和余弦定理在三角形中計算 思維拓展應用4 n14 n應用一 ：(1)由題意知 x=2cos =2 x(-)=-1,y=2sin =2 X(-323子)二-3,即點(2,于)的直角坐標為(-1,- v3),是第三象限內(nèi)的點.2 n 2 n丁二即點(2,

12、丁)的直角坐nn3)=- v3,即點(2,-)的直角2 n由題意知 x=2cos 丁=-1,y=2sin3標為(-1, v3),是第二象限內(nèi)的點.n由題意知 x=2cos(- 3)=1,y=2sin(-坐標為(1,- v3),是第四象限內(nèi)的點.n 由題意知 x=2cos(-2)=2cos2<0(2<2< n),y=2sin(-2)=-2sin 2<0,即點(2,-2)的直角坐標為(2cos 2,-2sin 2),是第三象限點.應用二：(1)畫圖可知,A、B、C三點都在以極點為圓心，2為半徑的2圓上,且所對的圓心角均為-n,JAB|=|AC|=|BC|, /./ABC為正

13、三角形.3(2)由(1)知-|AB|=2sin n,./AB|=2 V3, /KBC 的面積為232 v3 X2 v3 X=3 v3.應用三:v2或3 V根據(jù) x= pcos 0,y= psinQ( p坐標分別為P (0,-4)0,得 P、Q,-的直角P ).|PQ|= v(0- y p)2 + (-4 + Y p)2二 v10,解得 p= v2或 p=3 v2.基礎智能檢測., 、”nn n . A .1.B 由題意知/ AOB= 3-(- 6)=2,故選 B.y='3'_所以直角坐標為(-中=-3 v3,x = pCOS 0, = p cos 0,4. 解:(1)將三點坐標

14、代入公式可知點M的直角坐標為(1,-y = psin 0,v3),點N的直角坐標為(2,0),點P的直角坐標為(3,V3). vkMN =:Vr= V3,kN P =浮=v3,kMN 二kN P,M、N、P 三點在同一條2-13-2直線上.全新視角拓展 = 6 X(-2.C 由公式得y = psin 0,y = 6 x (-3,-3 v3),選擇 C.1n n3.3 結(jié)合圖形AOB 的面積 S=-OA OB sin(：-：)=3.23 6（法一）利用坐標轉(zhuǎn)化.點A（2,n的直角坐標為（v2,v2）,點B（2,54n）的直角坐標為（-邁-v2）,設點C的直角坐標為（x,y）.由題意得AC丄BC,

15、|AC|=|BC|.AC BC=0,|AC| 2=|BC| 2,于是(x- v2,y- v2) (x+ v2,y+ v2)=0,即 x2+y2=4.(x- v-)2+(y- v-)2=(x+ v5)2+(y+ v5)2,即 y=-x.將代入得x2=2,解得x= 士v-,.X =邁z或X = - y，y = - V-y = v2,點C的直角坐標為(v-,- V-)或(-v-,v-).7 n. 3 n F3 n . p v2 + 2=2,tan0=-1, 0二或，二點C的極坐標為(2盲)或7 n111(2,-).Skbc = -|AC| fBC|=-|AC|2 = 2 X8=4.(法二)設點 C 的極坐標為(p, 0)( p>0,0 <0<2 %),v|AB|=2|OA|=4,nZC=-,|AC|=|BC|, a|AC|=|BC|=2 v-,22n