高數(shù)學(xué)習(xí)資料(含講義及全部內(nèi)容)(三免費)重點

1、高數(shù)學(xué)習(xí)資料(含講義及全部內(nèi)容)(三）第三章：中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用§3.1 中值定理本節(jié)將運用微分學(xué)的兩個基本定理，這些定理是研究函數(shù)在區(qū)間上整體性質(zhì)的省力工具，為此，先介紹Rollo定理：Rollo定理：若函數(shù)f(x) 滿足：（i）f(x) 在 a,b 上連續(xù)；（ii）f(x) 在（a,b）可導(dǎo)，（iii）f(a) =f(b), 則在（a,b）內(nèi)至少存在一點，使得f()=0.證明：由（i）知f(x)在a,b上連續(xù)，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此時，又有二種情況：（1） M=m，即f(x)在a,b上得最大值和最小值相等，從而知，此時f(x)為常數(shù)：f(x)M=m，0，因此

2、，可知為（a,b）內(nèi)任一點，都有f()0。（2） M>m,此時M和m之中，必有一個不等于f(a)或f(b)，不妨設(shè)Mf(a)（對mf(a)同理證明），這時必然在（a,b）內(nèi)存在一點，使得f()=M,即f(x)在點得最大值。下面來證明：f()=0首先由（ii）知f()是存在的，由定義知：f()= .(*)因為為最大值，對有 f(x) Mf(x)M0,當(dāng)x>時，有0當(dāng)x<時，有0。又因為（）的極限存在，知（）極限的左、右極限都存在，且都等于，即，然而，又有 和 。注 1：定理中的三個條件缺一不可，否則定理不一定成立，即指定理中的條件是充分的，但非必要。 2：定理中的點不一定唯一。

3、事實上，從定理的證明過程中不難看出：若可導(dǎo)函數(shù)在點處取得最大值或最小值，則有。 3：Rolle定理的幾何意義：設(shè)有一段弧的兩端點的高度相等，且弧長除兩端點外，處處都有不垂直于軸的一切線，到弧上至少有一點處的切線平行于軸?！纠?】 設(shè)多項式的導(dǎo)函數(shù)沒有實根，證明最多只有一個實根。二、 Lagrange中值定理在Rolle定理中，第三個條件為(iii)，然而對一般的函數(shù)，此條不滿足，現(xiàn)將該條件去掉，但仍保留前兩個條件，這樣，結(jié)論相應(yīng)地要改變，這就是Lagrange中值定理：若函數(shù)滿足：(i)在上連續(xù)；(ii)在上可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點，使得 。若此時，還有， ?？梢奟olle中值定理是Lagra

4、nge中值定理的一個特殊情況，因而用Rolle中值定理來證明之。證明：上式又可寫為 (1)作一個輔助函數(shù)： (2)顯然，在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且 ， 所以由Rolle中值定理，在內(nèi)至少存在一點,使得。 又 或 。注 1：Lagrange中值定理是Rolle中值定理的推廣； 2：定理中的結(jié)論，可以寫成，此式也稱為Lagrange公式，其中可寫成： (3)若令 (4) 3：若，定理中的條件相應(yīng)地改為：在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則結(jié)論為： 也可寫成 可見，不論哪個大，其Lagrange公式總是一樣的。這時，為介于之間的一個數(shù)，(4)中的不論正負，只要滿足條件，(4)就成立。 4：設(shè)在點處有一個增量，得到點，

5、在以和為端點的區(qū)間上應(yīng)用Lagrange中值定理，有 即 這準確地表達了和這兩個增量間的關(guān)系，故該定理又稱為微分中值定理。 5：幾何意義：如果曲線在除端點外的每一點都有不平行于軸的切線，則曲線上至少存在一點，該點的切線平行于兩端點的聯(lián)線。由定理還可得到下列結(jié)論：定理：如果在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為0，則在上是一個常數(shù)。證明：在中任取一點，然后再取一個異于的任一點，在以，為端點的區(qū)間 上，滿足：(i)連續(xù)；(ii)可導(dǎo)；從而在內(nèi)部存在一點，使得 又在上，從而在上， ， 所以 ， 可見，在上的每一點都有： （常數(shù)）。 三、 Cauchy中值定理Cauchy中值定理：若滿足：(i) 在上連續(xù)；(ii) 在內(nèi)

6、可導(dǎo)；(iii)在內(nèi)恒不為0；(iv)；則在內(nèi)至少存在一點，使得 。證明：令，顯然，在上連續(xù)，且在內(nèi)可導(dǎo)，更進一步還有 ，事實上， 所以滿足Rolle定理的條件，故在內(nèi)至少存在一點，使得，又 因為， 注 1：Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推廣，事實上，令，就得到Lagrange中值定理； 2：幾何意義：若用 （）表示曲線，則其幾何意義同前一個?！纠?】 若函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，其中，證明在內(nèi)至少有一點，使得?！纠?】 若，證明。證明：對，取， ， 不難驗證：滿足Lagrange中值定理的條件，故在內(nèi)至少存在一點，使?jié)M足 ，即 由的任意性，知本題成立。注：條件“”可改為“”

7、，結(jié)論仍成立?！纠?】 證明：?！纠?】 證明：若在上可導(dǎo)，且存在，則。§3、2 法則 在求或時，若發(fā)現(xiàn)同趨于0，或同趨于，則此時上述極限可能存在，也可能不存在。要根據(jù)具體的函數(shù)來進一步確定，如，我們通常把這種極限稱為或型的未定式（不定式），這種未定式是不能用“商的極限等于極限的商”這一法則來計算的?！纠渴切偷奈炊ㄊ?，若連續(xù)，則兩增量之比的極限也是型的未定式。 本節(jié)運用導(dǎo)數(shù)來求一般未定式的極限，這就是法則。定理：（法則）若滿足： (i)； (ii) 在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且； (iii)（可為有限數(shù)，也可為或）；則： 。證明 ：由于函數(shù)在點的極限與函數(shù)在點的函數(shù)值無關(guān)，因此，求與

8、的值無關(guān)，不妨補充定義：，這樣在點就連續(xù)了，在點附近任取一點，在以和為端點的區(qū)間上運用Cauchy中值定理，則至少存在一點（介于和之間），使得 再令，因為介于與之間，故有， 證畢。注 1：“”可改為“”或“”，只不過對(ii)作相應(yīng)的修改，結(jié)論仍成立。 2：若仍為型未定式，則可再次使用法則，這時， 直到極限不是未定式為止。 3：法則的三個條件缺一不可，表現(xiàn)在(a)若不是未定式，則不能使用，否則會導(dǎo)致錯誤；(b)若(iii)不成立，也不能用，否則也會導(dǎo)致錯誤； 4：型未定式的法則：可將上定理的(ii)(iii)不變，(i)改為： (i)： 即可，結(jié)論仍成立。 5：其它還有等型的不定式，但它們經(jīng)過

9、簡單的變形都可化為 型或型的未定型，然后法則?！纠?】 求。解：?！纠?】 求。解：?！纠?】 求。解：?！纠?】 求 （n>0）。解：?！纠?】 求，（n為正整數(shù)，）。解：。注 1：例5中的可推廣到任意正數(shù)； 2：例4例5說明當(dāng)時，都是無窮大量，但較高階，較高階，不妨用以下記號表示：?！纠?】能否用法則？解：若用法則，則有 不存在， 但。這說明對本題法則不適合，這是為什么？這是因為定理的第三個條件不滿足。【例7】 （型）。【例8】 （型）?！纠?】 （型，同上）。 §3、3 Taylor公式 多項式是函數(shù)中最簡單的一種，用多項式近似表達函數(shù)是近似計算中的一個重要內(nèi)容，在

10、67;2、8中，我們已見過： 等近似計算公式，就是多項式表示函數(shù)的一個特殊情形，下面我們將推廣到一個更廣泛的、更高精度的近似公式。 設(shè)在的某一開區(qū)間內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù)，試求一個多項式 (1)來近似表達，并且和在點有相同的函數(shù)值和直到階導(dǎo)數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)，即：。 下面確定的系數(shù)，通過求導(dǎo)，不難得到 (2)這個即為所求。Taylor中值定理：如果函數(shù)在的某區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)時，可表示為的一個多項式和一個余項之和： (3)其中 （介于與之間）證明：令， 下證在與之間，使得： 由于有直到階導(dǎo)數(shù)，為多項式，故在內(nèi)有直到階導(dǎo)數(shù)，并且?，F(xiàn)對函數(shù)和在以和為端點的區(qū)間上應(yīng)用Cauchy中值定理， （在與之間

11、） （介于與之間）如此繼續(xù)下去，經(jīng)過次后，一個介于與之間，使得 ， 顯然介于與之間。一般地，記號 又因為 而為次多項式，故當(dāng) 或 （介于與之間）。注1：（3）式稱為按的冪展開到階的Taylor公式，的表達式（4）稱為Lagrange型余項； 2：當(dāng)時（3）變?yōu)椋?（介于與之間），這就是Lagrange公式； 3：從（3）式可看出：用（2）式的多項式來近似表達，所產(chǎn)生的誤差為，再由（4）式，不難看出：若在上，有，則有：，此時，即 4：若特別地，取，這時（3）式變?yōu)椋?（5） 這里 （介于與之間），我們稱（5）為的Maclourin公式?！纠?】 求的Maclourin公式。解： ， 又所以 ，令

12、代入（5）式得：?！纠?】 求的Maclaurin公式。解： ，當(dāng)1，5，9，13，時，當(dāng)2，6，10，14，時，按（15）式，得： 其中：。注：。同理有：， 其中：?！纠?】求的Maclourin公式。解：其中：， （）【例4】求的Maclourin公式。解：。 §3、4 函數(shù)單調(diào)性的判定法 單調(diào)函數(shù)是函數(shù)中的一個重要部分，從圖形上看，單調(diào)增加（減少）函數(shù)是一條沿軸正向上升（下降）的曲線，曲線上各點處切線斜率都是非負的（非正的），即 單增，則，若單減，則。 下面來證明反之亦成立，設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，在內(nèi)任取兩點，在區(qū)間上應(yīng)用Lagrange中值定理，故在內(nèi)至少存在一點，使得：，因

13、為 與同號，（i）若在內(nèi)，則有，即，此時，單增；（ii）若在內(nèi)，則有，即，此時，單減；綜和上述正反兩方面，得：判定法：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則： （1）在上單增的充要條件是； （2）在上單減的充要條件是。注1：此“單增”或“單減”與課本上的意義有些區(qū)別，它是指：若，則有“”或“”或稱“不減”或“不增”。而對時，有 “”或“”時，稱為“嚴格單增”或“嚴格單減”。在不特別要求下，也可稱為“單增”或“單減”。 2：若在內(nèi)有，則在上嚴格遞增（嚴格遞減）； 嚴格遞增（i）； （ii）在任何子區(qū)間上。 3：可換成其它任何區(qū)間，包括無窮區(qū)間，結(jié)論成立。【例1】 證明：當(dāng)時，。證明：令所以，當(dāng)時，所以為嚴格遞

14、增的，所以?！纠?】討論單調(diào)性。解：（）當(dāng)時， 所以在上嚴格遞減；（）當(dāng)時 , 所以在-1，1上嚴格遞增；（）當(dāng)時， 所以在上嚴格遞減?！纠?】中的通常稱為單調(diào)區(qū)間并且稱為單調(diào)增加區(qū)間，-1，1稱為單調(diào)減少區(qū)間，而二點恰為單調(diào)區(qū)間的分界點，不難知。一般講，在定義域內(nèi)未必單調(diào)，但可用適當(dāng)?shù)囊恍c把定義域分為若干個區(qū)間，便得在每一個區(qū)間上都是單調(diào)函數(shù)。而這些分點主要有兩大類：其一是導(dǎo)數(shù)等于0的點，即的根；其二是導(dǎo)數(shù)不存在的點。事實上，只要在定義域內(nèi)連續(xù)，且只在有限n個點處導(dǎo)數(shù)不存在，則可用分點將區(qū)間分為若干個小區(qū)間，使得在各小區(qū)間上，保持有相同的符號，即恒正或恒負，這樣在每個小區(qū)間上為增函數(shù)或減函

15、數(shù)，各小區(qū)間則相對地稱為單增區(qū)間或單減區(qū)間?！纠?】求的單調(diào)區(qū)間。解：在（-，+）上連續(xù)，當(dāng)X0時，再令y=0，解得，X=1為導(dǎo)數(shù)等于0的點，又當(dāng)X=0時，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的存在，所以X=0為不可導(dǎo)的點，現(xiàn)用X=0和X=1作為分點來將（-，+）分為（-，0），0，1和1，+三個區(qū)間。（）在（-，0）上，所以在上為單增函數(shù)；（）在（0，1）上，所以在0，1上單減；（）在上，所以在（1，+）上單增?！纠?】方程（其中a0）有n個實根？解：設(shè)令，用點將其定義域（0，+）分為（0，1/a）和1/a，+二個區(qū)間，且（）當(dāng)時，所以在是單增的，故當(dāng)時，。（）當(dāng)時，所以在上為單減的，故當(dāng)時，。由（）（）知，當(dāng)時，即

16、對，下面來討論有幾個實根：（a）若1+lna0，即a1/e時，0，即方程無解。（b）若1+lna=0，即a=1/e時，且僅在X=1/a=e時，有=0，此時，方程有唯一的解。（c）若1+lna0，即0a1/e時，f（1/a）0，又在（0，1/a）上，單增，且，故在（0，1/a）上，函數(shù)與x軸有一個且只一個交點，即方程的根，又在上，單減，且，故在上，與X軸有一個且只有一個交點，即方程的根，合起來，此時方程有二個實根。§3.5 函數(shù)的極值的求法上節(jié)例3中，用X=0，和X=1兩點將的定義域（-，+）分為三小區(qū)間（-，0），0，1，使用分別在這三個小區(qū)間上單增，單減，單增（見圖），從圖中不難看

17、出，在X=0的一個較小范圍內(nèi)，在X=1點的最小區(qū)間都是慮的局部情況，而不是整體這就是將討論的極值。定義：設(shè)函數(shù)在點X0的某鄰域上有定義，若對有，（）定義：設(shè)函數(shù)在點X0處的得極大值（極小值）點X0稱為極大點（極小點），極大值，極小值統(tǒng)稱為極值，極大點，極小點統(tǒng)稱為極點。顯然在上節(jié)例3中，X=0，X=1均為極點，注：極大點，極小點未必統(tǒng)一。定理1：（極值的必要條件），若函數(shù)在點可導(dǎo)，且取得極值，則。注： 1、一般地，在處有，就稱為的駐點或穩(wěn)定點，上定理1即是可導(dǎo)函數(shù)的極點必為穩(wěn)定點。2、定理1不是充分的即駐點未必是極點，及例：在=0處的情況。3、定理1只對可導(dǎo)函數(shù)而言，對導(dǎo)數(shù)不存在的點，函數(shù)也可

18、能取及極值，例：=x，在x=0點的導(dǎo)數(shù)不存在，但取得極小值。4、證明可仿照Rolle 中值定理的證明，此處不證了。如何判別在x0點取得極值，有下二個定理：定理2（判別法1），設(shè)連續(xù)，在x0點連續(xù)，在x0的某一定心鄰域內(nèi)可導(dǎo)（）若當(dāng)x（x0 ，x0 ）時，f（x）0，當(dāng)x（x0，x0 +）時，f（x）0，則f（x）在x0點取得極大值。（）若當(dāng)x（x0 ，x0 ）時，f（x）0，當(dāng)x（x0，x0 +）時，f（x）0，則f（x）在x0點取得極小值。定理3（判別法2）設(shè)f（x）在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f（x0）=0，f（x0）存在（）若f（x0）0，則f（x）在x0點取得極大值。（）若f（x0）0，則

19、f（x）在x0點取得極小值。（）若f（x0）=0，則此差別法2換效。證：（）f（x0）=lim f（x）- f（x0）/x- x0= lim f（x）/ x- x00故存在x0的某鄰域U（x0 ，），當(dāng)X（x0 ，）時，f（x）/x- x0。即f（x）與x- x0反號，當(dāng)x（x0 ，x0）時，f（x）0，當(dāng)x（x0，x0+）時，f（x）0；由差別法1，f（x）在x0點取得極大值。（）反例1 f（x）=x2 在x=0點取得極小值。反例2 f（x）=x3 在x=0點取不到極值。例1上節(jié)例2 f（x）=3x-x3例2求f（x）=（x-2）2/3（2x+1）的極值解：由為駐點； 又 ，所以 所以在處取

20、得極大值，且極大值為。又在處不可導(dǎo)，對充分小的當(dāng)時，；當(dāng)時，由判別法1知在處取得極小值，且極小值為f（2）=0，所以f（x）在x=1處取得極大值3，在x=2處取得極小值0。§ 3.6 最大值、 最小值問題：現(xiàn)討論求最大值，最小值的問題，最大（?。┲凳且徽w概念是指函數(shù)在定義域內(nèi)取到的了最大數(shù)，最小數(shù)。與極大值，極小值不同。如果最大（小）值在定義域內(nèi)部取得，則此最大（?。┲当貫闃O大（?。O，這時，最大（?。c必為導(dǎo)數(shù)不存在的點和駐點，另外最大（?。┲颠€可能在定義域的端點上取得（若端點在定義域中的話）。由此，若f（x）在定義域上取到最大（?。┲怠，F(xiàn)給出求f（x）在區(qū)間上的最大（小）值辦法

21、：（i）求出f（x）在上的所有駐點不可導(dǎo)點和端點。（ii）求出f（x）在這些點上的函數(shù)值，再進行比較：最大（?。┱呒礊樗蟮淖畲螅ㄐ。┲?。特別地，若f（x）在a，b上連續(xù)，可導(dǎo)，此時最大（?。┲当卦隈v點和端點a、b中取得。例1求f（x）=x4-2x2+3在區(qū)間-3，2上的最大值和最小值。解：因為f（x）在-3，2上連續(xù)，故最大值，最小值一定存在。又f（x）在-3，2內(nèi)可導(dǎo)，即無不可導(dǎo)的點，下求駐點；令為駐點。而又在端點處f(-3)=66，f（2）=11經(jīng)過比較，得知最大者為66，最小者為2，f（x）在-3，2上的最大值為66，最小值為2。思考題：f（x）=x4-2x2+3在 -3，2上是否存在

22、最大，小值？為什么？例2求f（x）=x4-8x2在-1，1上的最值。解：f（x）在-1，1上連續(xù)，可導(dǎo)，最值存在，且在駐點和端點中取得。令f（x）=4x3-16x=4x（x2-4）=0得x1=0，x2=2，x3=-2，因為2，-2（-1，1）故去掉，所以在-1，1中有一個駐點x=0，且f（0）=0。又在端點處，f（-1）=f（1）=-7，由比較得f（X）在-1，1上的最大值為0，最小值為-7。注：上例中，S=0為f（x）在-1，1上的唯一的駐點，不難驗證f（x）在x=0處取得極大值（因為f（0）=-16），恰好，在x=0處f（x）上取得最大值，但這并非偶然，一般地有：性質(zhì)：設(shè)f（x）在區(qū)間內(nèi)可

23、導(dǎo)，且只有一個駐點x0，且若f（x）在x0點取得極大（?。┲?，則f（x）必在x0點取得最大（?。┲?。例3在曲線y=1/x（x0）上取一點使之到原點的距離為最近解：曲線上任一點（x，y）則（0，0）點的距離為 即，而求x使s最小值可轉(zhuǎn)化為求x使s2=x2+1/x2最小，由題意知，這個最近距離是存在的，即函數(shù)的最小值存在。由 （舍去）所以當(dāng)x0時，只有一個駐點x=1，且在x=1點。所以s2在x=1處取得極小值2，所以s在x=1處取得極小值。而這個極小值 即為S在區(qū)間（0，+）上的最小值。注：在實際問題中，若由題意得知最大值或最小值存在，且一定在所致慮的區(qū)間內(nèi)部取得，此時，若在該區(qū)間內(nèi)部只有一個駐點

24、，那么不必再作討論，就可斷定f（x0）就是所求的最大值或最小者。§3.7 曲線的凹凸與拐點為了較準確地描出函數(shù)的圖形，單知道函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值是不行的，比如說，f（x）在a，b上單調(diào)，這時會出現(xiàn)圖中的幾種情況，l1是 一段凸弧l2是一段凹弧，l3即有凸的部分，也有凹的部分，曲線具有這種凸和凹的性質(zhì)，稱為凸凹性。從幾何意義上看，凸弧具有這種特點：從中任取兩點，連此兩點的弦總在曲線的下方。進而不難知道，在（a，b）中任意取兩個點函數(shù)在這兩點處的函數(shù)值的平均值小于這兩點的中點處的函數(shù)值。凹弧也有相仿的特點。定義：設(shè)f（x）在a，b上連續(xù)，若對Vx1，x2（a，b）恒有：f（x1+x2/2

25、）f（x1）+f（x2）/2或f（x1+x2/2）f（x1）+f（x2）/2這稱為f（X）在a，b上的圖形是凹的（凸的）或凹?。ㄍ够。?。注：1、有的書也用此線的位置來定義。2、上面等式有些書上帶等號，例如對y=x4定理：設(shè)f（x）在a，b上連續(xù)在a，b內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，（i）若在a，b內(nèi)，f（x）0，則f（x）在a，b上的圖形是凸的。（ii）若在（a，b）內(nèi)，f（x）0，則f（x）在a，b上的圖形是凹的。證明：下面證（i）從（a，b）中任取二點x1，x2不防設(shè)x1x2由lag range中值定理，所以其中又因為即 ，由定義，即得。例1判別曲線y=2x2+3x+1的凹凸性解：因為y=4x+3

26、，y=40所以曲線y=2x2+3x+1在其定義域（-，+）上是凹的。例2證明當(dāng)x0，1時，有不等式證：首先，由， 現(xiàn)證：，即證令的圖形在0，1上凹的即例3討論曲線y=arctanx的凹凸性解 ， 0時，0；當(dāng)x0時，0。從例3中不難知道點X=0為曲線的凹部分與凸部的分界點定義，連續(xù)曲線上的凸弧的分界點稱為曲線的拐點。若f（x）在（a，b）內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，x0點的拐點，則有f（x0）=0，且在x0左右兩邊，f（x）異號，由此不難求拐點的步驟：（i）求出f（x）=0，在（a，b）中的所有解x=x0。（ii）對（）中所求的每一個x0，察f（x）在x0左右兩邊的符號，若異號，則x0為拐點，若同號，則x0

27、不是拐點。例4求 的拐點解： 例5求 的拐點。解：令y=0 x=1，但此時，在x=1附近，不論x1還是x1，都有y0，x=1不是拐點。然而，當(dāng)x=0時，y不存在，但當(dāng)x0時，y0，當(dāng)x0時，y0，由定義知，x=0為拐點。§ 3.8函數(shù)圖形的描繪根據(jù)前n節(jié)所學(xué)的知識，我們可較準確地畫出函數(shù)的圖，描繪函數(shù)圖象的一般步驟：1、確定函數(shù)的定義域，并求出f（x），f（x）2、求出f（x）=0和f（x）=0的所有根，及不可導(dǎo)點，并用這些點將定義域分為若干個小區(qū)間。3、確定f（x）和f（x）在這些子區(qū)間上的符號，并且由此確定的函數(shù)圖形的升降，凹凸及極點和拐點。4、確定水平，鉛直漸近線，以及其它漸近

28、線。5、確定某些特殊點的坐標，比如：與坐標的交點。6、沿x增大的方向按上討論的結(jié)果，將點用曲線光滑連結(jié)起來，分點的坐標，以把圖描得更準些，另外，還可以觀察f（x）的奇偶性，周期性配合作用。例1作出函數(shù)y=xe-x的圖形解（）y=xe-x的定義域為（-，+）y=（1-x）e-x，y=（x-2）e-x（）令y=0 x=1，令y=0 X=2用x=1，x=2，將（-，+）分為三部分（-，1），1，2，2，+（-，1）上，y0，y0，f（X）的圖形在（-，1）上是單增的，且是凸的在1，2上，y0，y0，f（x）的圖形在（1，2）上是單減的，且是凸的在2，+上，y0，y0，f（x）的圖形在2，+是單減的，

29、且是凹的。進而得x=1為極大點，x=2為拐點（）當(dāng)x+時xe-x0, y=0是水平漸近線，當(dāng)x-時xe-x-（）f（1）=e-1，f（2）=2·e-2，f（0）=0，從而得四個點的f（-1）=-e坐標（0，0），（1，1/e），（2，2e-2），（-1，-e）將（）（）（）的結(jié)果列成下表：X（-，1）1（1，2）2（2，+）y+0-y-0+Y=f（X）的圖形凸極大凸拐點凹§ 3.9曲率一、弧微分：設(shè)f（x）在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在曲線y= f（x）上取一點M0（x0，y0）為度量弧長的基點，規(guī)經(jīng)沿x增大的方向為曲線的方向，對曲線上任一點M（x，y）有向弧段的長度S規(guī)定如下：S的絕對值等于的長度，當(dāng)有向弧段的方向