概率論知識點

1、第一章 隨機事件及其概率§1.1 隨機事件及其運算隨機現(xiàn)象：概率論的基本概念之一。是人們通常說的偶然現(xiàn)象。其特點是,在相同的條件下重復觀察時,可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果,也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果,預先不能斷言將出現(xiàn)哪種結(jié)果.例如,投擲一枚五分硬幣,可能“國徽”向上,也可能“伍分”向上;從含有5件次品的一批產(chǎn)品中任意取出3件,取到次品的件數(shù)可能是0,1,2或3.隨機試驗：概率論的基本概念之一.指在科學研究或工程技術(shù)中,對隨機現(xiàn)象在相同條件下的觀察。對隨機現(xiàn)象的一次觀察(包括試驗、實驗、測量和觀測等),事先不能精確地斷定其結(jié)果,而且在相同條件下可以重復進行,這種試驗就稱為隨機試驗。樣本空間: 概率論

2、術(shù)語。我們將隨機試驗E的一切可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間,記為。樣本空間的元素,即E的每一個結(jié)果,稱為樣本點。隨機事件：實際中,在進行隨機試驗時,人們常常關(guān)心滿足某種條件的那些樣本點所組成的集合.稱試驗E的樣本空間的子集為E的隨機事件,簡稱事件.在每次試驗中,當且僅當這一子集中的一個樣本點出現(xiàn)時,稱這一事件發(fā)生.特別,由一個樣本點組成的單點集,稱為基本事件.樣本空間包含所有的樣本點,它是自身的子集,在每次試驗中它總是發(fā)生的,稱為必然事件.空集Ø不包含任何樣本點,它也作為樣本空間的子集,它在每次試驗中都不發(fā)生,稱為不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A與事件B不可能同時

3、發(fā)生，亦即 ，則稱事件A與事件B是互斥(或互不相容)事件?；ツ媸录? 事件A與事件B滿足條件，,則稱A與B是互逆事件，也稱A 與B是對立事件,記作（或）?；ゲ幌嗳萃陚涫录M：若事件組滿足條件，（）， ,則稱事件組為互不相容完備事件組(或稱為樣本空間的一個劃分)。§1.2 隨機事件的概率概率：隨機事件出現(xiàn)的可能性的量度。概率論最基本的概念之一。人們常說某人有百分之多少的把握能通過這次考試，某件事發(fā)生的可能性是多少，這都是概率的實例。統(tǒng)計概率：在一定條件下，重復做n次試驗，為n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，如果隨著n逐漸增大，頻率逐漸穩(wěn)定在某一數(shù)值p附近，則數(shù)值p稱為事件A在該條件下發(fā)生的概

4、率，記做P(A)=p。這個定義成為概率的統(tǒng)計定義。古典概型：若隨機現(xiàn)象有下列兩個特征 (1) 試驗的可能結(jié)果（基本事件）只有有限個；(2)試驗中每個可能結(jié)果（基本事件）出現(xiàn)的可能性相等.則稱這類現(xiàn)象的數(shù)學模型為古典概型.古典概率：在古典概型中，如果基本事件的總數(shù)為n，事件所包含的基本事件個數(shù)為（ ），則定義事件的概率 為 .即把可以作古典概型計算的概率稱為古典概率。古典概率可直接按公式計算，而不必進行大量的重復試驗。§1.3 概率的基本運算法則加法公式: 設為任意兩個事件，則.當滿足時,加法公式為。條件概率：在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率稱為事件在事件已發(fā)生條件下的條件概率，記作

5、。當時，規(guī)定；當時，規(guī)定。乘法公式：設為任意兩個事件，若，則。同理，若，事件的獨立性：如果事件與滿足，則稱事件關(guān)于事件是獨立的。獨立性是相互的性質(zhì)，即關(guān)于獨立，一定關(guān)于獨立，或稱與相互獨立。§1.4 全概率公式和貝葉斯公式全概率公式：設事件組是樣本空間的一個劃分,且，則對任意的事件，有此公式稱為全概率公式。貝葉斯公式：設事件組是樣本空間的一個劃分，對任意的事件，且，則 ， 此公式稱為貝葉斯公式。第二章 隨機變量及其分布§2.1 隨機變量隨機變量：設E是一隨機試驗，它的樣本空間為 ，如果對于內(nèi)的每一個e，變量都有一個確定的實數(shù)值與之對應，則變量是樣本點e的實函數(shù)，記作。這樣的

6、變量稱為隨機變量。隨機變量的分布：要全面了解一個隨機變量，不但要知道它取哪些值，而且要知道它取這些值的統(tǒng)計規(guī)律，隨機變量取值的統(tǒng)計規(guī)律就稱為它的概率分布，簡稱分布。分布函數(shù)：設是一隨機變量，是任意實數(shù)，由 確定的函數(shù)稱為隨機變量的分布函數(shù)。如果將看成是數(shù)軸上的隨機點的坐標，那么，分布函數(shù)F(x)在處的函數(shù)值就表示落在區(qū)間上的概率。對于任意實數(shù)，因此分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性。離散型隨機變量：如果隨機變量的可能取值只有限個或可列個，則稱它為離散型隨機變量。若的可能取值為，相應的概率稱為離散型隨機變量的概率函數(shù)或分布律。Bernoulli試驗：只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗稱Bernou

7、lli試驗。試驗的獨立性：若是試驗E1的可能結(jié)果與E2的可能結(jié)果的發(fā)生與否是獨立的，則稱試驗E1與E2是相互獨立的。n重Bernoulli試驗：把Bernoulli試驗重復獨立進行n次，稱為n重Bernoulli試驗。n重Bernoulli試驗是一種非常重要的的概率模型，它是“在相同條件下進行重復試驗或觀察”的一種數(shù)學模型.二項分布：若將Bernoulli試驗中的一個可能結(jié)果記為且,n重Bernoulli試驗中出現(xiàn)的次數(shù)記為,則隨機變量的概率函數(shù)為 ,的分布稱為服從參數(shù)為的二項分布,記作.當時,的概率函數(shù)為，,則稱服從參數(shù)為的兩點分布（或0-1分布）.泊松分布：若隨機變量的概率函數(shù)為 則稱服從

8、參數(shù)為的分布，記作。連續(xù)型隨機變量：設隨機變量所有可能取值充滿一個區(qū)間,如果相應于它的分布函數(shù)存在非負函數(shù)，對于任意的實數(shù)都有則稱為連續(xù)型隨機變量，稱為的概率密度函數(shù). 有如下性質(zhì)： （1）， （2）均勻分布: 如果隨機變量的概率密度函數(shù)為 則稱在區(qū)間上服從均勻分布,記為.指數(shù)分布: 如果隨機變量的概率密度函數(shù)為其中為常數(shù)則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 記為.正態(tài)分布: 如果隨機變量的概率密度函數(shù)為 ，其中為常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布,記為.當時,稱服從標準正態(tài)分布,記為.隨機向量: 如果是是聯(lián)系于同一樣本空間中的兩個隨機變量，則稱為二維隨機變量或二維隨機向量。對任意兩個實數(shù)，二元函數(shù)稱為的聯(lián)

9、合分布函數(shù)?；蚍Q為或的邊緣分布函數(shù)。常用的隨機變量函數(shù)的分布：（1）-分布 設獨立隨機變量均服從標準正態(tài)分布N（0,1），則隨機變量的分布稱為服從是自由度為n的分布,記作，其分布密度函數(shù)為 （2）-分布 設，且與相互獨立，則隨機變量所服從的分布稱為自由度為的分布，記作，其分布密度函數(shù)為，。（3）-分布 設，且與相互獨立，則隨機變量所服從的分布稱為自由度為的分布，記作，其分布密度函數(shù)為。第三章 隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學期望：隨機變量按概率的加權(quán)平均,表征其概率分布的中心位置,它反映隨機變量平均取值的大小,它是簡單算術(shù)平均的一種推廣。是隨機變量最基本的數(shù)學特征之一,又稱期望或均值。離散型隨機變量的數(shù)

10、學期望：設為一離散型墮機變量，其分布列為,，若級數(shù)絕對收斂，則稱這級數(shù)為的數(shù)學期望,記為，即,否則，稱的數(shù)學期望不存在.連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望：設為一連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)是，若收斂，則稱 為的數(shù)學期望，否則稱的數(shù)學期望不存在.方差、標準差: 設為一隨機變量，若存在，則稱為的方差，記為，即 ；稱為的標準差。方差描述了隨機變量的可能取值關(guān)于均值的分散程度。若離散型隨機變量的概率函數(shù)為，則；若連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為，則。變異系數(shù)：設為任一隨機變量，若存在，且，則稱為的變異系數(shù)。協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)：設為二維隨機向量，若存在，則稱為與協(xié)方差，記作；稱為與相關(guān)系數(shù)，記作。協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)都是

11、描述兩個隨機變量之間線性關(guān)聯(lián)程度的數(shù)字特征。當時，稱與不相關(guān)。矩：設為隨機變量，若存在，則稱為的k階原點矩；若存在，則稱為的k階中心矩.；的數(shù)學期望是的一階原點矩,即；的方差是的二階中心矩,即。大數(shù)定律：概率論中討論隨機變量序列的算術(shù)平均值向常數(shù)收斂的定律。概率論與數(shù)理統(tǒng)計學的基本定律之一。大數(shù)定律有若干表現(xiàn)形式。貝努里大數(shù)定律：設是重貝努里試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù),是事件在每次試驗中出現(xiàn)的概率,則對任意的,有。定理表明事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件的概率。定理以嚴格的數(shù)學形式表達了頻率的穩(wěn)定性。就是說當n很大時，事件發(fā)生的頻率于概率有較大偏差的可能性很小中心極限定理：是概率論中最著名的結(jié)果之一。

12、它指出，大量的獨立隨機變量之和具有近似于正態(tài)的分布。因此，它不僅提供了計算獨立隨機變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助于解釋為什么有很多自然群體的經(jīng)驗頻率呈現(xiàn)出鐘形(即正態(tài))曲線這一事實，因此中心極限定理這個結(jié)論使正態(tài)分布在數(shù)理統(tǒng)計中具有很重要的地位，也使正態(tài)分布有了廣泛的應用。中心極限定理也有若干個表現(xiàn)形式。德莫佛拉普拉斯中心極限定理： 設是重貝努里試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù)，是事件在每次試驗中發(fā)生的概率，則當n無限大時，頻率趨于服從參數(shù)為，的正態(tài)分布。即：對任意的，有。該定理是中心極限定理的特例。在抽樣調(diào)查中，不論總體服從什么分布，只要n充分大，那么頻率就近似服從正態(tài)分布。 第四章 隨機抽樣及

13、抽樣分布總體、個體：統(tǒng)計學中，把研究對象的全體稱為總體，其中的每個成員稱為個體。統(tǒng)計方法就是通過對部分個體的觀察來推斷總體的規(guī)律性。抽樣、樣本：為了推斷總體分布及其各種特征，就必須從總體中，按一定的法則抽取若干個體進行觀測或試驗，以獲得有關(guān)總體的信息。這一抽取過程稱為抽樣，所抽取的部分個體稱為樣本。簡單隨機抽樣及簡單隨機樣本：如果一種抽樣方法滿足下面兩點：（1）代表性. 總體中每一個體都有同等機會被抽入樣本，這意味著樣本中每個個體與所考察的總體具有相同的分布，因此，任一樣本中的個體都具有代表性。（2）獨立性. 樣本中每個個體取什么值并不影響其它個體取什么值。這意味著，樣本中各個體是相互獨立的隨

14、機變量；則稱它為簡單隨機抽樣。由簡單隨機抽樣所得的樣本稱為簡單隨機樣本。統(tǒng)計量：設為來自總體X的一個樣本，為一個連續(xù)函數(shù)，果中不包含未知參數(shù)，則稱為一個統(tǒng)計量。統(tǒng)計量是一隨機變量，它的分布稱為抽樣分布。樣本均數(shù)、樣本方差：統(tǒng)計量 和 稱為樣本均數(shù)與樣本方差。單個正態(tài)總體的抽樣分布：設為來自正態(tài)總體的一個樣本，則（1） ，（2） （3） 兩個正態(tài)總體的抽樣分布：設和分別為來自正態(tài)總體和的樣本，則有 （1）， ，其中， （2） 。第五章 抽樣估計參數(shù)估計：參數(shù)估計就是要從樣本出發(fā)去構(gòu)造一個統(tǒng)計量作為總體中某未知參數(shù)的一個估計量；包括點估計和區(qū)間估計兩種。點估計：設為總體的樣本，為總體的一個未知參數(shù)

15、，構(gòu)造統(tǒng)計量，對于樣本觀測值，將統(tǒng)計量的的觀測值作為參數(shù)的估計，則稱為的估計值，稱統(tǒng)計量為的估計量；的估計量和估計值統(tǒng)稱為的估計，記作，這種對未知參數(shù)作進行定值估計,稱為參數(shù)的點估計.矩估計：當樣本容量n較大時，可以用樣本各階矩去估計總體的各階矩。按這種統(tǒng)計思想獲得未知參數(shù)的估計量的方法稱為矩估計。極大似然估計：概率較大的事件在一次試驗中出現(xiàn)的可能性較大。如果隨機抽樣（隨機試驗）的結(jié)果得到樣本觀察值，則我們應當這樣選取的值，使這組樣本值出現(xiàn)的可能性最大。也就是使似然函數(shù)達到最大值，從而求出參數(shù)的估計值，此方法得到的參數(shù)估計稱為極大似然估計。區(qū)間估計：要求由樣本構(gòu)造一個以較大的概率包含真實參數(shù)的

16、一個范圍或區(qū)間，這種帶有概率的區(qū)間稱為置信區(qū)間，通過構(gòu)造一個置信區(qū)間對未知參數(shù)進行估計的方法稱為區(qū)間估計。置信區(qū)間、置信度：設為總體的樣本，為總體的一個未知參數(shù)，對于預先給定的值，構(gòu)造統(tǒng)計量和，使之滿足 ，則稱隨機區(qū)間為的或置信區(qū)間；其中和分別稱為置信下限和置信上限，稱為置信度.單側(cè)置信區(qū)間：由 或 確定的區(qū)間或稱為總體未知參數(shù)的置信度為的單側(cè)置信區(qū)間；，分別稱為單側(cè)置信下限和單側(cè)置信上限。第六章 假設檢驗假設檢驗：是統(tǒng)計學中根據(jù)一定假設條件由樣本推斷總體的一種方法。具體作法是：首先根據(jù)問題的需要對所研究的總體作某種假設，接著建立推斷統(tǒng)計假設的方法，以判斷所作假設是否正確。在統(tǒng)計學上，稱判斷假

17、設正確與否的方法為統(tǒng)計假設檢驗，簡稱假設檢驗。統(tǒng)計假設：把任何一個關(guān)于總體分布的假設，稱為統(tǒng)計假設。僅涉及到總體分布中所包含的幾個未知參數(shù)的統(tǒng)計假設稱為參數(shù)假設；否則稱為非參數(shù)假設。小概率原理：在概率論中我們把概率很接近于0（即在大量重復試驗中出現(xiàn)的頻率非常低）的事件稱為小概率事件.一般多采用0.01，0.05兩個值即事件發(fā)生的概率在001以下或0.05以下的事件稱為小概率事件，這兩個值稱為小概率標準，小概率事件可以認為在一次試驗中一般不會發(fā)生。實際問題中，如果小概率事件發(fā)生了，我們認為這是不合理的現(xiàn)象。檢驗統(tǒng)計量：建立推斷統(tǒng)計假設的方法時所用到的統(tǒng)計量稱為檢驗統(tǒng)計量。兩類錯誤：任何一個假設檢

18、驗都有可能犯兩類錯誤中的一類，I類錯誤是棄真錯誤，即否定了未知的真實情況，把真當成了假；II類錯誤是納偽錯誤，即接受了未知的不真實狀態(tài)，把假的當作真的接受了。I類錯誤和II類錯誤是一對矛盾。降低了I類錯誤的概率時，犯II類錯誤的概率就會提高。要同時達到減少犯兩類錯誤的可能性，唯有通過擴大樣本容量來實現(xiàn)。顯著性水平：只控制犯第類錯誤概率的檢驗稱為顯著性檢驗，稱為顯著性水平，參數(shù)檢驗：統(tǒng)計假設僅為參數(shù)假設的統(tǒng)計檢驗方法稱為參數(shù)檢驗。參數(shù)檢驗法是依賴于總體分布性質(zhì)的。非參數(shù)檢驗：是對總體分布不作任何限制性假設統(tǒng)計檢驗方法。由于它無須對總體分布作任何限制性假設特點，因此也稱之為自由分布檢驗或無分布檢驗

19、。與參數(shù)檢驗方法比較，非參數(shù)檢驗方法具有容易理解，計算相對簡單的特點第七章 方差分析方差分析：比較多個相互獨立、具有方差齊性的正態(tài)總體的均數(shù)是否相等的一種統(tǒng)計檢驗法。因素：是指在試驗中或在抽樣時發(fā)生變化的條件。通常用A、B、C、表示。方差分析的目的就是分析因素對試驗或抽樣的結(jié)果有無顯著影響。如果在試驗中變化的因素只有一個，試驗稱為單因素試驗；在試驗中變化的因素不只一個時，就稱多因素試驗。雙因素試驗是多因素試驗的最簡單情形。水平：因素在試驗中的不同狀態(tài)稱作水平。如果因素A有r個不同狀態(tài)，就稱它有r個水平，可用表示。我們針對因素的不同水平或水平的組合，進行試驗或抽取樣本，以便了解因素對試驗結(jié)果的影

20、響。單因素方差分析：針對單因素試驗的方差分析稱為單因素方差分析。雙因素方差分析：針對雙因素試驗的方差分析稱為雙因素方差分析。第八章 正交試驗設計與分析試驗設計：是統(tǒng)計學的一個重要分支，它的主要內(nèi)容是討論如何合理地安排試驗、有效獲得數(shù)據(jù)資料的方法以及試驗后的數(shù)據(jù)怎樣作統(tǒng)計分析。試驗設計的周密而完善，就能以較少的的人力、物力和時間，獲得豐富而可靠的資料，從而通過統(tǒng)計分析，得出較為可靠的結(jié)論。試驗設計與數(shù)據(jù)分析是互相匹配的，在設計試驗時就應明確日后如何分析結(jié)果；任何數(shù)據(jù)分析方法均要求特定的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和特定的試驗模式。正交試驗設計：是利用規(guī)格化的表格正交表安排多因素試驗、分析試驗結(jié)果的一種科學設計方法。

21、它從多因素的全部水平組合中挑選部分有代表性的水平組合進行試驗，通過對這部分試驗結(jié)果的分析了解全面試驗的情況，找出因素最佳水平組合。正交表：正交表是一種特殊的表格，其中常用的一類記作，其中表示正交表；下標表示正交表的行數(shù)，也是試驗次數(shù)；表示正交表的列數(shù)；表示各因素的水平數(shù)。交互作用：在多因素試驗中，不僅存在各個因素的單獨作用，也可能存在因素之間的聯(lián)合作用，既有相互促進或相互制約的情況。兩個或多個因素之間聯(lián)合所起的作用，稱為因素之間的交互作用。第九章 相關(guān)與回歸分析相關(guān)關(guān)系：一種非確定性的關(guān)系，例如，以X和Y分別記一個人的身高和體重，或分別記每公頃施肥量與每公頃小麥產(chǎn)量，則X與Y顯然有關(guān)系，而又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這就是相關(guān)關(guān)系。即變量與之間有一定的聯(lián)