余弦定理練習(xí)含答案

1、課時(shí)作業(yè)2余弦定理時(shí)間：45分鐘 滿分：100分課堂訓(xùn)練1 .在4ABC 中，已知 a=5, b=4, /C=120°.則 c為()A. 41B. 161C. 41 或 61D. , 21【答案】 B解析c= "y aD.y【答案】 B【解析】由b2 = ac,又c=2a,由余弦定理a2 + c2 b2 a2+4a2 ax 2a 3 cosB = 2ac= 2010 = 4.3.在AABC中，三個(gè)角A、B、C的對邊邊長分別為 a= 3、b=4、 c=6,貝U bccosA + cacosB + abcosC =【答案】2 + b2 - 2abcosC= a/52 + 42-

2、2X 5X 4X -1 =V61.2. zABC的角A、B、C的對邊分別為a, b, c,若a, b, c滿足 b2= ac,且 c= 2a,則 cosB = ()1C.2a 2aA.4b2+ c2 a2【解析】bccosA + cacosB + abcosC = bczr +2bcc2 + a2 b2 a2 + b2 c2 111ca 20 + ab "藐=2(b2 + c2 a2) + 2(c2 + a2 b2) + 2(a2 +c c 1 c c c 61b2 c2) = 2(a2 + b2+ c2)=萬.4.在 ABC 中：(1)a=1, b=1, /C=120 ,求 c;(

3、2)a = 3, b = 4, c= 病,求最大角；(3)a:b:c=1：V3 ：2,求/ A、/ B、/ C.【分析】(1)直接利用余弦定理即可；(2)在三角形中，大邊對大角；(3)可設(shè)三邊為x, V3x,2x.【解析】(1)由余弦定理，得c2 = a2 + b2- 2abcosC=12+12-2X1X1X( 2)=3, .c=V3.(2)顯然/C最大，a2+b2 c2 32+42371/cosC =2ab= 2X3X4 = - .上=120 .(3)由于 a:b:c= 1:他：2,可設(shè) a = x, b = V3x, c= 2x(x>0).b2 c2 a2 3x2 + 4x2 x23

4、由余弦定理，得cosA=2bc = 2 gx2x = 2，.zA=30 :1同理 cosB = 2，cosC= 0. - zB= 60 , ZC= 90 .【規(guī)律方法】1 .本題為余弦定理的最基本應(yīng)用，應(yīng)在此基礎(chǔ)上熟練地掌握余弦定理的結(jié)構(gòu)特征.2 .對于第（3）小題，根據(jù)已知條件，設(shè)出三邊長，由余弦定理求出/A,進(jìn)而求出其余兩角，另外也可考慮用正弦定理求/B,但要注意討論解的情況.課后作業(yè)一、選擇題（每小題5分，共40分）1. ABC中，下列結(jié)論：a2>b2+ c2,則 ABC為鈍角三角形；a2=b2 + c2+bc,則/ A 為 60°a2+b2>c2,則 ABC為銳角

5、三角形；若/ A:/B:/C=1:2:3,則 a:b:c= 1:2:3, 其中正確的個(gè)數(shù)為（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 小 .b2+c2-a2【解析】cosA=一<0，2bc '必為鈍角,正確；b2 c2 a21 cosA=2bc = -2，熱=120 ；錯(cuò)誤；a2+ b2 c2 cosC=-2ab>0,£為銳角，但/A或/B不一定為銳角，錯(cuò)誤;/A= 30 , /B = 60 , /C=90 ,a:b:c= 1:3 :2,錯(cuò)誤.故選 A.2. ABC的三角A、B、C所對邊長分別為 a、b、c,設(shè)向量p= (a + c, b),q=(ba, c

6、a).若p/ q,則/C的大小為（）A兀A.6c兀B.3八兀C.2D.3兀.p=(a+c, b),q=(b a, ca)且 pq,. .(a+ c)(c a) b(ba) = 0即 a2+ b2c2 = ab, . .cosC=a2+ b2c2_ ab 12ab=2ab=一上=3.3. A ABC 中，角 A, B, C TT.的對邊分別為a, b, c, /A=3, a=巾,b=1,A. 272C. 3+ 1則c等于（B. 3D. 273由余弦定理得，a2=b2 + c2 2bccosA,所以（市）2 = 1 + c2 2x 1 x cx C0S3,即c2 c6=0,解得c=3或c= 2（舍

7、）.故選B.4.在不等邊三角形 ABC中，a為最大邊，且a2<b2 + c2,則/ A 的取值圍是（）a .（2t,兀）b . C 2）C.（3，2）D. （0, 2）【答案】 C【解析】 因?yàn)閍為最大邊，所以/ A為最大角，即/A>ZB, /A>/C,故 2">/B+/C.又因?yàn)?B+/C=兀一/A,所以 2叢>兀一/A,- 兀° Ob2+c2 a2一,即/A洛因?yàn)閍2<b2+c2,所以cosA=一>0,所以0<zA<5.綜上,32 bC2兀 /A 兀3s<2.5.在4ABC 中，已知 a = 4,b=6,/C=

8、120°,則 sinA 的值為（）C.33【解析】B.*c 57D- - 19由余弦定理得c2 = a2 + b2 - 2ab cosC = 42 + 62 一 1 一 2X4X6（ 2） = 76,. c= 36.由正弦定理得 氤=上，即SnA=SinW $4sin120J57/SinA=76-= 19 .6. ABC 中，a、b、c分別為/ A、/ B、/C 的對邊，且 2b = a 3 _+ c, /B=30 , ABC的面積為3,那么b等于()A3AA. 2B. 1 + V32±_ c. 2D. 2 + 73【答案】 B【解析】2b=a+c,又由于/B = 30&#

9、176;,11。3 -. S-Bc = 2acsinB = 2acsin30 =萬，解得 ac= 6,由余弦定理：b2=a2+ c2 -2accosB=(a + c)22ac2ac cos30 = 4b212 6強(qiáng),即 b2= 4 + 273,由 b>0 解得 b=1 + >/3.7 .在AABC中，若acosA+bcosB= ccosC,則這個(gè)三角形一定是 ()A.銳角三角形或鈍角三角形8 .以a或b為斜邊的直角三角形C.以c為斜邊的直角三角形D.等邊三角形【答案】Bb2+c2-a2【解析】由余弦te理acosA+bcosB= ccosC可變?yōu)閍2bca得 1073= 2bcx

10、sin60 ；即 bc= 40. 又周長為 20,故 a+b + c = 20, b+c= 20-a. 由余弦定理，得 a2 = b2 + c2 2bccosA= b2 + c2 - 2bccos60 = b2 + c2 bc= (b + c)2 3bc,故 a2= (20 a)2120,解得 a=7.二、填空題(每小題10分，共20分)+c2 b2a2 + b2c2+ b，2ac =c，2ab ，a2(b2+ c2 a2) + b2(a2+c2 b2) = c2(a2+ b2 c2)a2b2+a2c2-a9.在4ABC 中，三邊長 AB=7, BC=5, AC=6,則AB BC的值+ b2a

11、2+ b2c2- b4=c2a2+ c2b2- c42a2b2 a4 b4 + c4 = 0,(c2 a2+b2)(c2 + a2 b2) = 0, c2+ b2= a2或 a2+ c2= b2,.以a或b為斜邊的直角三角形.8.若4ABC的周長等于20,面積是1073, /A=60°,則BC邊 的長是()A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C1【解析】依題意及面積公式S= 2bcsinA,為.【答案】1919 一一 一一【解析】由余弦定理可求得cosB =港，Afe BC=|AB| |BC| cos（兀35-B）=-|AB| |BC| cosB=-19.10.已知等腰三角形的底

12、邊長為a,腰長為2a,則腰上的中線長 為.【答案】斐a【解析】如圖，AB = AC= 2a, BC=a, BD為腰AC的中線，EC 1過 A作 AELBC于 E,在AAEC 中，cosC = = ,在zBCD 中，由余 AC 4弦定理得 BD2 = BC2 + CD2 2BC CD cosC ,即 BD2 = a2 + a2 2XaXaX1 = 3a2, /.BD=6a. 4 2，2三、解答題（每小題20分，共40分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、 證明過程或演算步驟）三角形的形狀.【分析】 解決本題，可分別利用正弦定理或余弦定理，把問題 轉(zhuǎn)化成角或邊的關(guān)系求解.【解析】方法一：由正弦定理巾=sn

13、§=snc=2R，R為mbc外接圓的半徑，將原式化為8R2sin2Bsin2C= 8R2sinBsinCcosBcosC.SinBsinC?。，sinBsinC= cosBcosC,即 cos(B+C) = 0, .zB+/C=90 , "=90 ,故gBC 為直角三 角形.a2+ b2 ca2 + c2 b2方法二：將已知等式變?yōu)閎2(1 cos2C) + c2(1 cos2B)= 2bccosBcosC.由余弦定理可得：b2 + c2 b2 (2h )2 c2(27)2 =2ab2aca2+b2 c2 a2+c2 b22bc Fb2aca2+b2c2+ a2+ c2b22即 b2+ c2 = -4-2L4a也即b2+c2 = a2,故MBC為直角三角形.【規(guī)律方法】 在利用正弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)化時(shí)，等式兩邊a, b, c及角的正弦值的次數(shù)必須相同，否則不能相互轉(zhuǎn)化.12. （2013全國新課標(biāo)I,理）如圖，在 ABC中，/ABC=90°,AB=M, BC=1, P 為AABC一點(diǎn)，/BPC=90 .1,、若PB=2,求PA;若